七年級數(shù)學(xué)上冊專題10 整式的加減規(guī)律探究-【一題三變系列】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊重要考點題型精講精練(人教版)(解析版)

/專題10整式的加減規(guī)律探究◎類型一數(shù)字類規(guī)律探究【例】．（2022·陜西寶雞·七年級期中）亮亮和同學(xué)觀察下面一列數(shù)，探求其規(guī)律：1，，，，，，…，并解決了下面的問題，相信你也能解決這些問題．(1)寫出這列數(shù)的第7，8，9，10四個數(shù)；(2)第2022個數(shù)是什么？(3)如果這一列數(shù)無限排列下去，與哪一個數(shù)越來越近？【答案】(1)，，，；(2)第2022個數(shù)是；(3)如果這一列數(shù)無限排列下去，越來越近0【解析】【分析】（1）根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)奇數(shù)個數(shù)都是負(fù)數(shù)，偶數(shù)個數(shù)都是正數(shù)，第幾個數(shù)分母就是幾，從而可以寫出第7個，第8個，第9個，第10個數(shù)；（2）根據(jù)題目中的數(shù)字的特點，可以寫出第2022個數(shù)；（3）取其絕對值，根據(jù)分子都是1，分母越來越大，即可得到這列數(shù)無限排列下去，越來越接近0．(1)∵一列數(shù)為：1，，，，，，…，∴第7、8、9、10四個數(shù)分別為：，，，；(2)∵一列數(shù)為：1，，，，，，…，，∴第2022個數(shù)是；(3)如果這一列數(shù)無限排列下去，取其絕對值，分子都是1，分母越來越大，越來越近0【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【跟蹤訓(xùn)練】．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，階梯圖的每個臺階上都標(biāo)著一個數(shù)，從下到上的第1個至第4個臺階上依次標(biāo)著﹣5，﹣2，1，9，且任意相鄰四個臺階上數(shù)的和都相等．(1)求前4個臺階上數(shù)的和是多少？(2)求第5個臺階上的數(shù)x是_______；(3)從下到上前35個臺階上數(shù)的和為_______．【答案】(1)3(2)(3)18【解析】【分析】（1）將前4個數(shù)字相加可得前4個臺階上數(shù)的和；（2）根據(jù)“相鄰四個臺階上數(shù)的和都相等”列出方程求解可得第5個臺階上的數(shù)；（3）根據(jù)“臺階上的數(shù)字是每4個一循環(huán)”求解可得從下到上前35個臺階上數(shù)的和．(1)由題意得前4個臺階上數(shù)的和是：﹣5+（﹣2）+1+9＝3；(2)由題意得﹣2+1+9+x＝3，解得：x＝﹣5，則第5個臺階上的數(shù)x是﹣5；(3)由題意知臺階上的數(shù)字是每4個一循環(huán)，35÷4＝8……3，∴3×8+（﹣5）+（﹣2）+1＝24﹣6＝18，即從下到上前35個臺階上數(shù)的和為18，故答案為：﹣5，18．【點睛】本題主要考查了數(shù)字類變化問題，理解題意，根據(jù)已知得出數(shù)字變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】．變式1.（2022·全國·七年級課時練習(xí)）觀察下面三行數(shù)：-2，4，-8，16，-32，64，…；①0，6，-6，18，-30，66，…；②-1，2，-4，8，-16，32，…．③(1)寫出第①行數(shù)的第10個數(shù)；(2)觀察第②③行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系，寫出第二行的第n數(shù)；(3)取每行數(shù)的第9個數(shù)，計算這三個數(shù)的和．【答案】(1)1024(2)(-2)n+2(3)-1278【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得：第①行數(shù)的第1個數(shù)為，第①行數(shù)的第2個數(shù)為，第①行數(shù)的第3個數(shù)為，第①行數(shù)的第4個數(shù)為，……由此得到規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)題意得：第②行數(shù)的第1個數(shù)為，第②行數(shù)的第2個數(shù)為，第②行數(shù)的第3個數(shù)為，第②行數(shù)的第4個數(shù)為，……由此得到規(guī)律可得第②行數(shù)是第①行的相應(yīng)的數(shù)加上2；第③行數(shù)的第1個數(shù)為，第③行數(shù)的第2個數(shù)為，第③行數(shù)的第3個數(shù)為第③行數(shù)的第4個數(shù)為，……由此得到第③行數(shù)是第①行的相應(yīng)的數(shù)乘以，即可求解；（3）由（2）得到第③行數(shù)的第n個數(shù)為，可得到第①行數(shù)的第9個數(shù)，第②行數(shù)的第9個數(shù)為，第③行數(shù)的第9個數(shù)為，即可求解．(1)解：根據(jù)題意得：第①行數(shù)的第1個數(shù)為，第①行數(shù)的第2個數(shù)為，第①行數(shù)的第3個數(shù)為，第①行數(shù)的第4個數(shù)為，……由此得到第①行數(shù)的第n個數(shù)為，∴第①行數(shù)的第10個數(shù)；(2)解：根據(jù)題意得：第②行數(shù)的第1個數(shù)為，第②行數(shù)的第2個數(shù)為，第②行數(shù)的第3個數(shù)為，第②行數(shù)的第4個數(shù)為，……由此得到第②行數(shù)是第①行的相應(yīng)的數(shù)加上2；∴第二行的第n數(shù)為；第③行數(shù)的第1個數(shù)為，第③行數(shù)的第2個數(shù)為第③行數(shù)的第3個數(shù)為第③行數(shù)的第4個數(shù)為，……由此得到第③行數(shù)是第①行的相應(yīng)的數(shù)乘以；(3)解：由（2）得到第③行數(shù)的第n個數(shù)為，∴第①行數(shù)的第9個數(shù)，第②行數(shù)的第9個數(shù)為，第③行數(shù)的第9個數(shù)為，∴這三個數(shù)的和為．【點睛】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律題，有理數(shù)的乘方運算，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江西景德鎮(zhèn)·七年級期末）某劇院座位的一部分為扇形狀，座位數(shù)按下列方式設(shè)置：排數(shù)123456…座位數(shù)50535659…按這種方式排下去(1)第5、6排各有多少個座位？完成上表填空；(2)第n排有多少個座位？(3)在（2）的代數(shù)式中，第17排有多少個座位？【答案】(1)62；65(2)(3)98個【解析】【分析】（1）第5排的座位應(yīng)讓第4排的座位數(shù)加3，同理可得第6排的座位數(shù)；（2）第n排的座位數(shù)＝第1排的座位數(shù)+（n﹣1）×3，把相關(guān)數(shù)值代入化簡即可；（3）把n＝17代入（2）得到的式子求值即可．(1)解：填表如下：排數(shù)123456…座位數(shù)505356596265…(2)解：50+3（n﹣1）＝3n+47；答：第n排有個座位(3)解：當(dāng)n＝17時，3n+47＝98．答：第17排有98個座位．【點睛】考查數(shù)字的變化規(guī)律；列代數(shù)式及相關(guān)代數(shù)式求值問題，根據(jù)相應(yīng)規(guī)律得到第n排的座位數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．變式3．（2022·四川眉山·七年級期末）觀察下列等式：，將以上三個等式兩邊分別相加得：．（1）猜想并寫出：；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）觀察題目中的等式，找到規(guī)律進而猜想結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論計算即可；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論計算即可【詳解】（1）；（2）；（3）()．【點睛】本題考查了有理數(shù)的運算，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．◎類型二圖形類規(guī)律探究【例】．（2020·江西·新余四中七年級期中）如圖是由一些火柴棒搭成的圖案：(1)擺第①個圖案用5根火柴棒，擺第②個圖案用______根火柴棒，擺第③個圖案用______根火柴棒．(2)按照這種方式擺下去，擺第n個圖案用______根火柴棒．(3)計算一下擺2021根火柴棒時，是第幾個圖案？【答案】(1)9，13(2)4n+1(3)擺2021根火柴棒時，是第505個圖案【解析】【分析】（1）根據(jù)第①個圖案所用的火柴數(shù)，每加一個圖案就加4根即可求解．（2）根據(jù)已知圖案所用的火柴根數(shù)，找出規(guī)律即可求解．（3）根據(jù)（2）第n個圖案用的火柴棒是4n+1，即把火柴根數(shù)為2021根時求出n即可求解．(1)解：由題目得，第①個圖案所用的火柴數(shù)：1+4＝1+4×1＝5，第②個圖案所用的火柴數(shù)：1+4+4＝1+4×2＝9，第③個圖案所用的火柴數(shù)：1+4+4+4＝1+4×3＝13，故答案為：9，13．(2)按（1）的方法，依此類推，由規(guī)律可知5＝4×1+1，9＝4×2+1，13＝4×3+1，第n個圖案中，所用的火柴數(shù)為：1+4+4+…+4＝1+4×n＝4n+1，故擺第n個圖案用的火柴棒是4n+1，故答案為：4n+1．(3)根據(jù)規(guī)律可知4n+1＝2021得，n＝505，因此是第505個圖案．【點睛】本題考查了圖形的變化類問題，主要考查了學(xué)生通過特例分析從而歸納得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解決問題的能力．【變式1】．（2021·全國·七年級單元測試）下列圖案是由正方形和三角形組成的，有著一定的規(guī)律，請完成下列問題：(1)第⑤個圖案中，三角形有________個，正方形有________個．(2)若用字母，分別代替三角形和正方形，則第①，②個圖案可表示多項式，，則第④個圖案可表示為多項式________.(3)第個圖案的三角形個數(shù)與正方形的個數(shù)相差多少個？【答案】(1)20、25(2)16a+16b(3)第個圖案的三角形個數(shù)與正方形的個數(shù)相差60個．【解析】【分析】（1）觀察圖形籃得出規(guī)律，即可得出第⑤個圖案中，三角形有20個，正方形有25個；（2）根據(jù)第①、②個圖案可表示多項式4a+b、8a+4b，則第④個圖案可表示為多項式16a+16b；（3）根據(jù)（1）得出的規(guī)律，列式計算即可求解．(1)解：觀察圖形可知：第①個圖案中，三角形有1×4=4個，正方形有12=1個；第②個圖案中，三角形有2×4=8個，正方形有22=4個；第③個圖案中，三角形有3×4=12個，正方形有32=9個；；第n個圖案中，三角形有4n個，正方形有n2個；以此類推，第⑤個圖案中，三角形有5×4=20個，正方形有52=25個；故答案為：20、25；(2)解：由第①、②個圖案可表示多項式4a+b、8a+4b，則第④個圖案可表示為多項式16a+16b；故答案為：16a+16b；(3)解：根據(jù)規(guī)律，第10個圖案中，三角形有40個，正方形有100個，100-40=60(個)，則第個圖案的三角形個數(shù)與正方形的個數(shù)相差60個．【點睛】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律．【變式2】．（2022·山東菏澤·七年級期末）用火柴棒按圖中所示的方法搭圖形．(1)搭第①個圖形用__________根火柴棒，搭第②個圖形用_________根火柴棒，搭第③個圖形用_________根火柴棒；(2)搭第圈n個圖形需要多少根火柴棒？(3)小明發(fā)現(xiàn)：按照這種方式搭圖形會產(chǎn)生若干個正方形，若使用187根火柴搭圖形，圖中會產(chǎn)生多少個正方形？【答案】(1)(2)搭第圈n個圖形需要根火柴棒(3)個【解析】【分析】（1）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)所需火柴棒的根數(shù)的規(guī)律，第①個圖形為根，第②個為根，第③個為根，進而求解即可；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律求得第個圖形所需火柴棒的根數(shù)；（3）先根據(jù)（2）中式子列出一元一次方程，求得187根火柴搭圖形，為第多少個，然后方法同（1）數(shù)出正方形的個數(shù)，進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可求解(1)第①個圖形為根，第②個為根，第③個為根，故答案為：；(2)由（1）可得第④個為，……，第個為，搭第圈n個圖形需要根火柴棒.(3)，解得，第①個圖形中有2個正方形，，第②個圖形中有5個正方形，，第③個圖形中有2個正方形，，……,第個為個正方形，∴，若使用187根火柴搭圖形，圖中會產(chǎn)生個正方形.【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2020·廣東·深圳第三高中七年級期中）如圖，用火柴棒按下列方式搭三角形，照這樣搭下去：（1）搭10個這樣的三角形需要_______根火柴棒．（2）搭n個這樣的三角形需要_______根火柴棒．【答案】（1）21；（2）1＋2n【解析】【分析】（1）觀察前面5個圖形需要的火材棒的數(shù)量，用含有相同特征的運算式表示，再寫出第10個運算式進行計算即可得到答案；（2）對（1）的探究進行歸納總結(jié)可得答案.【詳解】解：（1）觀察圖形可知第一個圖共有火柴棒1＋2＝1＋2×1＝3根，第二個圖共有火柴棒1＋2＋2＝1＋2×2＝5根，第三個圖共有火柴棒1＋2＋2＋2＝1＋2×3＝7根，第四個圖共有火柴棒1＋2＋2＋2＋2＝1＋2×4＝9根，第五個圖共有火柴棒1＋2＋2＋2＋2＋2＝1＋2×5＝11根，…第十個圖形有有火柴棒根，（2）由（1）歸納可得：第n個圖共有火柴棒（1＋2n）根．故答案為：（1）21；（2）1＋2n．【點睛】本題考查的是圖形的變化規(guī)律探究，掌握“從具體到一般的探究方法”是解本題的關(guān)鍵.【變式4】．（2021·全國·七年級）下面的圖形是邊長為的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的．（1）觀察圖形，填寫下表：圖形①②③正方形的個數(shù)818圖形的周長（2）推測第個圖形中，正方形的個數(shù)為多少？周長為多少？（3）第2021個圖形中，正方形的個數(shù)是多少？【答案】（1）見解析；（2），；（3）10108【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得第1個圖形，正方形的個數(shù)為8=5×1+3，周長為；第2個圖形，正方形的個數(shù)為13=5×2+3，周長為；第3個圖形，正方形的個數(shù)為18=5×3+3，周長為，即可求解；（2）根據(jù)（1），可得