相似三角形教案

相似三角形一、比例線段1、比例線段的有關(guān)概念假如選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。在四條線段中，假如其中兩條線段的比等于此外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做構(gòu)成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段的d叫做a，b，c的第四比例項(xiàng)。假如作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相似的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng)。2、比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c（2）更比性質(zhì)（互換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）（互換內(nèi)項(xiàng)）（互換外項(xiàng)）（同步互換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）（3）反比性質(zhì)（互換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：（4）合比性質(zhì)：（5）等比性質(zhì)：3、黃金分割把線段AB提成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB二、平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。逆定理：假如一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。三、相似三角形1、相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”來表達(dá)，讀作“相似于”。相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。用數(shù)學(xué)語言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC相似三角形的等價關(guān)系：（1）反身性：對于任一△ABC，均有△ABC∽△ABC；（2）對稱性：若△ABC∽△A’B’C’，則△A’B’C’∽△ABC（3）傳遞性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，則△ABC∽△A’’B’’C’’。3、三角形相似的鑒定（1）三角形相似的鑒定措施①定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似②平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似③鑒定定理1：假如一種三角形的兩個角與另一種三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。④鑒定定理2：假如一種三角形的兩條邊和另一種三角形的兩條邊對應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。⑤鑒定定理3：假如一種三角形的三條邊與另一種三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，可簡述為三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（2）直角三角形相似的鑒定措施①以上多種鑒定措施均合用②定理：假如一種直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一種直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜邊上的高提成的兩個直角三角形與原三角形相似。4、相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例（2）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比（3）相似三角形周長的比等于相似比（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。5、相似多邊形（1）假如兩個邊數(shù)相似的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）（2）相似多邊形的性質(zhì)①相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例②相似多邊形周長的比、對應(yīng)對角線的比都等于相似比③相似多邊形中的對應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比④相似多邊形面積的比等于相似比的平方6、位似圖形假如兩個圖形不僅是相似圖形，并且每組對應(yīng)點(diǎn)所在直線都通過同一種點(diǎn)，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心，此時的相似比叫做位似比。性質(zhì)：每一組對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等于位似比。由一種圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。運(yùn)用位似變換可以把一種圖形放大或縮小。典例一、比例線段1、如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．典例二、相似三角形的概念2、如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）典例三、三角形相似的鑒定3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（）A． B． C． D．6【變式訓(xùn)練】如圖，在?ABCD中過點(diǎn)A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠D．（1）求證：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的長．典例四、三角形相似的性質(zhì)4、如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)（不與O，B重疊），作CE⊥OB，交⊙O于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)E，作直徑CD，過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)P，AF⊥PC于點(diǎn)F，連接CB．（1）求證：CB是∠ECP的平分線；（2）求證：CF=CE；（3）當(dāng)=時，求劣弧的長度（成果保留π）【變式訓(xùn)練】直線y=kx+b與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象分別交于點(diǎn)A（m，3）和點(diǎn)B（6，n），與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D．（1）求直線AB的解析式；（2）若點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，當(dāng)△COD與△ADP相似時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．典例五、位似圖形5、如圖，△A′B′C′是△ABC以點(diǎn)O為位似中心通過位似變換得到的，若△A′B′C′的面積與△ABC的面積比是4：9，則OB′：OB為（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9【變式訓(xùn)練】對于平面圖形上的任意兩點(diǎn)P，Q，假如通過某種變換得到新圖形上的對應(yīng)點(diǎn)P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我們把這種變換稱為“等距變換”，下列變換中不一定是等距變換的是（）平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．位似典例六、相似三角形的綜合應(yīng)用6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是A（0，2）和C（2，0），點(diǎn)D是對角線AC上一動點(diǎn)（不與A，C重疊），連結(jié)BD，作DE⊥DB，交x軸于點(diǎn)E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）與否存在這樣的點(diǎn)D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，祈求出AD的長度；若不存在，請闡明理由；（3）①求證：=；②設(shè)AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y有關(guān)x的函數(shù)關(guān)系式（可運(yùn)用①的結(jié)論），并求出y的最小值．【變式訓(xùn)練】如圖，在?ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是兩條對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作AC的垂線分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)M是邊AB的一種三等分點(diǎn)，則△AOE與△BMF的面積比為．1.(·杭州)如圖，在中，點(diǎn)分別在和上，，為邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)重疊)，連接交于點(diǎn)，則下列式子一定對的的是()A.B.C.D.2.(·哈爾濱)如圖，在中，點(diǎn)在對角線上，，于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，則下列式子一定對的的是()A.B.C.D.3.(·青海)如圖，，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn).已知，則的長為()A.3.6B.4.8C.5D.5.24.(·內(nèi)江)如圖，在中,，則的長為()A.6B.7C.8D.95.(·賀州)如圖，在中，分別是邊上的點(diǎn)，.若，則的長為() A.5B.6C.7D.86.(·淄博)如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，且.若的面積為，則的面積為()A.B.C.D.7.(·重慶)如圖，.若，則的長為()A.2B.3C.4D.58.(·玉林)如圖，與交于點(diǎn)，則圖中相似三角形共有()A.3對B.5對C.6對D.8對9.(·張家界)如圖，在中，連接對角線，延長至點(diǎn)，使，連接，分別交于點(diǎn).(1)求證:;(2)若，求的長.10.(·黃岡)如圖，在中，，認(rèn)為直徑的⊙交于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙的切線交于點(diǎn)，連接.求證:(1)是等腰三角形;(2).11.(·雅安)如圖的對角線相交于點(diǎn)通過點(diǎn)，分別交于點(diǎn)的延長線交的延長線于點(diǎn).(1)求證:;(2)若，求的長.12.(·涼山州)如圖，，平分，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).(1)求證:;(2)若，求的長.13.(·上海)如圖，是⊙的兩條弦，且是延長線上一點(diǎn)，連接并延長交⊙于點(diǎn)，連接并延長交⊙于點(diǎn).(1)求證:;(2)假如，求證:四邊形是菱形.14.(·瀘州)如圖，為⊙的直徑，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在⊙上，且.(1)求證:是⊙的切線;(2)已知是的中點(diǎn)，，垂足為交于點(diǎn)，求的長.年月日 1.(·赤峰)如圖，分別是邊上的點(diǎn)，.若，則的長為()A.1B.2C.3D.42.(·海南)如圖，在中，，是邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，當(dāng)平分時，的長為()A.B.C.D.3.(·蘭州)已知，，則的值為()A.2B.C.3D.4.(·巴中)如圖，在中，為的中點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，則為()A.2:3B.3:2C.9:4D.4:95.(·安徽)如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，于點(diǎn)，交于點(diǎn).若，則的長為()A.3.6B.4C.4.8D.56.(·涼山州)如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則為()A.1:2B.1:3C.1:4D.2:37.(·溫州)如圖，在矩形中，為的中點(diǎn)，認(rèn)為邊作正方形，邊交于點(diǎn)，在邊上取點(diǎn)使，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn).歐幾里得在《幾何原本》中運(yùn)用該圖解釋了，現(xiàn)以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓弧交線段于點(diǎn)，連接，記△的面積為，圖中陰影部分的面積為.若點(diǎn)在同一直線上，則的值為()A.B.C.D.8.(·眉山)如圖，在菱形中，，，，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，連接.有下列結(jié)論:①;②;③;④若，則點(diǎn)到的距離為.其中，對的的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.49.(·遂寧)如圖，