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第03講等比數列1.等比數列的定義一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(不為零),那么這個數列叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比,通常用字母q表示.定義的表達式:=q(n∈N*,n≥2)或eq\f(an+1,an)=q(n∈N*,q為非零常數).2.等比數列的通項公式an=a1·qn-1=am·qn-m.3.等比中項若a,b,c成等比數列,則b2=a·c.b是a與c的等比中項.4.等比數列的下標和公式若m+n=p+q,則am·an=ap·aq.5.等比數列的前n項和公式Sn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q=1,,\f(a11-qn,1-q)=\f(a1-anq,1-q)q≠1))6.等比數列的常用性質在等比數列{an}中,若Sn為其前n項和,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數列(n為偶數且q=-1除外).一.等比數列基本量的運算例1.(1)已知等比數列的前3項和為168,,則(

)A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【分析】設等比數列的公比為,易得,根據題意求出首項與公比,再根據等比數列的通項即可得解.【詳解】解:設等比數列的公比為,若,則,與題意矛盾,所以,則,解得,所以.故選:D.(2)等比數列是遞增數列,若,,則公比為(

)A. B. C.或 D.或【答案】D【分析】由題意可知且,由已知條件可得出關于實數的等式,解出的值,進一步求出的值和數列的通項公式,對數列的單調性進行驗證,由此可得出結果.【詳解】因為等比數列是遞增數列,則數列的公比滿足且,所以,,即,解得或.若,則,解得,此時,此時數列為遞增數列,合乎題意;若,則,解得,此時,此時數列為遞增數列,合乎題意.綜上所述,或.故選:D.(3)已知等比數列的前項和為,若,,則A. B. C.3 D.9【答案】B【詳解】,所以選B.(4)已知為等比數列的前項和,若,,則公比(

)A. B.C.或1 D.或1【答案】C【分析】設等比數列的公比為q.利用基本量代換列方程組即可求出q.【詳解】設等比數列的公比為q.因為,,所以,,即,,所以,解得或.故選:C.(5)記Sn為等比數列{an}的前n項和.若a5-a3=12,a6-a4=24,則eq\f(Sn,an)等于()A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1【答案】B【詳解】方法一設等比數列{an}的公比為q,則q=eq\f(a6-a4,a5-a3)=eq\f(24,12)=2.由a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,得a1=1.所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=eq\f(a11-qn,1-q)=2n-1,所以eq\f(Sn,an)=eq\f(2n-1,2n-1)=2-21-n.方法二設等比數列{an}的公比為q,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3q2-a3=12,

①,a4q2-a4=24,②))eq\f(②,①)得eq\f(a4,a3)=q=2.將q=2代入①,解得a3=4.所以a1=eq\f(a3,q2)=1,下同方法一.(6)在等比數列中,,且為和的等差中項,則______.【答案】【分析】由已知可得出,解得或.經檢驗得,又由可得,即可得到的通項公式,進而求出答案.【詳解】解:設公比為.由為和的等差中項可得,,即,因為,所以,解得或.當時,,這與矛盾,舍去;當時,,又,所以,所以.所以.故答案為:.【復習指導】:(1)等比數列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.(2)等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,當q=1時,{an}的前n項和Sn=na1;當q≠1時,{an}的前n項和Sn=eq\f(a11-qn,1-q)=eq\f(a1-anq,1-q).二.等比數列的判定與證明例2.(1)已知各項都為正數的數列{an}滿足an+2=2an+1+3an.(=1\*romani)證明:數列{an+an+1}為等比數列;(=2\*romanii)若a1=eq\f(1,2),a2=eq\f(3,2),求{an}的通項公式.【詳解】(=1\*romani)證明an+2=2an+1+3an,所以an+2+an+1=3(an+1+an),因為{an}中各項均為正數,所以an+1+an>0,所以eq\f(an+2+an+1,an+1+an)=3,所以數列{an+an+1}是公比為3的等比數列.(=2\*romanii)解由題意知an+an+1=(a1+a2)3n-1=2×3n-1,因為an+2=2an+1+3an,所以an+2-3an+1=-(an+1-3an),a2=3a1,所以a2-3a1=0,所以an+1-3an=0,故an+1=3an,所以4an=2×3n-1,an=eq\f(1,2)×3n-1.(2)已知數列滿足:.(=1\*romani)求證:數列是等比數列;(=2\*romanii)求數列的通項公式及其前項和的表達式.【答案】(=1\*romani)證明見解析;(=2\*romanii);【分析】(=1\*romani)由等比數列的定義證明即可;(=2\*romanii)由(=1\*romani)得出數列的通項公式,再由等差和等比的求和公式計算.【詳解】(=1\*romani)由題意可知,所以數列是以為首項,公比為的等比數列.(=2\*romanii)由(=1\*romani)可知,,即前項和.(3)記為數列的前n項和,已知,,且.(=1\*romani)證明:為等比數列;(=2\*romanii)求數列的通項公式及前n項和.【答案】(=1\*romani)證明見解析;(=2\*romanii);.【分析】(=1\*romani)利用構造法,構造數列證明即可;(=2\*romanii)結合(=1\*romani)變形構造得到新數列,然后利用分組以及等差等比數列求和公式寫出【詳解】(=1\*romani)證明:由,可化為,即,∴是以為首項,2為公比的等比數列;(=2\*romanii)由(=1\*romani)可知,,,是1為首項,公比為-3的等比數列,∴,,,故,.【復習指導】:等比數列的三種常用判定方法(1)定義法:若eq\f(an+1,an)=q(q為非零常數,n∈N*)或eq\f(an,an-1)=q(q為非零常數且n≥2,n∈N*),則{an}是等比數列.(2)等比中項法:若數列{an}中,an≠0且aeq\o\al(2,n+1)=an·an+2(n∈N*),則{an}是等比數列.(3)前n項和公式法:若數列{an}的前n項和Sn=k·qn-k(k為常數且k≠0,q≠0,1),則{an}是等比數列.三.等比數列性質的應用命題點1等比數列項的性質例3.(1)已知數列{an}為等比數列,且a2a6+2aeq\o\al(2,4)=π,則tan(a3·a5)等于()A.eq\r(3)B.-eq\r(3)C.-eq\f(\r(3),3)D.±eq\r(3)【答案】A【詳解】由已知得aeq\o\al(2,4)+2aeq\o\al(2,4)=π,∴aeq\o\al(2,4)=eq\f(π,3),又a3·a5=aeq\o\al(2,4)=eq\f(π,3),∴tan(a3·a5)=eq\r(3).(2)(2020·全國Ⅰ)設{an}是等比數列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8等于()A.12B.24C.30D.32【答案】D【詳解】設等比數列{an}的公比為q,則q=eq\f(a2+a3+a4,a1+a2+a3)=eq\f(2,1)=2,所以a6+a7+a8=(a1+a2+a3)·q5=1×25=32.(3)已知數列是等差數列,數列是等比數列,若則的值是(

)A. B.1 C.2 D.4【答案】B【分析】由等差中項及等比中項的性質求解即可.【詳解】由等差中項的性質可得,由等比中項的性質可得,因此,.故選:B.(4)若等比數列中的,是方程的兩個根,則等于(

)A.B.1011C.D.1012【答案】C【分析】利用韋達定理、等比數列的性質以及對數的運算性質進行求解.【詳解】因為等比數列中的,是方程的兩個根,所以,根據等比數列性質知,,因為,于是,則==.故A,B,D錯誤.故選:C.(5)在等比數列中,,則的值為(

)A.48 B.72 C.144 D.192【答案】D【分析】由等比數列的性質求解【詳解】數列是等比數列,則,,而,故.故選:D【復習指導】:(1)等比數列的性質可以分為三類:一是通項公式的變形,二是等比中項的變形,三是前n項和公式的變形,根據題目條件,認真分析,發(fā)現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.(2)巧用性質,減少運算量,在解題中非常重要.命題點2等比數列和的性質例4.(1)等比數列的前項和為,,,則為(

)A. B. C. D.或【答案】A【分析】根據等比數列片段和性質可構造方程求得,再由可得最終結果.【詳解】由題意知:,,成等比數列,,解得:或;,.故選:A.(2)已知各項均為正數的等比數列,,則(

)A.60 B.10 C.15 D.20【答案】A【分析】由等比數列的性質可得,再求出與的值,從而可得答案.【詳解】設各項均為正數的等比數列的公比為,因為,,所以,,,所以,故選:A.(3)等比數列的前項和是,且,若,則(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據等比數列的性質成等比數列,列方程求解【詳解】設,則,所以由等比數列性質知成等比數列所以,得,所以所以故選:D(4)正項等比數列的前項和為,,,則等于()A.90B.50C.40D.30【答案】B【分析】由,可得,由等比數列前n項和的性質可得,代入求解即可.【詳解】解:因為是正項等比數列的前項和,所以,所以,又因為,,所以,所以,解得或(舍).故選:B.【復習指導】:等差/等比數列的前n項和性質(1)設等差數列{an}的公差為d,Sn為其前n項和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍構成等差數列,且公差為m2d.(2)若等比數列前n項和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比數列(m為偶數且q=-1除外).四.等比數列的函數特性例5.(1)在等比數列中,公比為.已知,則是數列單調遞減的(

)條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要【答案】C【分析】根據等比數列的單調性結合充分條件和必要條件的定義即可得出結論.【詳解】解:,當時,,所以數列單調遞減,故充分性成立,若數列單調遞減,則,即,故必要性成立,所以是數列單調遞減的充要條件.故選:C.(2)已知正項等比數列的前n項和為,前n項積為,滿足,則的最小值是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】由等比數列的通項公式與求和公式求出公比q,進而即可求解【詳解】設公比為q(顯然),由得,即,得或(舍去),所以遞增且,所以最小值為.故選:C(3)若等比數列的公比為,其前項和為,前項積為,并且,則下列正確的是(

)A. B.C.的最大值為 D.的最大值為【答案】D【分析】根據等比數列定義以及可得且,即AB均錯誤,再由等比數列前項和的函數性質可知無最大值,由前項積定義解不等式可知的最大值為.【詳解】由可知公比,所以A錯誤;又,且可得,即B錯誤;由等比數列前項和公式可知,由指數函數性質可得為單調遞增,即無最大值,所以C錯誤;設為數列前項積的最大值,則需滿足,可得,又可得,即的最大值為,所以D正確.故選:D(4)設等比數列的公比為,其前項和為,前項積為,并滿足條件,,則下列結論正確的是(

)A. B.是數列中的最大值C. D.數列無最大值【答案】C【分析】根據題意,由等比數列的性質分析公比的范圍,由此分析選項可得答案.【詳解】解:等比數列的公比為,則,由,則有,必有,又由,即,又,則有或,又當時,可得,由,則與矛盾所以,則有,由此分析選項:對于A,,故,故A錯誤;對于B,等比數列中,,,所以數列單調遞減,又因為,所以前項積為中,是數列中的最大項,故B錯誤;對于C,等比數列中,則,則,故C正確;對于D,由B的結論知是數列中的最大項,故D錯誤.故選:C.【復習指導】:若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0,,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0,,0<q<1,))則等比數列{an}遞增.若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0,,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0,,q>1,))則等比數列{an}遞減.1.已知各項均為正數的等比數列中,,,則()A.2 B.54 C.162 D.243【答案】C【分析】設等比數列的公比為,由題意可得,解方程后代入等比數列通項公式,即可求解.【詳解】解:設等比數列的公比為,由題意可得,解得,.故選:C【點睛】本題考查等比數列的通項公式的應用,考查運算求解能力與方程思想,屬于基礎題.2.設是等比數列,且,則(

)A.8 B.12 C.16 D.24【答案】C【分析】由等比數列的性質求得,再代入中即可求得的值.【詳解】,.故選:C.3.等比數列中,若,則公比為(

)A.1 B.-2 C.2 D.2或-2【答案】C【分析】根據已知條件,結合等比數列的性質,即可求解.【詳解】設等比數列的公比為,因為,所以,即,解得:,故選:.4.等比數列{an}中,若a5=9,則log3a4+log3a6=(

)A.2 B.3 C.4 D.9【答案】C【分析】利用等比中項得到,直接求得.【詳解】等比數列{an}中,若a5=9,所以,所以.故選:C5.已知是各項均為正數的等比數列的前n項和,若,,則(

).A.21 B.81 C.243 D.729【答案】C【分析】根據等比中項得到,設出公比,得到方程組,求出公比,進而求出答案.【詳解】,因為,所以,,又,故,設公比是,則,兩式相除得:,解得:或(舍去),故.故選:C6.等比數列的各項均為正數,且,則(

)A.5 B.10 C.4 D.【答案】A【分析】利用等比數列的性質及對數的運算性質求解.【詳解】由題有,則=5.故選:A7.正項等比數列的前n項和為,若,,則(

).A.8 B.16 C.27 D.81【答案】B【分析】利用基本量代換先求出,即可求出.【詳解】設正項等比數列的公比為q.由可得:,所以.所以,解得:(舍去)所以.故選:B8.已知等比數列{an}的前n項和為Sn,若,則(

)A. B.43 C. D.41【答案】A【分析】利用等比數列性質成等比數列即可求解.【詳解】設,則,因為為等比數列,所以,,仍成等比數列.因為,所以,所以,故.故選:A.9.已知等比數列{an}的前n項和為Sn,S10=1,S30=13,S40=()A.﹣51 B.﹣20 C.27 D.40【答案】D【分析】由{an}是等比數列可得S10,S20﹣S10,S30﹣S20,S40﹣S30成等比數列,列方程組,從而即可求出S40的值.【詳解】由{an}是等比數列,且S10=1>0,S30=13>0,得S20>0,S40>0,且1<S20<13,S40>13所以S10,S20﹣S10,S30﹣S20,S40﹣S30成等比數列,即1,S20﹣1,13﹣S20,S40﹣13構成等比數列,∴(S20﹣1)2=1×(13﹣S20),解得S20=4或S20=﹣3(舍去),∴(13﹣S20)2=(S20﹣1)(S40﹣13),即92=3×(S40﹣13),解得S40=40.故選:D.10.已知是首項為32的等比數列,是其前項和,且,則數列前10項和為(

)A.58 B.56 C.50 D.45【答案】A【分析】先求出的公比得到通項公式,再求出,計算前10項和即可.【詳解】根據題意,所以,從而有,所以,所以有,所以數列的前10項和等于.故選:A.11.在等比數列中,公比是,則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據等比數列的單調性舉出反例,如,再根據充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解:當時,則,因為,所以,所以,故,所以不能推出,當時,則,由,得,則,所以,所以不能推出,所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.12.在等比數列中,,,則(

)A.2 B. C.2或 D.或【答案】C【分析】利用等比數列的性質列方程組即可求解.【詳解】因為是等比數列,所以.又,聯立解得或,當時,;當時,.故選:C13.已知等比數列的前n項和為,且,,成等差數列,,則(

)A. B. C.48 D.96【答案】C【分析】根據題意,由條件得到關于與的方程,即可得到,從而得到結果.【詳解】設等比數列的公比為,因為成等差數列,所以,即,又,所以,解得所以故選:C14.設等比數列的前n項和為Sn,若,,成等差數列,且,則(

)A.-1 B.-3 C.-5 D.-7【答案】B【分析】根據等差數列列式,代入等比數列前項和公式,計算得,從而求解.【詳解】∵,,成等差數列,∴,由題意,∴,可得,所以∴.故選:B.15.已知等比數列{an}的前n項和為Sn,若a2=eq\f(2,3),eq\f(1,a1)+eq\f(1,a2)+eq\f(1,a3)=eq\f(13,2),則S3等于()A.eq\f(26,9)B.eq\f(13,3)C.eq\f(13,9)D.6【答案】A【詳解】設等比數列{an}的首項為a1,公比為q,因為a2=eq\f(2,3),且eq\f(1,a1)+eq\f(1,a2)+eq\f(1,a3)=eq\f(13,2),所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q=\f(2,3),,\f(1,a1)+\f(1,a1q)+\f(1,a1q2)=\f(13,2),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=\f(2,9),,q=3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=2,,q=\f(1,3),))當a1=eq\f(2,9),q=3時,S3=eq\f(\f(2,9)1-33,1-3)=eq\f(26,9);當a1=2,q=eq\f(1,3)時,S3=eq\f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3)),1-\f(1,3))=eq\f(26,9),所以S3=eq\f(26,9).16.中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初日健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關……”其大意為:有一個人走了378里路,第一天健步行走,從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地……則此人后四天走的路程比前兩天走的路程少()A.198里B.191里C.63里D.48里【答案】A【詳解】設每天走的路程里數為{an},則{an}是公比為eq\f(1,2)的等比數列,由S6=378,得eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,26))),1-\f(1,2))=378,解得a1=192,∴an=192·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n-1,∴后四天走的路程為a3+a4+a5+a6,前兩天走的路程為a1+a2,又a1+a2=192+96=288,且S6=378,∴a3+a4+a5+a6=378-288=90,∴(a1+a2)-(a3+a4+a5+a6)=288-90=198,故此人后四天走的路程比前兩天走的路程少198里,故選A.17.數列{an}中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,則k等于()A.2B.3C.4D.5【答案】C【詳解】a1=2,am+n=aman,令m=1,則an+1=a1an=2an,∴{an}是以a1=2為首項,q=2為公比的等比數列,∴an=2×2n-1=2n.又∵ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,∴eq\f(2k+11-210,1-2)=215-25,即2k+1(210-1)=25(210-1),∴2k+1=25,∴k+1=5,∴k=4.18.已知為等比數列,的前n項和為,前n項積為,則下列選項中正確的是(

)A.若,則數列單調遞增B.若,則數列單調遞增C.若數列單調遞增,則D.若數列單調遞增,則【答案】D【分析】根據等比數列的前n項和公式與通項公式可得與,進而可得、取值同號,即可判斷A、B;舉例首項和公比的值即可判斷C;根據數列的單調性可得,進而得到,求出,即可判斷D.【詳解】A:由,得,即,則、取值同號,若,則不是遞增數列,故A錯誤;B:由,得,即,則、取值同號,若,則數列不是遞增數列,故B錯誤;C:若等比數列,公比,則,所以數列為遞增數列,但,故C錯誤;D:由數列為遞增數列,得,所以,即,所以,故D正確.故選:D19.已知正項等比數列的前項和為,若,,成等差數列,則的最小值為(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用等比數列前項和的性質表示出,再表示成同一變量,然后利用基本不等式求出其最小值即可.【詳解】因為是正項等比數列,所以,,仍然構成等比數列,所以.又,,成等差數列,所以,,所以.又是正項等比數列,所以,,當且僅當時取等號.故選:B.20.已知等比數列的前項和為,且,,成等差數列,則(

)A. B. C.3 D.4【答案】B【分析】先利用,,成等差數列解出,再利用求和公式化簡求值即可.【詳解】設等比數列公比為,由,,成等差數列可得,,化簡得,解得,.故選:B.21.已知各項均為正數的等比數列的前n項和為,,,則的值為(

)A.30 B.10 C.9 D.6【答案】B【分析】根據等比中項可得,對根據等比數列的定義和通項公式可得,運算求解即可得答案.【詳解】為正數的等比數列,則,可得,∵,∴,又∵,則,可得,∴,解得,故.故選:B.22.在正項等比數列中,,,則數列的通項公式為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】求出的值,進而可求得等比數列的公比,結合等比數列的通項公式可求得數列的通項公式.【詳解】設等比數列的公比為,由題意可知,對任意的,,,由等比中項的性質可得,解得,所以,,整理可得,,解得,因此,.故選:A.23.已知一個項數為偶數的等比數列,所有項之和為所有偶數項之和的倍,前項之積為,則(

)A.B.C.D.【答案】C【分析】求出等比數列的公比,結合等比中項的性質求出,即可求得的值.【詳解】由題意可得所有項之和是所有偶數項之和的倍,所以,,故設等比數列的公比為,設該等比數列共有項,則,所以,,因為,可得,因此,.故選:C.24.已知在各項為正數的等比數列中,與的等比中項為8,則取最小值時,首項()A.8 B.4 C.2 D.1【答案】C【分析】由題意可得,可得,由基本不等式和等比數列的通項公式可得結果.【詳解】∵,設公比為,∴當且僅當,即時取等號,此時,故選C.【點睛】該題考查的是有關應用基本不等式求最值的問題,涉及到的知識點有等比數列的性質,利用基本不等式求最值,屬于簡單題目.25.已知各項均為正數且單調遞減的等比數列滿足、、項和為,且,則(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】先根據,,成等差數列以及單調遞減,求出公比,再由即可求出,再根據等比數列通項公式以及前項和公式即可求出.【詳解】解:由,,成等差數列,得:,設的公比為,則,解得:或,又單調遞減,,,解得:,數列的通項公式為:,.故選:C.26.設等比數列滿足,,則的最大值為(

)A.32 B.16 C.128 D.64【答案】D【分析】結合已知條件,求出的通項公式,然后求解當時的范圍,進而可得到答案.【詳解】因為等比數列滿足,,所以,從而,故,則數列是單調遞減數列,當時,,故.故選:D.27.若分別是與的等差中項和等比中項,則的值為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據條件可得,,然后結合同角三角函數的關系,以及恒等變換公式化簡,即可得到結果.【詳解】依題意可得,,且,所以,即,解得又因為,所以,所以故選:A28.已知正項等比數列滿足,若存在、,使得,則的最小值為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】設等比數列的公比為,則,根據已知條件求出的值,由已知條件可得出,將代數式與相乘,利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】設等比數列的公比為,則,由可得,解得,因為,則,,可得,由已知、,所以,,當且僅當時,等號成立,因此,的最小值為.故選:D.29.(多選)記為等比數列的前項和,則(

)A.是等比數列 B.是等比數列C.成等比數列 D.成等比數列【答案】AB【分析】根據等比數列的定義即可判斷求解.【詳解】設等比數列公比為,則有,所以,所以是以為公比的等比數列,A正確;,所以是以為公比的等比數列,B正確;若公比,則,所以不能構成等比數列,C錯誤;若公比,且為偶數,則都等于0,此時不能構成等比數列,D錯誤.故選:AB.30.(多選)已知數列,其前項和為.則下列結論正確的是(

)A.若數列是等差數列,則是等差數列B.若數列是等比數列,則是等比數列C.若數列是等差數列,則是等差數列D.若數列是等比數列,則是等比數列【答案】AC【分析】根據等差數列的定義等差中項的性質判斷AC,結合等比數列的定義舉例說明判斷BD.【詳解】對于A,若數列是等差數列,設公差為,則為常數,因此是等差數列,A正確;對于C,,,,顯然有,,…,,所以,即是等差數列,C正確;對于B,,則是等比數列,但,不是等比數列,B錯誤,對于D,,當,,,,則不是等比數列,D錯誤.故選:AC.31.(多選)已知數列滿足(其中,q為非零常數,),則下列說法正確的是(

)A.若,則不是等比數列 B.若,則既是等差數列,也是等比數列C.若,則是遞減數列 D.若是遞增數列,則【答案】BC【分析】根據等比數列的定義判斷A,根據等比數列和等差數列的定義判斷B,根據遞減數列的定義判斷C,根據遞增數列的性質判斷D.【詳解】對于選項A,當時,,由等比數列的定義可知,是等比數列,故A錯誤;對于選項B,當時,,所以既是等差數列,也是等比數列,故B正確;對于選項C,當,時,,即,所以是遞減數列,故C正確;對于選項D,當,不是遞增數列,不符合題意;當時,,由是遞增數列得,,所以或,即或,故D錯誤.故選:BC.32.(多選)已知數列的前項和為,且滿足,,,則下面說法正確的是(

)A.數列為等比數列 B.數列為等差數列C. D.【答案】ABD【分析】由已知遞推式可得或,從而可得數列為公比為3的等比數列,數列為常數列,從而可求出,進而可分析判斷【詳解】根據題意得,令或,所以可得:或,所以數列為公比為3的等比數列,故選項A正確;數列為常數列,即為公差為0的等差數列,故選項B正確;所以,且,解得,所以C錯誤,所以,所以D正確,故選:ABD.33.記Sn為等比數列{an}的前n,則S4=___________.【答案】.【分析】本題根據已知條件,列出關于等比數列公比的方程,應用等比數列的求和公式,計算得到.題目的難度不大,注重了基礎知識、基本計算能力的考查.【詳解】詳解:設等比數列的公比為,由已知,即,解得,所以.【點睛】準確計算,是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算,部分考生易出現運算錯誤.一題多解:本題在求得數列的公比后,可利用已知計算,避免繁分式計算.34.已知等比數列中,,,則___________.【答案】32【分析】利用等比數列的通項公式及性質求解即可.【詳解】設等比數列的公比為,則,即,所以.故答案為:32.35.設正項等比數列的前項和為,若,則的值為______.【答案】91【分析】方法一:利用等比數列前項和的性質即可求解;方法二:利用等比數列前項和的公式,代入計算即可求解.【詳解】方法一:等比數列中,,,成等比數列,則,,成等比數列,∴,∴,∴.方法二:設公比為,由題意顯然且,所以,∴,故答案為:.36.等比數列中,,則數列的前項和的最大值為______.【答案】21【分析】先求得數列的通項公式,由此求得數列的通項公式,可知數列是等差數列,然后根據通項公式的特征求得前項和的最大值.【詳解】由于等比數列中,,,所以,解得,所以,所以,所以數列是首項為6,公差為的等差數列,當1≤n≤6時,;當n=7時,;當n>7時,,則當n=6或n=7時,數列的前n項和取得最大值,最大值為6+5+4+3+2+1=21.故答案為:21.37.已知數列是等差數列,并且,,若將,,,去掉一項后,剩下三項依次為等比數列的前三項,則為__________.【答案】【分析】先求得,進而求得,,,,根據等比數列的知識求得.【詳解】設等差數列的公差為,依題意,則,解得,所以,所以,通過觀察可知,去掉后,成等比數列,所以等比數列的首項為,公比為,所以.故答案為:38.在等比數列{}中,若,則當……取得最大值時,n=___________.【答案】6【分析】利用等式得到數列的公比,進而求出首項,即可得到通項公式,判斷數列的單調性和符號,即可求解.【詳解】在等比數列中,,,所以公比,所以,解得,故,易得單調遞減,且,因為,,所以當時,,當時,,所以當取得最大值時,.故答案為:639.已知等比數列的首項為2,前項滿足,,則正整數m=______.【答案】4【分析】利用等比數列的性質先求出公比,再由等比數列前項和列出,即可得到答案【詳解】解:因為等比數列的前項滿足,,所以,所以公比,所以,解得,故答案為:440.已知為等比數列.(1)若,,求(2)若,求的值.【答案】(1)5;(2)10【分析】(1)將帶入條件等式,配方可求得(2)利用帶入求解.【詳解】(1)因為,所以>0.因為所以.(2)根據等比數列的性質,得所以所以.41.已知數列是等差數列,是等比數列的前n項和,,,.(1)求數列,的通項公式;(2)求的最大值和最小值.【答案】(1),;(2)最大值16,最小值8【分析】(1)根據給定的條件,求出等差數列的首項及公差,等比數列公比求解作答.(2)由(1)可得,再分為奇數與偶數時,結合的單調性求解即可.【詳解】(1)設等比數列的公比為,因,,則,解得,即有,設等差數列的公差為,因,,則,解得,即,所以數列,的通項公式分別為,.(2)由(1)知,,當時,,此時數列是遞減的,恒有,此時;當時,,此時數列是遞增的,恒有,此時;綜上可得,的最大值為16,最小值為8.42.已知數列的前n項和,證明是等比數列,并求出通項公式.【答案】證明見解析,【分析】利用與關系即可證明是等比數列,再利用等比數列通項公式即可求出其通項.【詳解】因為,所以,所以,所以.又因為,所以.又由,知,所以,所以是等比數列.因為,所以.43.已知數列{an},{cn}滿足cn=2an+1+an.若數列{an}是等比數列,試判斷數列{cn}是否為等比數列,并說明理由.【詳解】設等比數列{an}的公比為q,則cn=2an+1+an=2anq+an=(2q+1)an,當q=-eq\f(1,2)時,cn=0,數列{cn}不是等比數列;當q≠-eq\f(1,2)時,因為cn≠0,所以eq\f(cn+1,cn)=eq\f(2q+1an+1,2q+1an)=q,所以數列{cn}是等比數列.44.已知等比數列的公比,且依次成等差數列.(1)求;(2)設,求數列的前項和.【答案】(1);(2)【分析】(1)利用等比數列的通項公式與等差中項公式得到關于的方程,解之即可得解;(2)結合(1)中結論得到,從而判斷是等比數列,再利用等比數列的前項和公式求得解即可.【詳解】(1)因為依次成等差數列,所以,因為等比數列的公比,所以,即,解得,所以.(2)由題意知,所以數列是首項為,公比的等比數列,故數列的前n項和.45.設等比數列{an}滿足,.(1)求{an}的通項公式;(2)記為數列{log3an}的前n項和.若,求m.【答案】(1);(2).【分析】(1

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