山東省濟南市山東師大附中2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含解析

2021級20212022學(xué)年10月份學(xué)分認定考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．3．答非選擇題時，必須使用毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由交集的定義計算即可.【詳解】因為，所以.故選：D.2.命題的否定為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用全稱命題的否定解答即可.【詳解】因為命題，所以命題的否定形式為.故選：C.3.若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由得到的大小關(guān)系，再逐個驗證，即可得出結(jié)果.【詳解】由于，得到，則A錯誤，D正確，進而可得，故B、C正確，結(jié)論不正確的是A.故選：A.4.已知，則的最小值為（）A.4 B.C D.【答案】C【解析】【分析】將原式構(gòu)造成兩正數(shù)和的形式，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，且，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故選：C.5.將一根鐵絲切割成三段,做成一個面積為、形狀為直角三角形的工藝品框架,在下列4種長度的鐵絲中，選用最合適（夠用且浪費最少）的是（）（注：）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直角三角形兩條直角邊為，由面積可得，故周長，利用均值不等式以及，即得解【詳解】由題意，設(shè)直角三角形的兩條直角邊為則此時三角形框架的周長當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立由于，故選：C6.《幾何原本》卷II的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以直接完成的無字證明為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖形可知：，．在中，由勾股定理可得：．利用即可得出．【詳解】解：由圖形可知：，．在中，由勾股定理可得：．，．．故選：．7.使“”成立的必要不充分條件是（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】解不等式，求得，根據(jù)必要不充分條件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】不等式可化為解得則成立，反之不可以.所以是成立的必要不充分條件.故選：A8.已知，，則與之間的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.無法比較【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，得到，然后利用不等式的性質(zhì)，由與的大小判斷.【詳解】設(shè)，則，所以，，而，所以，即，故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題是存在量詞命題且是真命題的是（）A.存在實數(shù)，使B.存在一個無理數(shù)，它的立方是有理數(shù)C.有一個實數(shù)的倒數(shù)是它本身D.每個四邊形的內(nèi)角和都是360°【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知逐個判斷各選項即可得出結(jié)果.【詳解】對于A.是存在量詞命題，但不存在實數(shù)，使成立，即為假命題，故A錯誤，對于B,是存在量詞命題，例如無理數(shù)，它的立方是為有理數(shù)，故B正確，對于C,是存在量詞命題，例如1的倒數(shù)是它本身，為真命題，故C正確，對于D,是全稱量詞命題，故D錯誤，故選：BC10.設(shè)全集，集合，則下列運算正確的是（）A B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】化簡集合M，N，計算，，，即可求解.【詳解】，，，，故A,B正確；或，，或，，故C錯誤，D正確.故選：ABD11.已知不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對A，根據(jù)一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系即可判斷；對B，C，利用韋達定理即可判斷；對D，利用對應(yīng)的二次函數(shù)最大值大于0，即可判斷【詳解】對A，不等式的解集為，故相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向下，即，故A正確；對B，C，由題意知：和是關(guān)于的方程的兩個根，則有，，又，故，故B，C錯誤；對D，對稱軸為，由于函數(shù)開口向下，且存在大于0的部分故當(dāng)，取得的最大值必大于0，故成立，故D正確.故選：AD12.在中，三邊長分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，由三角形的性質(zhì)，可判斷A正確；利用基本不等式，可判斷BC正確；由特殊值法，可判斷D錯.【詳解】A選項，因為，，為三角形三邊，所以，則，即，故A正確；B選項，根據(jù)三角形的性質(zhì)可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；因此，故B錯；C選項，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時不滿足三角形性質(zhì)，故，即C正確；D選項，若，則能構(gòu)成三角形，且滿足，但此時，即D錯；故選：ABC.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件可得，列出不等式求解即可.【詳解】由方程有兩個不相等的正實數(shù)根，設(shè)為則，即，解得故答案為：14.已知集合，若，則實數(shù)的值為__________.【答案】或【解析】【分析】因為，則或或，分別求，，時集合，根據(jù)集合元素的互異性，即可求解.【詳解】因為，則或或，當(dāng)時，，，符合題意；當(dāng)時，，，不滿足集合中元素互異性，舍去；當(dāng)時，或（舍）當(dāng)時，，符合題意；綜上所述：或，故答案為：或15.已知，則的最小值是_______．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)已知可將變形為，展開可得，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值是9.故答案為：9.16.已知函數(shù)的圖象頂點的縱坐標為0，若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的值為_______．【答案】【解析】【分析】利用的頂點坐標公式得出的關(guān)系，再利用解集的區(qū)間長度為4得出的方程可求解.【詳解】由令，由圖象頂點的縱坐標為0，得出，，由的解集為，，又，所以，解得：.故答案為：3.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）解不等式：；（2）已知，，求的范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）通過一元二次不等式的解法計算即可；（2）通過不等式的性質(zhì)計算即可.【詳解】解：（1）（2）18.已知集合．（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）由且，列不等式求的范圍即可.（2）由條件知，且，列不等式求的范圍即可.【詳解】解：（1），且，或，解得：或．（2），，解得：．19.已知命題，命題,若命題都是真命題，求實數(shù)的取值范圍．【答案】．【解析】【分析】通過命題的真假關(guān)系，求得命題都是真命題時實數(shù)的取值范圍取交集即可.【詳解】解：①命題是真命題，則當(dāng)時，，解得，不滿足條件；當(dāng)時，要使得，必有，解得，命題是真命題時．②命題是真命題，則有，即，解得：或．綜上①②，命題都是真命題時，．20.某機械加工公司計劃建造一個室內(nèi)面積為的矩形車間．在車間內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與前側(cè)內(nèi)墻各保留寬的通道，沿后側(cè)內(nèi)墻保留寬的通道以方便運送原材料；其他為機械操作面積．當(dāng)矩形車間的邊長各為多少時，車間的機械操作面積最大？最大操作面積是多少？【答案】當(dāng)矩形車間的邊長各為時，車間的機械操作面積最大，最大操作面積是．【解析】【分析】設(shè)矩形車間的長為，寬為，由題意得，則車間的機械操作面積，利用基本不等式計算即可求得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)矩形車間的長為，寬為，且，則由題意得，車間的機械操作面積，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，．答：當(dāng)矩形車間的邊長各為時，車間的機械操作面積最大為．21.解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見解析.【解析】【分析】對分、、、和五種情況討論得解.【詳解】當(dāng)時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式對應(yīng)方程的根為或2，①當(dāng)時，不等式即的解集為；②當(dāng)時，不等式的解集為；③當(dāng)時，不等式的解集為；④當(dāng)時，不等式的解集為.綜上所述，當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.【點睛】易錯點睛：解答本題有兩個易錯點：（1）漏掉這一種情況，因為不確定不等式是不是一元二次不等式，所以要討論；（2）當(dāng)時，分類出現(xiàn)錯誤或遺漏.22.有一種變壓器鐵芯截面是如圖所示的正十字形，為保證磁通量的穩(wěn)定性，要求十字形鐵芯的面積為．為節(jié)約成本，需使用來繞鐵芯的銅線最省，即正十字形外接圓周長最短．問當(dāng)正十字形的長和寬為多少厘米時，正十字形外接圓周長最短，最短是多少厘米？【答案】當(dāng)正十字形的長為，寬為