強磁場中的能級級結(jié)構(gòu)

強磁場中的能級級結(jié)構(gòu)

1.非微擾方法的應(yīng)用自離子理論誕生以來，原子在磁體中的輻射結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的動態(tài)特性一直是人們研究和關(guān)心的問題?？紤]到磁體工程效應(yīng)的原子和分子物理參數(shù)在許多領(lǐng)域的應(yīng)用，如天文學(xué)和太空物理、原子分子光譜學(xué)、固體和輻射物理等。另一方面，從基礎(chǔ)研究的角度來看，由于電子對稱性（球?qū)ΨQ）和磁體（軸對稱性）的共同作用，均勻磁體的原子體系成為一個非分離變量系統(tǒng)，因此很難準(zhǔn)確解決schr9正交方程。這也給了該問題一個很好的基礎(chǔ)研究挑戰(zhàn)。實驗室中可產(chǎn)生穩(wěn)恒強磁場的強度一般在幾十個特斯拉(T)的水平.對于這個強度的磁場,傳統(tǒng)的微擾理論模型可以對實驗觀測給出較好的描述.其原因是:當(dāng)由于外部磁場導(dǎo)致的抗磁項,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子-核之間的庫侖相互作用項時,具有軸對稱性的抗磁項可以當(dāng)成微擾處理或者忽略不計,所以傳統(tǒng)的微擾理論還是適用的.但隨著磁場強度的增強,抗磁作用與原子中的庫侖作用可以相比擬時,兩者均不能單獨作為微擾處理,特別是隨著20世紀(jì)70年代的天文觀測中發(fā)現(xiàn)在白矮星(102—105T)和中子星(107—109T)上存在著非常強的磁場,發(fā)展非微擾方法同時精確處理中心對稱的庫侖作用和軸對稱的磁場效應(yīng)成為研究的重點.在過去的20余年中,人們已經(jīng)發(fā)展了包括:finite-element,Kantorvich,半經(jīng)典閉合軌道理論,finitebasisexpansion[12—15],和powerseriesexpansion等非微擾方法研究強磁場中的原子能級結(jié)構(gòu)、輻射躍遷等動力學(xué)過程.這些先進(jìn)的非微擾理論方法不僅被應(yīng)用于計算用于模擬強磁場天體大氣需要的原子能級結(jié)構(gòu)參數(shù),而且開始在Z箍縮和激光驅(qū)動慣性約束聚變等離子體診斷中發(fā)揮重要的作用.然而,在上述方法中電子波函數(shù)的計算通常非常繁瑣,難以完成整套Z箍縮、慣性約束聚變和白矮星大氣等強磁場中的等離子體研究所需的大量的原子參數(shù)計算.另外,這些方法也不容易推廣到原子與交叉電磁場相互作用的情況.與原子的能級,振子強度,光電離截面的研究相比,關(guān)于磁場中原子的四極矩研究相對少了很多.我們知道,四極矩Qαβ是一個重要的物理量,可以用以衡量體系偏離球?qū)ΨQ性的程度.在一定條件下,四極矩Qαβ能夠顯著地影響原子-原子之間的相互作用.例如,分子間常見的VanderWaals吸引力主要來源于原子-原子間的四極矩相互作用而不是偶極相互作用.此外,四極矩的計算精度對波函數(shù)的精度特別敏感,可以用于對波函數(shù)進(jìn)行更嚴(yán)格的檢驗.本文將發(fā)展一套簡單、高效、高精度的非微擾量子理論方法求解強磁場中的Schr?dinger方程,并將其用于研究強磁場中的原子能級結(jié)構(gòu)問題.以氫原子與強磁場的相互作用為例,計算了磁場范圍為0—2.35×109T之間氫原子基態(tài)和低激發(fā)態(tài)的能級結(jié)構(gòu)和四極矩.2.cwdvr模型采用原子單位(如無特殊聲明,下文均統(tǒng)一使用原子單位),均勻強磁場中氫原子非相對論哈密頓量可以表示為式中,前兩項是無外場時氫原子的哈密頓;第三項表示原子-磁場間的順磁作用;第四項表征抗磁作用;無量綱數(shù)ξ=B/B0,B0=2.3505×105T為一個原子單位的磁場強度.我們假定穩(wěn)恒磁場的方向為z方向,質(zhì)子質(zhì)量相對于電子質(zhì)量是無窮大,忽略了磁場對體系質(zhì)心運動的修正.這里還忽略了電子自旋-磁場相互作用項,因為該相互作用僅僅導(dǎo)致相同的能量零點平移.由方程(1)可知,除了體系的總能量以外,還有另外兩個守恒量即:軌道角動量的z分量和z宇稱.因此可以分別研究不同磁量子數(shù)m和宇稱πz=±1的氫原子本征態(tài)的能量和本征波函數(shù).首先,將方程(1)中總的哈密頓量H分解為這里,為不含外場的零級項.磁場和原子相互作用導(dǎo)致的順磁作用項為抗磁作用項為注意到順磁作用V1與零級哈密頓量H0對易,在譜表象(spectralrepresentation,SR)里可以表示為對角矩陣,記為這里,|nlm〉是氫原子在無外場環(huán)境下的本征函數(shù),記為其中Plm(cosθ)為歸一化的連帶勒讓德函數(shù),unl(r)是徑向Schr?dinger方程的本征函數(shù),滿足在實際的計算中,unl(r)可以通過矩陣對角化的方式得到,并利用有限個平方可積的譜函數(shù)構(gòu)造SR表象的基矢.在此表象下,零級哈密頓量H0的矩陣元可表示為為了構(gòu)造完整的哈密頓矩陣元,還需要計算矩陣元〈n′l′m′|V2|nlm〉.如果直接在SR表象下計算這個矩陣元需要求兩重積分(因為這里m是好量子數(shù),省略了一重積分).為了得到收斂的結(jié)果,當(dāng)磁場較強時所需展開基矢的數(shù)目將非?？捎^.對于矩陣對角化的計算而言,耗費的機時基本上與基矢的數(shù)目為平方標(biāo)度關(guān)系.這對于大規(guī)模計算強磁場中的原子參數(shù)而言是難以承受的.考慮到抗磁作用項V2在坐標(biāo)表象(coordinaterepresentation,CR)下可表示成一對角矩陣.我們將分別在SR表象和CR表象下計算V1和V2相互作用矩陣元,利用快速的表象變換避免費時的直接雙重積分,使得計算效率得以提高.在CR表象下,將波函數(shù)離散在三維網(wǎng)格點上這里|α(r)〉,|β(θ)〉和|γ(φ)〉分別是坐標(biāo)r,θ和ue788的本征函數(shù),相應(yīng)的本征值為rα,θβ和φγ.將與方位角ue788相關(guān)的運動展開在基函數(shù)上.相應(yīng)的譜重疊積分〈m′|m〉可以通過快速Fourier積分來計算.CR表象和SR表象間相應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣元Φγm可以定義如下:這就是所謂的二維Gauss-Legendre-Fourier格點.為了精確而且有效率的描述庫侖長程相互作用和處理庫侖奇點問題,將徑向部分|α(r)〉離散在CWDVR(theCoulombwavediscretevariablerepresentation)格點上.使用正能態(tài)的庫侖波函數(shù)v(r)來構(gòu)造CWDVR表象.v(r)滿足如下方程:這里,ε,Z和λ分別表示參考體系的能量、核電荷數(shù)和角動量.λ在我們的計算中,選為0.首先定義CWDVR基準(zhǔn)函數(shù)這里rα是v(r)的位于正半軸上的零點;,aα=v′(rα)是v(r)的一階導(dǎo)數(shù)在r=rα處的值.在CWDVR坐標(biāo)表象中,約化的徑向哈密頓算符可以寫為這里,.將動能算符和勢能算符在CWDVR坐標(biāo)表象中表示出來,可以得到將CWDVR表象下的哈密頓矩陣對角化,得到的本征值定義成譜函數(shù)的能量,相應(yīng)的本征矢量Rαnl定義成CWDVR和SR能譜表象間相應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣在CWDVR表象中,抗磁作用V2為對角矩陣,其矩陣元為至此,強磁中氫原子總的哈密頓量在SR表象中記為在CWDVR表象中記為這里,L為三維SR表象和CWDVR坐標(biāo)表象間的變換矩陣,記為這樣,通過使用快速的表象表換替換了原先費時的雙重積分.值得一提的是,CWDVR是一個非均勻網(wǎng)格,其在原子核附近具有更多更密的格點,而在遠(yuǎn)區(qū)CWDVR給出近似均勻的網(wǎng)格.令;.針對不同體系,可以調(diào)節(jié)不同的κ,η值,使得構(gòu)造的CWDVR基矢最優(yōu)化.κ決定了遠(yuǎn)區(qū)網(wǎng)格點的分布和所能表示的最大的能量范圍.η影響近核區(qū)的網(wǎng)格點的分布密度.在文獻(xiàn)的算例中可以看到:僅需很少的網(wǎng)格點便可對原子結(jié)構(gòu)給出非常精確的描述,是處理含庫侖奇點問題的理想網(wǎng)格.這里徑向的CWDVR網(wǎng)格和角向的GaussLegendre-Fourier網(wǎng)格構(gòu)成了三維空間直積表示,使得SR表象和CR表象間的三維變換矩陣可以分解為三個一維空間變換矩陣的乘積,從而極大地提高了計算的效率.在三維直積空間網(wǎng)格上,哈密頓量是一個稀疏矩陣,其本征值和本征矢可由迭代方法利用優(yōu)化程序包ARPACK并行高速求出.其計算量與空間網(wǎng)格或基矢數(shù)目基本為線形標(biāo)度關(guān)系.將方程(18)中的譜表象哈密頓量或方程(19)中的坐標(biāo)表象哈密頓量對角化,可得強磁場中的氫原子能級和波函數(shù).為了和文獻(xiàn)上的結(jié)果相比較,下面給出的氫原子各個束縛態(tài)的結(jié)合能Eb等于總的哈密頓量對角化后的各個本征值減去相應(yīng)的朗道能級得到了體系的電子波函數(shù),可以計算所有可觀測量的平均值,比如:四極矩Qαβ.由于我們定義磁場的方向沿著Z軸,所以,四階張量Qαβ的各個分量滿足以下關(guān)系:利用恒等式〈r2〉≡〈x2〉+〈y2〉+〈z2〉,可知在球坐標(biāo)下上述的理論方法并不需要對場的具體形式進(jìn)行特別的限定,所以可直接推廣到原子與任意方向的交叉電磁場相互作用的研究,具有很強的普適性.實際上,我們已經(jīng)將該方法成功地應(yīng)用于激光與原子相互作用的研究.3.結(jié)果與分析3.1.算法的基本思想CWDVR基函數(shù)有4個可優(yōu)化的參數(shù)n,l,κ和η.如何優(yōu)化這些參數(shù),快速得到計算收斂的結(jié)果是一個值得研究的問題.下面以ξ=10氫原子能級結(jié)構(gòu)計算為例,具體說明我們發(fā)展的快速收斂的計算方法.在4個參數(shù)中,n,l的大小決定了整個展開基矢的數(shù)目或者說希爾伯特空間的大小.選取的n,l的數(shù)目越大,意味著展開的基矢越趨向完備,但是由于計算量和基矢數(shù)目的平方成正比,即意味計算效率越低.如前所述,κ決定了遠(yuǎn)區(qū)CWDVR網(wǎng)格點的分布和該網(wǎng)格所能表示最大的能量.κ越大,該CWDVR網(wǎng)格點對高能的部分描述的更準(zhǔn)確.η的絕對值越大,近核區(qū)的網(wǎng)格點的分布越密,對于離核附近的波函數(shù)刻畫得更為準(zhǔn)確.基于4個CWDVR參數(shù)的特點,本文提出了一套確實可行的能夠快速得到收斂結(jié)果的計算方法.具體如下:首先,根據(jù)具體的情況和經(jīng)驗,選定初始的4個參數(shù).基本的原則是:n,l的大小要合適.如果n,l選擇過大,將降低優(yōu)化過程的效率.如果n,l選擇過小,則得不到收斂的結(jié)果.對于這個特定的例子(ξ=10),結(jié)合實際的計算資源,初始的n=100,l=20,η和κ分別取-16.0,5.00.固定參數(shù)n,l,分別單獨變化參數(shù)κ和η直至得到收斂的結(jié)果.如表1所示,隨著參數(shù)κ從5增大到20,氫原子基態(tài)的結(jié)合能Eb,四極矩Qzz和〈r2〉的數(shù)值在第13位有效數(shù)字上已經(jīng)收斂.將η的絕對值增到32(相當(dāng)于增加了近核區(qū)間的網(wǎng)格點)結(jié)果收斂.使用聯(lián)想的微機(CPU主頻2.83GHz,3G的內(nèi)存),串行地完成每一次計算,耗時不超過10s.其次,固定3個參數(shù)n,κ和η,單獨變化參數(shù)l直至得到收斂的結(jié)果.這里先優(yōu)化參數(shù)l的原因是:ξ=10的磁場即便是對于氫原子基態(tài)而言也是比較強的,體系的對稱性更趨向于軸對稱,需要考慮更多的分波.相對于參數(shù)n來說,參數(shù)l的變化對計算結(jié)果更為敏感.例如:當(dāng)l從20變?yōu)?0時,結(jié)合能E在第7位有效數(shù)字上有差異;Qzz和〈r2〉的數(shù)值分別在第3—2位有效數(shù)字上有差異.當(dāng)l逐漸增加,分別取30,50和70時,Eb,Qzz和〈r2〉的數(shù)值逐步收斂.由此也能發(fā)現(xiàn),Qzz和〈r2〉對波函數(shù)的精度更為敏感.當(dāng)l從50增加到70后,Eb數(shù)值的差異在第12位有效數(shù)字上;Qzz和〈r2〉的數(shù)值差異分別在第9位和第8位有效數(shù)字上.進(jìn)一步增加l的取值到100,三組數(shù)值沒有顯著的變化.這時暫時將l的值固定為70.最后,固定3個參數(shù)l=70,κ=20和η=-32,單獨檢驗參數(shù)n的收斂性.當(dāng)n的數(shù)目增加到130時,Eb,Qzz和〈r2〉的數(shù)值已經(jīng)收斂,有11位有效數(shù)字的精度.至此,對于這個磁場強度,我們得到了一組優(yōu)化的基矢.對于實際的應(yīng)用,并不需要對于每一個磁場強度都進(jìn)行這樣的基組優(yōu)化.可以選擇一個恰當(dāng)大的磁場范圍,對該范圍內(nèi)最大、最小兩個磁場強度同時進(jìn)行統(tǒng)一的優(yōu)化.如果優(yōu)化出來的基組對于這兩個磁場強度都能得到令人滿意的精度,那么經(jīng)過優(yōu)化的基組可以適用于整個磁場范圍內(nèi)的所有計算.3.2.dvr和cwdvr基佐的選擇表2給出了氫原子基態(tài)的結(jié)合能Eb,〈r2〉以及四極矩Qzz隨磁場強度的變化.其中“A”是本文的數(shù)值結(jié)果.“A”右上角標(biāo)的數(shù)字表示不同的CWDVR展開基矢.表中括號里面的數(shù)字表示取不同的分波數(shù),數(shù)值結(jié)果的差異.“B”是Zhao等人使用B-splines方法計算得到的磁場中氫原子Eb的結(jié)果.“C”表示Kravchenko和Liberman使用冪級數(shù)展開的方法得到的氫原子能級結(jié)構(gòu);“D”是Potekhin和Turbiner計算的磁場中氫原子的四極矩Qzz;“E”表示Baye等人基于Lagrangemesh方法得到的能級結(jié)構(gòu)和四極矩Qzz.如表2所示,本文的數(shù)值結(jié)果Eb,〈r2〉和Qzz均達(dá)到了10到12位有效數(shù)字的精度,和其他的高精度計算結(jié)果非常好地符合.值得指出的是,〈r2〉和Qzz相對于結(jié)合能Eb,對波函數(shù)的數(shù)值精度更加敏感,所以表2的結(jié)果同時表明:我們的波函數(shù)精度得到了更為嚴(yán)格的檢驗.當(dāng)ξ=0—1.0時,相對于其他高精度計算方法而言,CWDVR譜方法的計算效率更高.比如:ξ為0.01時,使用很小的基組規(guī)模(n=20,l=8)便可得到收斂的結(jié)果.即便是磁場強度增強到1.0,所需的基矢規(guī)模也不大(n=30,l=30).這是由于該方法自身的特點決定的.在構(gòu)造CWDVR基矢的時候,利用了正能態(tài)的庫侖波函數(shù)來構(gòu)造基準(zhǔn)函數(shù),所以該方法能內(nèi)稟的處理庫侖奇點問題.此外,DVR方法能夠在保證計算精度的前提下,大幅節(jié)省數(shù)值計算的網(wǎng)格點.當(dāng)庫侖相互作用比較強,磁的作用相對比較弱的時候,CWDVR基矢是一個精度很高而且非常有效率的選擇.在表2中,ξ=0.01—1.0時,〈r2〉以及四極矩Qzz高精度的結(jié)果為首次給出.當(dāng)磁場強度非常強的時候,體系基態(tài)的對稱性從原來的球?qū)ΨQ逐漸偏向軸對稱,這種方法需要較大規(guī)模的基組才能得到收斂的結(jié)果.如文獻(xiàn)所述,對于超強磁場選用半拋物坐標(biāo)系是更簡單有效的選擇.表3給出了磁場中氫原子m=-2能量最低量子態(tài)的結(jié)合能Eb,〈r2〉以及四極矩Qzz.為了統(tǒng)一起見,和表2的標(biāo)識一樣,“A”表示本文的數(shù)值結(jié)果.“A”右上角標(biāo)的數(shù)字表示不同的CWDVR展開基矢.ξ=1.0和10時,本文自身收斂的結(jié)果(氫原子m=-2能量最低量子態(tài)的結(jié)合能Eb,〈r2〉和Qzz)分別有11和10位有效數(shù)字,同樣和其他高精度的計算結(jié)果非常好地符合.在表3中,ξ=0.01—1.0,〈r2〉以及四極矩Qzz高精度的結(jié)果也是首次給出.相同的磁場強度下,相對于m=0能量最低的量子態(tài)1s0,m=-2能量最低量子態(tài)的3d-2的波函數(shù)在位型空間拓展的更遠(yuǎn).比如:ξ=0.01時,1s0的〈r2〉約為3a.u.;3d-2的〈r2〉約為119a.u..所以在保證計算精度相當(dāng)?shù)那疤嵯?需要更大規(guī)模的基組.圖1和圖2展示了氫原子的低激發(fā)態(tài)結(jié)合能Eb隨磁場強度ξ變化的關(guān)系.如方程(21)所示,我們選擇作為體系的能量零點(如圖1中紅實線所示).如兩幅圖所示,各個能級的結(jié)合能均隨著磁場強度的增強而增加.一般來說,主量子數(shù)較低的能級,由于自身束縛能比較大,磁場對其的影響較小.當(dāng)ξ約為0.31時,3d-1的結(jié)合能已經(jīng)和2s的結(jié)合能相當(dāng).磁場強度為0時,氫原子的2s,2p0和2p-1能量簡并.在磁場的作用下,能級發(fā)生退簡并.隨著磁場的增強,可以觀察到軌道角動量l較大的能級,更容易受到磁場的影響;相同的n,l,|m|越大,結(jié)合能對磁場強度的變化更為敏感.從圖2中也能觀察到類似的規(guī)律.隨著磁場強度的增強,能級的標(biāo)識是一個值得注意的問題.本文采用零級哈密頓H0本征的波函數(shù)作為展開的基矢能有效地解決這個問題.圖3展示了不同的磁場強度下,氫原子m=0體系第六個最低能級的基矢展開系數(shù).無外場時,這個能級的展開系數(shù)不為0的基矢只有一項:3s,相應(yīng)的展開系數(shù)為1.隨著磁場的增強,3d0等其他基矢的展開系數(shù)從0逐漸增加.由于對稱性的關(guān)系,對于m=0的體系,m不等于0的基矢展開系數(shù)恒等于0.實際上,對于這個體系,我們也僅僅使用這些m=0的基矢進(jìn)行展開.同理,由于對稱性的原因,Δl為奇數(shù)的基矢展開系數(shù)也是嚴(yán)格為0的.磁場強度為0.001時,基矢3s的展開系數(shù)降低到0.82;3d0的展開系數(shù)增加到0.17;其他基矢的展開系數(shù)太小,不能在圖3中展示出來.隨著場強的增強,3s的展開系數(shù)不斷地降低;其它基矢的展開系數(shù)不斷增加.當(dāng)磁場強度為0.1時,4d0的展開系數(shù)增加到0.38而3s的展開系數(shù)降低到0.08.這時氫原子m=0體系第六個最低能級的標(biāo)識應(yīng)當(dāng)由原先的3s改為4d0.隨著磁場的進(jìn)一步增強,基矢3s在各個能級中所占的比重均不是主要的,3s已經(jīng)無法用于能級的標(biāo)識.圖4展示了不同的磁場強度下,基矢3d0的展開系數(shù).這里展開系數(shù)小于0.05的基矢沒有展示出來.磁場強度比較低的時候,可以用3d0標(biāo)識氫原子m=0體系第4個最低能級.隨著磁場的增強,基矢3d0的展開系數(shù)從1逐漸降低.磁場強度增加到0.2時,m=0體系第4個最低能級中展開系數(shù)最大的基矢變?yōu)?p0,所以不能使用3d0對該能級進(jìn)行標(biāo)識.在圖4中,磁場強度為0.2和0.25時,展示的是體系第5個最低能級中比重最大的基矢展開系數(shù).在這個磁場范圍內(nèi),體系第5個最低能級可以用3d0標(biāo)識.圖5展示了氫原子(m=0)能量最低能級的四極矩Qzz隨磁場強度的變化規(guī)律.其中黑色實心球是本文的計算結(jié)果;紅色的虛線是AlexanderPotekhin和AlexanderTurbiner給出的擬合公式的結(jié)果;空心的正三角表示Baye等人的計算結(jié)果.從比較的結(jié)果來看,本文的結(jié)果和Baye等人的高精度計算結(jié)果符合得很好.ξ=1—10,兩組計算有9位以上有效數(shù)字一致.即使到了超強的磁場區(qū)域(ξ=1000),兩組計算仍然有5位以上有效數(shù)字一致.圖5的結(jié)果和文獻(xiàn)中擬合公式的結(jié)果最大的差距是2%.從圖中,還可以觀察到:ξ->0時,1s的Qzz漸近行為趨向2.5×ξ2(藍(lán)線);隨著磁場強度的增強,Qzz由無外場時的0逐漸增大.當(dāng)ξ約為2.4時,Qzz的結(jié)果達(dá)到最大值0.5.ξ→∞時,Qzz→(log10ξ)-2(綠線).這里順便指出文獻(xiàn)中一處筆誤“ξ→∞時,Qzz→(lnξ)-2”.圖6(a)和(b)兩圖給出了ξ=0.0001—1000,氫原子(m=-1和m=-2)能量最低能級的四極矩Qzz隨磁場強度的變化規(guī)律.其中,實線是本文m=-1的結(jié)果;虛線是本文m=-2的結(jié)果;空心的正三角形和圓圈分別表示Baye等人m=-1和m=-2的計算結(jié)果.從比較的結(jié)果來看,本文的結(jié)果和Baye等人的結(jié)果符合的很好.ξ=1—10,兩組計算有9位以上有效數(shù)字一致.即使到了超強的磁場區(qū)域(ξ=1000),兩組計算仍然有3位以上有效數(shù)字一致.圖6(a)中給出了ξ小于1,Qzz精確的結(jié)果.從圖中,還可以觀察到:在低磁場強度的時候,m=-1的Qzz的絕對值比m=-2的情形大了將近7倍.兩種情形Qzz的數(shù)值均隨著場強的增強而增大,其中m=-2的情形對磁場強度變化更加敏感.當(dāng)ξ接近2.1時,m=-2和m=-1的Q