北京西城中高三上學期月月考數(shù)學（理）試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精高三數(shù)學理科12月考試卷一、選擇題（本大題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出，的四個選項中，選出符合題目是要求的一項）1．集合，，那么“”是“”的（）．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵集合，，∴，∴“”是“”的充分而不必要條件．故選．2．已知是定義在上的奇函數(shù)，則的值為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是定義在上的奇函數(shù),∴,即,且,∴．故選．3．已知,為兩條直線，，為兩個平面，給定下列四個命題：①，；②,；③，;④，．其中不正確的是(）．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【解析】①,，則或，故①錯誤；②，，則或，故②錯誤；③，，則或,故③錯誤;④，，則或，故④錯誤．綜上，不正確的有個．故選．4．已知點在拋物線上，且點到的準線的距離與點到軸的距離相等，則的值為(）．A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，∵,∴，解得．故選．5．已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當時，函數(shù)取得最小值,則下列結論正確的是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】∵函數(shù)的最小正周期為，∴，∵當時，函數(shù)取得最小值，，∴，令，則，在上單調遞減，，，，又∵，∴，∴．故選．6．平面向量與的夾角為，，,則（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】∵與的夾角為,，,∴，∴．故選．7．已知函數(shù)的零點為，的零點為,，可以是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，,，∴．項．的零點為，不滿足；項．函數(shù)的零點為,不滿足；C項．函數(shù)的零點為,不滿足;D項．函數(shù)的零點為，滿足．故選．8．已知正方形的棱長為，，分別是邊，的中點，點是上的動點，過點,，的平面與棱交于點，設,平行四邊形的面積為，設,則關于的函數(shù)的解析式為（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得平面，即，∴，在平面中，，∴，．故選．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在答題紙相應位置的橫線上．）9．一個幾何圖的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．【答案】【解析】根據(jù)三視圖，作出直觀圖,如圖所示，∴該幾何體的體積．10．已知直線不通過第一象限,則實數(shù)的取值范圍__________．【答案】【解析】直線恒成立,斜率為，∵直線不通過第一象限,∴，解得，故實數(shù)的取值范圍是．11．橢圓一個長軸的一個頂點為，以為直角頂點做一個內接于橢圓的等腰直角三角形，則此直角三角形的面積等于__________．【答案】【解析】設內切于橢圓的等腰直角三角形為，則，,直線，可求得，,．12．復數(shù)，,則實部的最大值__________，虛部的最大值__________．【答案】，【解析】∵，,∴，∴的實部為，∴實部的最大值為,的虛部為，∴虛部的最大值為．13．、兩地街道如圖所示，某人要從地前往地,則路最短的走法有__________種．【答案】【解析】根據(jù)題意，需要向上走次，向右走次,共次，從次中選次向右,剩下次向上即可，則有種不同的走法．14．若對任意，有唯一確定的與之對應,則稱為關于，的二元函數(shù)，現(xiàn)定義滿足下列性質的為關于實數(shù),的廣義“距離"．（）非負性：，當且僅當時取等號；(）對稱性:；（）三角形不等式：對任意的實數(shù)均成立．給出三個二元函數(shù):①；②；③,則所有能夠成為關于,的廣義“距離”的序號為__________．【答案】①【解析】①,滿足（）非負性，，滿足（)對稱性，，滿足（）三角形不等式，故①能夠成為關于，的廣義“距離"．②不妨設，則有，此時有，而,故不成立，所以不滿足()三角形不等式，故②不能成為關于,的廣義“距離”．③由于時，無意義,故③不滿足．綜上，故正確答案是：①．三、解答題（本大題共6小題，共80分）15．在中，內角、、的對邊分別為、、．角,．（)求角的值．()若，求邊、、的值．【答案】見解析【解析】解:()在中，由正弦定理，得，∵，∴,．（）,∴，由正弦定理得，由余弦定理得,解得，∴,，．16．學校高一年級開設、、、、五門選修課，每位同學須彼此獨立地選三課程,其中甲同學必選課程,不選課程，另從其余課程中隨機任選兩門課程．乙、丙兩名同學從五門課程中隨機任選三門課程．（Ⅰ）求甲同學選中課程且乙同學未選中課程的概率．（Ⅱ）用表示甲、乙、丙選中課程的人數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】見解析【解析】（Ⅰ）設事件為“甲同學選中課程"，事件為“乙同學選中課程",則,，∵事件與相互獨立，∴甲同學選中課程且乙同學未選中課程的概率．(Ⅱ）設事件為“兩同學選中課程"，則，的可能取值為,，,，，，,．∴的分布列為：．17．如圖,在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側面底面,，，，分別為,的中點，點在線段上．（Ⅰ）求證：平面．（Ⅱ)若為的中點，求證:平面．(Ⅲ）如果直線與平面所成的角和直線與平面所在的角相等，求的值．【答案】見解析【解析】（Ⅰ）證明：在平行四邊形中,∵，，，∴，∵,分別為，的中點，∴，∴，∵側面底面，且，∴底面,∴，又∵，平面，平面，∴平面．（Ⅱ）證明:∵為的中點，為的中點，∴，又∵平面,平面，∴平面，同理，得平面，又∵，平面,平面，∴平面平面，又∵平面，∴平面．（Ⅲ）解：∵底面，，∴，,兩兩垂直，故以，,分別為軸,軸和軸建立如圖空間直角坐標系，則，，，,，,所以,,,設，則，∴，，易得平面的法向量，設平面的法向量為，則：，即，令，得,∴直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，∴，即，∴，解得或(舍去），故．18．已知常數(shù)，向量，經(jīng)過點,以為方向向量的直線與經(jīng)過點，以為方向向量的直線交于點，其中．（）求點的軌跡方程，并指出軌跡．（）若點，當時，為軌跡上任意一點，求的最小值．【答案】見解析【解析】解：（）∵，∴直線的方程為：①式,又，∴直線的方程為：②式，由①式,②式消去入得,即，故點的軌跡方程為．當時，軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當時，軌跡是以原點為中心，以為焦點的橢圓，當時，軌跡是以原點為中心,以為焦點的橢圓．（）當時,，∵為軌跡是任意一點，∴設，∴∵,∴當時,取得最小值．19．已知函數(shù)，．(Ⅰ)當時，求曲線在點處的切線方程．（Ⅱ)當時,若曲線上的點都在不等式組所表示的平面區(qū)域內,試求的取值范圍．【答案】見解析【解析】解:（Ⅰ)當時，，，，∴，，∴曲線在點處的切線方程為，即．（Ⅱ)根據(jù)題意，當時，曲線上的點都在不等式組所表示的平面區(qū)域內,等價于時，恒成立，設，,∴，①當,即時,當時,,單調遞減，故，根據(jù)題意有，解得，即，②當，即時，當，，單調遞增，當，，單調遞減，∵，∴不符合題意．③當,即時,注意到，顯然不合題意．綜上所述,．20．已知橢圓的右焦點為，右頂點為，離心離為，