2021-2022版老教材數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：第2課時(shí) 等差數(shù)列習(xí)題課

第2課時(shí)等差數(shù)列習(xí)題課

關(guān)鍵能力-合作學(xué)習(xí)

類型一%與出的關(guān)系及應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)

1

【典例】若數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和為S.且滿足a?+2S?S^0(g2),已

⑴求證:悖｝是等差數(shù)列.

⑵求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式.

四步內(nèi)容

條件:①數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn;

理解

(2)an+2SnSI1-I=0(n^2),a,=-.

題意

結(jié)論:｛=｝是等差數(shù)列；求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

(1)將已知等式變形，證明工-二一為常數(shù).

思路SnSn-1

探求

⑵利用a“與S”的關(guān)系求通項(xiàng)公式.

⑴當(dāng)n22時(shí)，由4+2ss-產(chǎn)0,

書寫得出$產(chǎn)-25$田,所以①

表達(dá)

故｛=｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列.

⑵由⑴可得一1=2n,所以S產(chǎn)上1.

2n

當(dāng)nN2時(shí)aiSn-Se②

11_n-l-n1

2n2(n-1)2n(n-l)2n(n-l)*

i

當(dāng)n=l時(shí),a】=-不適合上式.③

2

住幾二1,

故an=<i④

---；—n>2.

(2n(n-l)

注意書寫的規(guī)范性：

①明確變形目標(biāo)，進(jìn)行恰當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵；

②③a”與Sn的關(guān)系要理解全面；

④表達(dá)形式要準(zhǔn)確.

已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)a?,一方面由n=l時(shí)，a[=Si求得ab另一

題后

方面由n22時(shí),a“=Sn-SnT求得a?,并注意驗(yàn)證.是否符合a,,,

反思

若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示,不符合則分段表示.

?解題策略

1.由S”求通項(xiàng)公式4的步驟

第一步:令n=l,則ai=Sb求得ai;

第二步:令n22,則an=Sn-Sn1;

第三步:驗(yàn)證出與a0的關(guān)系：

=—

(1)若ai適合an,則anSnSn-l.

馬，n=1,

⑵右ai不適合an,則an=、?！鉺、o

1szi-S^i，n>2.

2.Sn與&，的關(guān)系式的應(yīng)用

“和”變“項(xiàng)”.

S；“項(xiàng)"交“和"a。

(1)“和”變“項(xiàng)”.

首先根據(jù)題目條件，得到新式(與條件所給項(xiàng)的和相鄰)，然后作差將

“和”轉(zhuǎn)化為“項(xiàng)”之間的關(guān)系，最后求通項(xiàng)公式.

(2)“項(xiàng)”變“和”.

首先將星轉(zhuǎn)化為Sn-Sn-b得至IJSn與Snr的關(guān)系式,然后求Sn.

跟蹤訓(xùn)練、

2

已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=3n+2n.

⑴求｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵判斷｛aj是否為等差數(shù)列？

【解析】(1)因?yàn)?尸3帝+為,

2

所以當(dāng)n22時(shí)Sn-F3(n-1)+2(n-1)=3n-4n+1,

所以an-Sn-Sn-i=(3n2+2n)_(3n2_4n+1)-6n-1.

—

又a尸Si=5,滿an~6n1,

所以數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式是an=6n-1.

⑵由(1)知，an+i-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,

所以｛aj是等差數(shù)列.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S”并且對(duì)于任意n￡N*,%與1的等差中

項(xiàng)等于戶，求數(shù)列EJ的通項(xiàng)公式?

2

【解析】由題意知，s=an+1,

V"24

1

所以aFSFl,又因?yàn)閍FS-S=-[(a+1)2-(a+1)2],所以

n+n+1n4n+1n

22

(an+i-1)-(an+1)=0.

即(an+i+aj[卅―a?！?)—0,因?yàn)閍)。，

所以an+i-an=2,

所以｛aj是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an=2n-1.

類型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)

【典例】L《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編

著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用，是東方古代

數(shù)學(xué)的名著.在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)

的，“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知,

自長(zhǎng)排來差三歲，共年二百又零七,借問長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.

在這個(gè)問題中，記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為ar?則a,=

A.23B.32C.35D.38

2.甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處沿同一直線同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲

第1分鐘走2m,以后每分鐘比前1分鐘多走1m,乙每分鐘走5m.

⑴甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇？

⑵如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多

走1m,乙繼續(xù)每分鐘走5m,那么開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇？

【思路導(dǎo)引】1.兒子的歲數(shù)成等差數(shù)列，問題是知道公差及前9項(xiàng)和,

求首項(xiàng).

2.(1)依據(jù)甲、乙兩物體的路程之和為70m列方程，其中甲的路程可以

依據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示；

⑵依據(jù)甲、乙兩物體的路程之和為3X70m列方程.

【解析】1.選C.由題意可得兒子的歲數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d,其中

公差d=-3,S=207,即Sk9ai+—X（-3）=207,解得a^35.

92

2.（1）設(shè)n分鐘后第一次相遇，依題意有2n+史匚1+5n=70,整理得

2

n2+13n-140=0.

解得n=7或"-20（舍去）.

第一次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后7分鐘.

（2）設(shè)n分鐘后第二次相遇，

依題意，有2n+“"-i）+5n=3X70,

2

整理得n2+13n-6X70=0,

解得n=15,產(chǎn)-28（舍去）.

第二次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后15分鐘.

?解題策略

應(yīng)用等差數(shù)列解決實(shí)際問題的一般思路

廠、根據(jù)題設(shè)條件，建立數(shù)列模型：①分析實(shí)

（建模］人際問題的結(jié)構(gòu)特征；②找出所含元素的數(shù)

I量關(guān)系；③確定為何種數(shù)學(xué)模型.

利用相關(guān)的數(shù)列知識(shí)加以解決：

"模―①分清首項(xiàng).公差.項(xiàng)數(shù)等；

②分清是冊(cè)還是s.問題；③選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?

把數(shù)學(xué)問題的解客觀化，針對(duì)實(shí)際問題的

心"約束條件合理修正、使其成為實(shí)際問題的解.

跟蹤訓(xùn)練、

（2020?全國(guó)n卷）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所,分上、中、

下三層.上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇

面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一

層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且

下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

【解析】選C.設(shè)每一層有n環(huán)，由題可知從內(nèi)到外每環(huán)的扇面形石板數(shù)

之間構(gòu)成等差數(shù)列｛&J,且公差d=9,首項(xiàng)a尸9,由等差數(shù)列的性質(zhì)可知

Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數(shù)列,且(S3n-S2n)-(S2n-S7t)=n%,由題意得

9n2=729,所以n=9,則三層共有扇面形石板為S3n=S27=27X9+^^X9=3

2

402(塊).

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如

像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,

只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人其大意為“官府陸續(xù)派遣1

864人前往修筑堤壩,第一天派出64人,從第二天開始每天派出的人數(shù)

比前一天多7人.”在該問題中的1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為

A.9B.16C.18D.20

【解析】選B.根據(jù)題意設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列{an},分析可得數(shù)列

是首項(xiàng)ai=64,公差d=7的等差數(shù)列，該問題中的1864人全部派遣到位

T1(71—1)

的天數(shù)為n,則64n+-----7=1864,依次將選項(xiàng)中的n值代入檢驗(yàn)

2

得，n=16滿足方程.

類型三數(shù)列求和問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

角度」—裂項(xiàng)求和與并項(xiàng)求和問題

(n2,當(dāng)幾為奇數(shù)時(shí)，

【典例】L已知函數(shù)f(n)=且an=f(n)+f(n+l),

-n2,當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，

貝！Jai+az+a3+…+aioo等于

A.0B.100

C.-100D.10200

2.(2020?大慶高一檢測(cè))已知等差數(shù)列瓜}滿足a3=7,a5+a7=26,{a,J

前n項(xiàng)和為Sn.

⑴求an及Sn；

(2)記Tn=—?+—+—+???+—,求Tn.

SiS2S3sn

【思路導(dǎo)引】1.先求出通項(xiàng)公式an,然后兩項(xiàng)一組，即可求解數(shù)列的前

100項(xiàng)的和.

2.(1)根據(jù)題意列方程組求首項(xiàng)和公差,寫出a”及S”；

⑵對(duì)2■進(jìn)行裂項(xiàng),選擇裂項(xiàng)相消法求和.

S”

【解析】1.選B.因?yàn)棰?f(n)+f(n+l),

n2-(n+l)2,n為奇數(shù)，

所以由已知條件知a=.

n~n2+(n+1)2,九為偶數(shù),

-(2n+1),幾為奇數(shù),

<2n+1,n為偶數(shù),

所以an=(T)"?(2n+l),所以an+an+i=2(n是奇數(shù)),

所以ai+@2+a3+???+aioo=(ai+a2)+(a3+a4)+???+

(a99+aioo)=2+2+2+*??+2=100.

2.(1)設(shè)等差數(shù)列｛a3的公差為d,

所以產(chǎn)：的當(dāng)”［一

、。5+Q7—2。］+1Oct—26

所以伊二3

id=2

所以an=2n+l,Sn」2i+Q")=n(n+2);

2

(2)由(1)知:工」一工(i-―),

Snn(n+2)2\nn+2z

^1111

所以「二一+—+—+…+—

111111

_1］_±+±一±+±_±+…+--)

232435nn+2/

-(1+-----

2V2n+1n+2

3_2n+3

42(n+l)(n+2)*

令變式探究

將本例1的條件改為"an=(T)n(3n-2)”,試求ai+a2+…+aio.

，+

【解析】ai+a2+**aio

二-1+4-7+10+…+(-1)1°?(3X10-2)=(-1+4)+(-7+10)+-+[(-1)9?(3X

9-2)+(-1)10?(3X10-2)]=3X5=15.

…一角度2.…求數(shù)列上的前n項(xiàng)的和一…

[典例]等差數(shù)列｛&,｝中,a2=4,a4+a7=15.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式.

⑵設(shè)bn=-2an+25,求數(shù)列｛|b』｝的前n項(xiàng)和.

【思路導(dǎo)引】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由通項(xiàng)公式可得方程組，解方

程組可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)；

⑵求壯=-2a+25,分析｛b“｝中的項(xiàng)何時(shí)為正，何時(shí)為負(fù)，分情況求和.

【解析】⑴等差數(shù)列瓜｝的公差設(shè)為d,a+a=15,可得

a2=4,47

&+d=4,Q=3,一門

QIQJAr解得L1貝I3n-n+2.

(2%+9a=15,(d=1,

⑵bn=-2an+25=21-2n,

1

2

設(shè)｛bj的前n項(xiàng)和為Sn=-n(19+21-2n)=20n-n,

2

當(dāng)nW10時(shí)，數(shù)列｛|bn|｝的前n項(xiàng)和為20n-n2;

2

當(dāng)門211時(shí)，數(shù)歹|]｛|>|｝的前門項(xiàng)不口為S10-(S-S10)=2S1o-Sn=2OO-2On+n,

綜上可得數(shù)列｛|b』｝的前n項(xiàng)和為

20n-n2,n<10,

Tn='

.200-20?!+n2,n>11.

解題策略

1.裂項(xiàng)相消求和

⑴適用數(shù)列:形如(b;a=d,d為常數(shù))的數(shù)列可以用裂項(xiàng)求和.

SigJn

⑵裂項(xiàng)形式:

⑶規(guī)律發(fā)現(xiàn)：一是通項(xiàng)公式特征不明顯的要對(duì)通項(xiàng)公式變形，如分離

常數(shù)、有理化等;二是裂項(xiàng)后不是相鄰項(xiàng)相消的，要寫出前兩組、后兩

組觀察消去項(xiàng)、保留項(xiàng).

(4)特殊裂項(xiàng)：

111/11\

①-~=7-----------=-(----------).

4n2-1(2n-l)(2n+l)2\2n-l2n+lJ

11

(2)——.

yjn+ly/nyfny/n+l

n+11f11|

③------------2=~-7-----2?

n2(n+2)4Ln2(n+2)；

g(2n)2,111

④=1+-

(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

2.關(guān)于并項(xiàng)法求數(shù)列的和

⑴適用形式：

①適用于形如an=(-l)nf(n)的擺動(dòng)數(shù)列.

②項(xiàng)成周期變化的數(shù)列.

⑵求和方法：

①形如a0=(T)nf(n)的數(shù)列用并項(xiàng)法把相鄰項(xiàng)的一正一負(fù)兩項(xiàng)并作一

項(xiàng),從而使通項(xiàng)降次,得以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解.

②針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，

因此在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求原數(shù)列的

前n項(xiàng)和.

3.數(shù)列｛|a.|｝的前n項(xiàng)和的三種類型的求解策略

⑴等差數(shù)列｛aj的各項(xiàng)都為非負(fù)數(shù)，這種情形中數(shù)列｛|%|｝就等于數(shù)

列｛aj,可以直接求解.

⑵等差數(shù)列｛4｝中，a90,d<0,這種數(shù)列只有前邊有限項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，從

某項(xiàng)開始其余所有項(xiàng)都為負(fù)數(shù),可把數(shù)列｛aj分成兩段處理.

⑶等差數(shù)列｛%｝中，aKO,d>0,這種數(shù)列只有前邊有限項(xiàng)為負(fù)數(shù)，其余

都為非負(fù)數(shù)，同樣可以把數(shù)列分成兩段處理.

題組訓(xùn)練、

1.已知等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=15,a5+a9=30.

⑴求4及Sn.

(2)若數(shù)列｛bj滿足bn(Sn-n)=2(n￡N*),數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和為《求

證:TW2.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,

。

由題意可得Q]+Cl?+3=15,

+Q9=30,

(3QI+3d=15,a=3,

即

12al+12d=30,解寸a=2,

則a=3+2(n-1)=2n+1,

2Z；>i1)=2

所以Sn=3n+n+2n.

2

(2)由題意可得

,22

b—訴

所以Tn二bl+bz+…+bn=2(1一以+11

23

+…+<2.

2.已知等差數(shù)列｛aj中,記2是它的前n項(xiàng)和,若S2=16,S4=24,求數(shù)列

｛4|｝的前口項(xiàng)和Tn.

r.2X1,“

2。1H-----d=16,

4八

4%+平日=24,

[2%+d=16,1

1+3d=12,

fc?i=9,

解得《〃°

a=-2.

所以等差數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為an=ll-2n(neN*).

,2

①當(dāng)nW5時(shí)，=|ai|+1a?|+…+1anI=ai+a2+--+an=Sn=-n+10n;

,

②當(dāng)n26時(shí)Tn=|ai|+1a21+,,?+1a,,I=ai+a2+--+a5-a6-a7------an

-2___

=2(ai+a?+???+a5)—(ai+a2+?,?+aTi)=2S5-Sn=2(5+10X5)(n-+10n)=n"10n

+50,

-n2+lOn(n<5),

故Tnn

ln2-10n+50(n>6).

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S=--n2+—n,求數(shù)列｛|a“|｝的前n項(xiàng)和L.

n22

【解析】aFSFlOI,當(dāng)n22

--2--=

時(shí)，an-SnSn-i-—n+——n(n-1)(n1)]--3n+104,aiSi-101也適

2222

合上式，所以an=-3n+104,令a—O,n734.7,故n235時(shí)，a<0,nW34

時(shí),an>0,

所以對(duì)數(shù)列｛|aJ｝,nW34時(shí)，

Tn=|a1|+1a?|+…+1an|=ai+a2+…+an=-3n2+￡2^n,

22

當(dāng)n235時(shí)，

+，,，+

Tn=|a1|+1a?|+???+1a341+1a351|an|=ai+a2+---+334-335--------an=2(ai+a2+---

3205

+a34)一(ai+az+…+a)=2S34_Sn=-n--