第二章-直線與圓的位置關(guān)系

圓與方程直線與圓的位置關(guān)系理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練第二章平面解析幾何初步入門答辯考點(diǎn)一考點(diǎn)二新知自解考點(diǎn)三提示：可利用圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系來判斷．1．解直線與圓的位置關(guān)系問題一般可從代數(shù)特征(方程組解的個(gè)數(shù))或幾何特征(圓心到直線的距離)去考慮，其中幾何特征解題較為簡(jiǎn)捷．(2)代數(shù)法：思路三：利用直線方程(此題直線過定點(diǎn)(0,1))．(－1,1)在圓上，故直線與圓相切或相交．7．(1)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所[一點(diǎn)通]解決與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題時(shí)，多采用幾何法即在弦心距、弦長(zhǎng)一半及半徑構(gòu)成直角三角形中求解．值為________．(2)代數(shù)法：(1)幾何法：已知直線y＝2x＋1和圓x2＋y2＝4，試判斷直線和圓的位置關(guān)系．問題3：怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？直線與圓的三種位置關(guān)系及判定問題3：怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？所以點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)，從而直線與圓相交．直線與圓的三種位置關(guān)系及判定“大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”是唐朝詩人王維的詩句，他描述了黃昏日落時(shí)分塞外特有的景象．如果我們把太陽看成是一個(gè)圓，地平線看成一條直線，觀察下面三幅太陽落山的圖片．問題1：圖片中，地平線與太陽的位置關(guān)系怎樣？提示：(1)相離(2)相切(3)相交．問題2：結(jié)合初中學(xué)過的知識(shí)，想一想直線與圓有哪些位置關(guān)系？提示：相交、相切、相離三種位置關(guān)系．問題3：怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？提示：可利用圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系來判斷．直線與圓的三種位置關(guān)系及判定位置關(guān)系

圖片相離相切相交位置關(guān)系

幾何法d與r的大小d

rd

rD

r代數(shù)法依據(jù)方程組解的情況Δ＜0方程組

Δ＝0方程組

Δ＞0方程組有＞＝＜相離相切相交無解只有一解兩個(gè)不同解判斷直線與圓的位置關(guān)系，一般常用幾何法，因?yàn)榇鷶?shù)法計(jì)算繁瑣，書寫量大，易出錯(cuò)，幾何法則較簡(jiǎn)潔，但是在判斷直線與其他二次曲線的位置關(guān)系時(shí)，常用代數(shù)法．已知直線y＝2x＋1和圓x2＋y2＝4，試判斷直線和圓的位置關(guān)系．

[思路點(diǎn)撥]思路一：利用代數(shù)法；思路二：利用幾何法；思路三：利用直線方程(此題直線過定點(diǎn)(0,1))．法三：由題意知，直線過定點(diǎn)(0,1)，而02＋12＝1＜4.所以點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)，從而直線與圓相交．[一點(diǎn)通]直線與圓位置關(guān)系的判定方法1．圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取

值范圍是________．2．(2011·臨汾高一檢測(cè))直線a(x＋1)－y＋1＝0與圓x2＋

y2＝2的位置關(guān)系是________．

解析：直線a(x＋1)－y＋1＝0恒過定點(diǎn)(－1,1)，而點(diǎn)

(－1,1)在圓上，故直線與圓相切或相交．

答案：相切或相交3．若直線(1＋a)x＋y＋1＝0與圓x2＋y2－2x＝0相切，則a的

值為________．答案：－1

求過點(diǎn)(1，－7)且與圓x2＋y2＝25相切的直線方程．

[思路點(diǎn)撥]解答此類題目的關(guān)鍵是先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇代數(shù)法或幾何法求切線方程．2．過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程的方法設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切線方程即可求出．值范圍是________．問題1：圖片中，地平線與太陽的位置關(guān)系怎樣？截得的弦長(zhǎng)為________．直線與圓的三種位置關(guān)系及判定(2)代數(shù)法：截得的弦長(zhǎng)為________．[一點(diǎn)通]解決與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題時(shí)，多采用幾何法即在弦心距、弦長(zhǎng)一半及半徑構(gòu)成直角三角形中求解．7．(1)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所問題1：圖片中，地平線與太陽的位置關(guān)系怎樣？＋(y－1)2＝4截得的弦長(zhǎng)為________．問題3：怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？[一點(diǎn)通]解決與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題時(shí)，多采用幾何法即在弦心距、弦長(zhǎng)一半及半徑構(gòu)成直角三角形中求解．值范圍是________．(1)幾何法：(2)代數(shù)法：2．過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程的方法

(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，進(jìn)而求出切線方程．

(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切線方程即可求出．5．平行于直線2x－y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的

方程為________．答案：2x－y＋5＝0或2x－y－5＝06．過點(diǎn)M(2,4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切線，求其切線

方程．[思路點(diǎn)撥]設(shè)出點(diǎn)斜式方程，利用r、弦心距及弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成三角形可求．值范圍是________．法三：由題意知，直線過定點(diǎn)(0,1)，答案：2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切線方程即可求出．截得的弦長(zhǎng)為________．問題3：怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？值為________．提示：可利用圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系來判斷．直線與圓的三種位置關(guān)系及判定值為________．2．過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程的方法[一點(diǎn)通]解決與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題時(shí)，多采用幾何法即在弦心距、弦長(zhǎng)一半及半徑構(gòu)成直角三角形中求解．解析：直線a(x＋1)－y＋1＝0恒過定點(diǎn)(－1,1)，而點(diǎn)[一點(diǎn)通]

解決與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題時(shí)，多采用幾何法即在弦心距、弦長(zhǎng)一半及半徑構(gòu)成直角三角形中求解．7．(1)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所

截得的弦長(zhǎng)為________．

(2)k為任意實(shí)數(shù)，直線(k＋1)x－ky－1＝0被圓(x－1)2

＋(y－1)2＝4截得的弦長(zhǎng)為________．1．解直線與圓的位置關(guān)系問題一般可從代數(shù)特征(方程組解的個(gè)數(shù))或幾何特征(圓心到直線的