第03講空間直線平面的平行

第3節(jié)空間直線、平面的平行考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．1、下列結(jié)論正確的是①若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面②若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α③若a⊥α，a⊥β，則α∥β.④α∥β，β∥γ，則α∥γ⑤若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.⑥如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也相互平行．【答案】③④2、（多選）已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列說法正確的是()A．若l∥m，l∥β，則m∥β或m?βB．若α∥β，m?α，l?β，則m∥lC．若m⊥α，l⊥m，則l∥αD．若m∥α，m?β，α∩β＝l，則m∥l【答案】AD【解析】對(duì)于A，若l∥m，l∥β，則m∥β或m?β，A正確；對(duì)于B，若α∥β，m?α，l?β，則m∥l或l，m異面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m⊥α，l⊥m，則l∥α或l?α，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由線面平行的性質(zhì)知正確．3.（多選題）如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．OM∥PDB．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDAD．OM∥平面PBA【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由于O為BD的中點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，則OM∥PD，故正確；對(duì)于B，由于OM∥PD，OM?平面PCD，PD?平面PCD，則OM∥平面PCD，故正確；對(duì)于C，由于OM∥PD，OM?平面PAD，PD?平面PAD，則OM∥平面PAD，故正確；對(duì)于D，由于M∈平面PAB，故錯(cuò)誤．故選：ABC．4.（多選題）如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，則下列各直線、平面中，與平面ACD1平行的是()A．直線EFB．直線GHC．平面EHFD．平面A1BC1【答案】ABD【解析】首先直線EF、GH、A1B都不在平面ACD1內(nèi)，由中點(diǎn)及正方體的性質(zhì)知EF∥AC，GH∥A1C1∥AC，A1B∥D1C，∴直線EF，GH，A1B都與平面ACD1平行，又A1C1∥AC，由面面平行判定易知平面A1BC1∥平面ACD1，由EH∥AB1，AB1∩平面ACD1＝A，∴EH與平面ACD1相交，從而平面EHF與平面ACD1相交，∴C錯(cuò)，故選A、B、D．1.在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn)．求證：GF∥平面ADE.【解析】法一：(線線平行，則線面平行)如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，又G是BE的中點(diǎn)，所以GH∥AB，且GH＝eq\f(1,2)AB.又F是CD的中點(diǎn)，所以DF＝eq\f(1,2)CD.由四邊形ABCD是矩形得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH.又DH?平面ADE，GF?平面ADE，所以GF∥平面ADE.法二：(面面平行，則線面平行)如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MG，MF.又G是BE的中點(diǎn)，可知GM∥AE.又AE?平面ADE，GM?平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)得MF∥AD.又AD?平面ADE，MF?平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因?yàn)镚M∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因?yàn)镚F?平面GMF，所以GF∥平面ADE.【變式1】如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、C1C、C1D1、A1A的中點(diǎn)．求證：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H．【解析】證明：（1）取BB1的中點(diǎn)M，連接HM、MC1，四邊則HMC1D1是平行四邊形，∴HD1∥MC1．又∵M(jìn)C1∥BF，∴BF∥HD1．（2）取B1D1的中點(diǎn)O，連接EO、D1O，則OE∥DC，OE＝DC．又D1G∥DC，D1G＝DC，∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四邊形OEGD1是平行四邊形，∴GE∥D1O．又D1O?平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1?平面HB1D1，BF、BD?平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．【變式2】如圖所示,在四棱錐中,四邊形是正方形,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：;（2）線段上是否存在一點(diǎn),使得面面,若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】（1）證明：由四邊形為正方形可知，連接必與相交于中點(diǎn)故∵面∴面（2）線段上存在一點(diǎn)滿足題意，且點(diǎn)是中點(diǎn)理由如下：由點(diǎn)分別為中點(diǎn)可得：∵面∴面由（1）可知，面且故面面【變式3】如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，，，點(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)．設(shè)平面平面．(1)證明：平面PBE；(2)證明：．【解析】（1）取PB中點(diǎn)，連接FG，EG，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，所以，且，所以，，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫鍼BE，平面PBE，平面PBE；（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，所以.【變式4】如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)．(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．【解析】(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.如圖，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．在△A1BC1中，O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，∴OD1∥BC1.又OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1.因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.1.(多選)如圖，向透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD－A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()A．沒有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．棱A1D1始終與水面所在的平面平行D．當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，BE·BF是定值【答案】ACD【解析】由題圖，顯然A是正確的，B是錯(cuò)誤的；對(duì)于C，因?yàn)锳1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且FG?平面EFGH，A1D1?平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正確的；因?yàn)樗嵌康?定體積V)．所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即D是正確的．2.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PA上，且EF∥平面PCD，直線PD與平面CEF交于點(diǎn)H，則線段CH的長(zhǎng)度為()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)【答案】C【解析】∵PD與平面CEF交于點(diǎn)H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，過點(diǎn)H作HM∥PA交AD于點(diǎn)M，連接CM，如圖所示．∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，∴平面AEF∥平面CHM.∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE∥CM.又BC∥AM，∴四邊形ABCM為平行四邊形，∴AM＝BC＝2.又AD＝4，∴M是AD的中點(diǎn)，則H為PD的中點(diǎn)，∴CH＝eq\r(CM2＋MH2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).3.如圖所示，正四棱錐的各棱長(zhǎng)均為13，為上的點(diǎn)，且.(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線平面？如果存在，求出的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由；(2)假設(shè)存在滿足條件（1）的點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)存在，(2)7(1)存在，；理由如下：連接并延長(zhǎng)，交于，連接.因?yàn)檎叫沃?，，所?又因?yàn)椋裕黄矫?，平面，所以平?(2)由（1）得，所以；中，，所以；因?yàn)?，所以所?1.設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題：①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若a?α，b?β，α∥β，則a∥b.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【詳解】由題意，對(duì)于①，根據(jù)線線平行的傳遞性可知①是真命題；對(duì)于②，根據(jù)a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a?α，故②是假命題；對(duì)于③，根據(jù)a∥α，b∥α，可以推出a與b平行，相交或異面，故③是假命題；對(duì)于④，根據(jù)a?α，b?β，α∥β，可以推出a∥b或a與b異面，故④是假命題．所以真命題的個(gè)數(shù)是1.故選：A.2.如圖，G，H，M，N分別是直三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則在下列圖形中GH∥MN的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對(duì)于A，若GH∥MN，可得G，H，M，N四點(diǎn)共面，則直線MG，HN共面，這與MG，NH異面矛盾，所以A中的兩直線不平行；由異面直線的定義可得B，C中的兩直線GH，MN為異面直線；由N，H為中點(diǎn)，可得NH∥MG，且NH＝MG，則四邊形MGHN為平行四邊形，D中的兩直線為平行直線．故選：D．3.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為該棱柱的九條棱中某條棱的中點(diǎn)，若A1C∥平面BC1D，則D為（）A．棱AB的中點(diǎn) B．棱AA1的中點(diǎn) C．棱BC的中點(diǎn) D．棱A1B1的中點(diǎn)【答案】D【解析】解：如圖，當(dāng)D為棱A1B1的中點(diǎn)時(shí)，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，A1E，由A1D＝BE，A1D∥BE，可得四邊形BEA1D為平行四邊形，即有A1E∥BD，由A1E平面BDC1，BD?平面BDC1，所以A1E∥平面BDC1，同理可得CE∥平面BDC1，由CE∩A1E＝E，可得平面A1CE∥平面BC1D，由于A1C?平面A1CE，則A1C∥平面BC1D．故選：D．4.（多選）已知、是兩條互相平行的直線，是一個(gè)平面．若要使得，則需添加下列哪些條件（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由線面平行的判定定理即可得出答案.由，所以需添加，.故選：AC.5.設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有()A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】C【解析】由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，③正確．6.如圖，平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線a，b分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知AB＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，則AC的長(zhǎng)為________cm.【答案】eq\f(7,2)【解析】過點(diǎn)D作直線AB的平行線分別交平面β與平面γ于點(diǎn)M，N，連接AD，BM，CN，ME，NF，如圖所示，所以AD∥BM∥CN，ME∥NF，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(DM,MN)＝eq\f(DE,EF)，因?yàn)锳B＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，所以eq\f(2,BC)＝eq\f(4,3)，解得BC＝eq\f(3,2)cm，所以AC＝AB＋BC＝2＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,2)(cm)．7.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、P分別是棱AB，A1B1的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面．【詳解】證明：（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，∵四邊形平行四邊形，∴為中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴是三角形的中位線，則，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵為