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圓與方程直線與圓的位置關(guān)系理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練第二章平面解析幾何初步入門答辯考點(diǎn)一考點(diǎn)二新知自解考點(diǎn)三提示:可利用圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系來判斷.1.解直線與圓的位置關(guān)系問題一般可從代數(shù)特征(方程組解的個(gè)數(shù))或幾何特征(圓心到直線的距離)去考慮,其中幾何特征解題較為簡(jiǎn)捷.(2)代數(shù)法:思路三:利用直線方程(此題直線過定點(diǎn)(0,1)).(-1,1)在圓上,故直線與圓相切或相交.7.(1)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所[一點(diǎn)通]解決與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題時(shí),多采用幾何法即在弦心距、弦長(zhǎng)一半及半徑構(gòu)成直角三角形中求解.值為________.(2)代數(shù)法:(1)幾何法:已知直線y=2x+1和圓x2+y2=4,試判斷直線和圓的位置關(guān)系.問題3:怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系?直線與圓的三種位置關(guān)系及判定問題3:怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系?所以點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi),從而直線與圓相交.直線與圓的三種位置關(guān)系及判定“大漠孤煙直,長(zhǎng)河落日?qǐng)A”是唐朝詩(shī)人王維的詩(shī)句,他描述了黃昏日落時(shí)分塞外特有的景象.如果我們把太陽(yáng)看成是一個(gè)圓,地平線看成一條直線,觀察下面三幅太陽(yáng)落山的圖片.問題1:圖片中,地平線與太陽(yáng)的位置關(guān)系怎樣?提示:(1)相離(2)相切(3)相交.問題2:結(jié)合初中學(xué)過的知識(shí),想一想直線與圓有哪些位置關(guān)系?提示:相交、相切、相離三種位置關(guān)系.問題3:怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系?提示:可利用圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系來判斷.直線與圓的三種位置關(guān)系及判定位置關(guān)系
圖片相離相切相交位置關(guān)系
幾何法d與r的大小d
rd
rD
r代數(shù)法依據(jù)方程組解的情況Δ<0方程組
Δ=0方程組
Δ>0方程組有>=<相離相切相交無(wú)解只有一解兩個(gè)不同解判斷直線與圓的位置關(guān)系,一般常用幾何法,因?yàn)榇鷶?shù)法計(jì)算繁瑣,書寫量大,易出錯(cuò),幾何法則較簡(jiǎn)潔,但是在判斷直線與其他二次曲線的位置關(guān)系時(shí),常用代數(shù)法.已知直線y=2x+1和圓x2+y2=4,試判斷直線和圓的位置關(guān)系.
[思路點(diǎn)撥]思路一:利用代數(shù)法;思路二:利用幾何法;思路三:利用直線方程(此題直線過定點(diǎn)(0,1)).法三:由題意知,直線過定點(diǎn)(0,1),而02+12=1<4.所以點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi),從而直線與圓相交.[一點(diǎn)通]直線與圓位置關(guān)系的判定方法1.圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取
值范圍是________.2.(2011·臨汾高一檢測(cè))直線a(x+1)-y+1=0與圓x2+
y2=2的位置關(guān)系是________.
解析:直線a(x+1)-y+1=0恒過定點(diǎn)(-1,1),而點(diǎn)
(-1,1)在圓上,故直線與圓相切或相交.
答案:相切或相交3.若直線(1+a)x+y+1=0與圓x2+y2-2x=0相切,則a的
值為________.答案:-1
求過點(diǎn)(1,-7)且與圓x2+y2=25相切的直線方程.
[思路點(diǎn)撥]解答此類題目的關(guān)鍵是先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,在此基礎(chǔ)上選擇代數(shù)法或幾何法求切線方程.2.過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程的方法設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圓的方程,得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切線方程即可求出.值范圍是________.問題1:圖片中,地平線與太陽(yáng)的位置關(guān)系怎樣?截得的弦長(zhǎng)為________.直線與圓的三種位置關(guān)系及判定(2)代數(shù)法:截得的弦長(zhǎng)為________.[一點(diǎn)通]解決與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題時(shí),多采用幾何法即在弦心距、弦長(zhǎng)一半及半徑構(gòu)成直角三角形中求解.7.(1)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所問題1:圖片中,地平線與太陽(yáng)的位置關(guān)系怎樣?+(y-1)2=4截得的弦長(zhǎng)為________.問題3:怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系?[一點(diǎn)通]解決與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題時(shí),多采用幾何法即在弦心距、弦長(zhǎng)一半及半徑構(gòu)成直角三角形中求解.值范圍是________.(1)幾何法:(2)代數(shù)法:2.過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程的方法
(1)幾何法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,進(jìn)而求出切線方程.
(2)代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圓的方程,得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切線方程即可求出.5.平行于直線2x-y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的
方程為________.答案:2x-y+5=0或2x-y-5=06.過點(diǎn)M(2,4)向圓(x-1)2+(y+3)2=1引切線,求其切線
方程.[思路點(diǎn)撥]設(shè)出點(diǎn)斜式方程,利用r、弦心距及弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成三角形可求.值范圍是________.法三:由題意知,直線過定點(diǎn)(0,1),答案:2x-y+5=0或2x-y-5=0設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圓的方程,得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切線方程即可求出.截得的弦長(zhǎng)為________.問題3:怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系?值為________.提示:可利用圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系來判斷.直線與圓的三種位置關(guān)系及判定值為________.2.過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程的方法[一點(diǎn)通]解決與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題時(shí),多采用幾何法即在弦心距、弦長(zhǎng)一半及半徑構(gòu)成直角三角形中求解.解析:直線a(x+1)-y+1=0恒過定點(diǎn)(-1,1),而點(diǎn)[一點(diǎn)通]
解決與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題時(shí),多采用幾何法即在弦心距、弦長(zhǎng)一半及半徑構(gòu)成直角三角形中求解.7.(1)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所
截得的弦長(zhǎng)為________.
(2)k為任意實(shí)數(shù),直線(k+1)x-ky-1=0被圓(x-1)2
+(y-1)2=4截得的弦長(zhǎng)為________.1.解直線與圓的位置關(guān)系問題一般可從代數(shù)特征(方程組解的個(gè)數(shù))或幾何特征(圓心到直線的
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