人教A版（2023）選擇性必修第三冊《6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》提升訓練（含解析）

第第頁人教A版（2023）選擇性必修第三冊《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》提升訓練（含解析）人教A版（2023）選擇性必修第三冊《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》提升訓練

一、單選題（本大題共13小題，共65分）

1.（5分）設(shè)集合x+b}，且A∩B={(2，5)}，則（）

A.a=3，b=2B.a=2，b=3

C.a=-3，b=-2D.a=-2，b=-3

2.（5分）復數(shù)的共軛復數(shù)

A.B.C.D.

3.（5分）下列函數(shù)中，滿足“對任意，，當時，都有的是

A.B.

C.D.

4.（5分）已知數(shù)列滿足：，且，則等于

A.B.C.D.

5.（5分）使不等式成立的一個必要不充分條件是

A.B.C.D.

6.（5分）已知空間兩不同直線，，兩不同平面、，下列命題正確的是

A.若且，則B.若且，則

C.若且，則D.若且，則

7.（5分）若的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積，，角平分線交邊于點，則的長為

A.B.C.D.

8.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為，則該幾何體的體積為

A.B.C.D.

9.（5分）已知函數(shù)，則

A.是周期函數(shù)B.在區(qū)間單調(diào)遞減

C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象關(guān)于點對稱

10.（5分）在直角中，，，為邊上的點，若，則的最大值是

A.B.C.D.

11.（5分）圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是

A.B.C.D.

12.（5分）首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競賽場館，它的設(shè)計創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為雪飛天中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金牌雪飛天的助滑道可以看成一個線段和一段圓弧組成，如圖所示假設(shè)圓弧所在圓的方程為：，若某運動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為

A.B.

C.D.

13.（5分）若關(guān)于的不等式的解集為，且中只有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

A.B.

C.D.

二、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）設(shè)，，若，則實數(shù)的值等于______．

15.（5分）設(shè)實數(shù)和滿足約束條件，則的最小值為______.

16.（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與直線有三個不同的公共點，則實數(shù)的取值集合為______．

17.（5分）

17-1.從，，，中任取個數(shù)字，從，，中任取個數(shù)字，一共可以組成個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù).

18.（5分）已知雙曲線：的焦點為，，離心率為若上一點滿足，則的方程為______．

三、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）如圖，已知函數(shù)的圖象與坐標軸交于點，，，直線交的圖象于另一點，是的重心．

Ⅰ求；

Ⅱ求的外接圓的半徑．

20.（12分）三棱柱中，平面，是邊長為的等邊三角形，為邊中點，且．

求證：平面平面；

求三棱錐的體積．

21.（12分）在公差不為零的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列．

求數(shù)列的通項公式；

設(shè)數(shù)列的前項和為，記求數(shù)列的前項和．

22.（12分）已知橢圓：的長軸長是短軸長的倍，過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點，且

求橢圓的標準方程；

過點的直線交橢圓于，兩點，若存在點使為等邊三角形，求直線的方程．

23.（12分）已知函數(shù)的圖象如圖所示.

求的值；

若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；

若方程且有三個不同的根，求實數(shù)的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】略

2.【答案】C;

【解析】解：，，

的共軛復數(shù)，

故選：

利用復數(shù)的周期性、運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出．

此題主要考查了復數(shù)的周期性、運算法則、共軛復數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】A;

【解析】

該題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，以及基本初等函數(shù)的單調(diào)性，即反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用．

根據(jù)題意和函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷出函數(shù)在上是減函數(shù)，再根據(jù)反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．

解：對任意、，當時，都有，

函數(shù)在上是減函數(shù)；

A、由反比例函數(shù)的性質(zhì)知，在上是減函數(shù)，故A正確；

B、由于，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)，故B不對；

C、由于，則由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，在上是增函數(shù)，故C不對；

D、根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，得函數(shù)的定義域為，由于，則由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，在上是增函數(shù)，故D不對；

故選：．

4.【答案】D;

【解析】

此題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

數(shù)列滿足：，可得，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解：數(shù)列滿足：，

，即數(shù)列是等比數(shù)列，公比為．

則，解得．

故選D．

5.【答案】B;

【解析】

這道題主要考查充分，必要條件的概念和判斷，屬于基礎(chǔ)題．

先得到不等式成立的充要條件，然后與各選項進行對比，結(jié)合必要不充分條件即可求解．

解：不等式，即，即，

故“”是“”的一個充分不必要條件，

“”是“”的一個必要不充分條件，

“”是“”的一個充要條件，

“”是“”的既不充分也不必要條件，

故選B．

6.【答案】C;

【解析】解：對于，若且，則與可能平行，可能相交也可能異面，故A錯誤；

對于，若，顯然結(jié)論錯誤；

對于，若，則內(nèi)存在直線使得，又，故，又，故，故C正確；

對于，當時，顯然結(jié)論錯誤．

故選C．

根據(jù)空間線面位置關(guān)系的定義及判定定理或結(jié)合圖形，給出反例進行判斷．

此題主要考查了空間位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題．

7.【答案】B;

【解析】解：因為的面積，

因為，則，所以，

在中，因為，所以，

則，

因為，所以，

所以，即，

所以，

則，

所以，，

故選：

根據(jù)三角形的面積可得，在和中，利用正弦定理結(jié)合，可得與的關(guān)系，從而可得答案．

此題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，所以中檔題．

8.【答案】C;

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為棱長為的正方體，切去一個三棱錐體；

如圖所示：

故

故選：

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進一步利用割補法的應用求出幾何體的體積．

此題主要考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題．

9.【答案】B;

【解析】解：當時，，當時，，則函數(shù)不可能是周期函數(shù)，故錯誤，

當時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，故正確，

若的圖象關(guān)于直線對稱，則，

當時，，即，不成立，則的圖象關(guān)于直線對稱不正確，故錯誤，

若的圖象關(guān)于對稱，則，

當時，，即，不成立，則的圖象關(guān)于對稱不正確，故錯誤，

故選：

根據(jù)絕對值的意義，結(jié)合函數(shù)的周期性，對稱性分別進行判斷即可．

此題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用絕對值的意義，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行判斷是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．

10.【答案】C;

【解析】解：直角中，，，

以為坐標原點所在直線為軸，

所在直線為軸建立直角坐標系，如圖：

，，，，

由，

，，

，，

若，

．

，

解得：，

，

．

則的最大值是．

故選：．

把三角形放入直角坐標系中，求出相關(guān)點的坐標，利用已知條件運用向量的數(shù)量積的坐標表示和二次不等式的解法，即可求出的最大值．

此題主要考查向量在幾何中的應用，向量的數(shù)量積以及向量的坐標運算，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題

11.【答案】C;

【解析】

此題主要考查了利用基本不等式求最值、圓關(guān)于直線對稱的相關(guān)知識，由圓關(guān)于直線對稱，可知直線經(jīng)過圓心，得到關(guān)于，的等式，再利用基本不等式求得最值，試題難度較易.

解：由圓知，其標準方程為，

圓關(guān)于直線對稱，

該直線經(jīng)過圓心，即，

，

，

當且僅當，即時取等號，

故選

12.【答案】C;

【解析】解：某運動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，

，直線所在的方程為：，

代入，解得或舍，

點的坐標為

設(shè)拋物線方程為：，則，，

又，解得，

該拋物線的軌跡方程為

故選：

由題意可得所在的方程為：，進而可求點的坐標，設(shè)拋物線方程為：，利用導數(shù)可求，進而可求該拋物線的軌跡方程．

此題主要考查求拋物線的軌跡方程，考查運算求解能力，屬中檔題．

13.【答案】D;

【解析】解：由題意設(shè)，，

原不等式有唯一整數(shù)解，

在直線下方，有一個交點，

，

在遞減，在遞增，

，

恒過定點，

結(jié)合函數(shù)圖象得，，

又，，

，，即，

故選：．

由題意設(shè)，，將條件轉(zhuǎn)化為：在直線下方，有一個交點，求出后，由導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出的單調(diào)性，畫出兩個函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象和斜率公式求出、，可得的取值范圍．

該題考查函數(shù)圖象與不等式的問題，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及斜率公式，考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造法，屬于中檔題．

14.【答案】-;

【解析】解：，，

，

，，

解得，

故答案為：．

由題意可得的坐標，由可得，解關(guān)于的方程可得．

此題主要考查平面向量的數(shù)量積和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．

15.【答案】14;

【解析】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，

得到如圖的及其內(nèi)部，其中，，

設(shè)，將直線：進行平移，

當經(jīng)過點時，目標函數(shù)達到最大值

故答案為：

作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的及其內(nèi)部，再將目標函數(shù)對應的直線進行平移，可得當且時，取得最小值．

本題給出二元一次不等式組，求目標函數(shù)的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】{-20，-16};

【解析】解：因為與有個交點，故只需函數(shù)的圖象與直線有個不同的公共點即可，

令，

，

當，時單調(diào)遞增，當時單調(diào)遞減，

依題意只需與軸有個交點即可，，

只需，，或．

故答案為

因為與有個交點，故只需函數(shù)的圖象與直線有個不同的公共點即可，只需與軸有個交點即可，

題主要考查函數(shù)的圖象的交點以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】198;

【解析】解：位置分析法，千位和個位有限制條件，可以先考慮千位是奇數(shù)還是偶數(shù)，再考慮個位，最后排中間當千位是偶數(shù)時，從，，中選一個，個位數(shù)從剩下的個偶數(shù)中選一個，中間兩位數(shù)從，，中選兩個進行排列，此時共有當千位是奇數(shù)時，從，，中選一個，個位從，，，中選一個，然后排十位和百位，從剩下的兩個奇數(shù)中選個，從利下的個偶數(shù)中選個，再將選出的兩個數(shù)排到十位和百位上，此時共有種，所有一共有種

18.【答案】;

【解析】解：由雙曲線的定義可知，由，得，

則，所以雙曲線的方程為．

故答案為：．

根據(jù)雙曲線的定義和離心率公式求出和，則雙曲線方程可得．

此題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)，根據(jù)雙曲線的定義求出，是解決本題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：（Ⅰ）∵O是△ABD的重心，C（-，0），

∴A（1，0），

故函數(shù)f（x）的最小正周期為3，

即=3，解得ω=，……（3分）

f（-）=sin[×（-）+φ]=sin（-+φ）=0，

∴φ=；……（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+），

∴B（0，）且C（-，0），

∴∠BCO=60°；……（8分）

∵C（-，0）是BD的中點，

∴D（-1，-），……（10分）

∴AD==；……（11分）

∴2R===，

∴外接圓半徑R=．…………（14分）;

【解析】

Ⅰ根據(jù)題意求出函數(shù)的最小正周期，寫出解析式，求出的值；

Ⅱ根據(jù)的解析式求出、和的坐標，利用正弦定理求出外接圓半徑．

此題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了正弦定理的應用問題，是中檔題．

20.【答案】證明：平面，又

平面平面；

解：平面，，

平面．

為三棱錐的高．

．

三棱錐的體積為．

;

【解析】

該題考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．

由已知結(jié)合面面垂直的判斷得答案；

由平面，，得平面，從而求得為三棱錐的高，把三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積得答案．

21.【答案】解：（1）設(shè){}的公差為d（d≠0），因為=3，，，成等比數(shù)列，

所以2=．即（+d）2=（-d）（+5d），即（3+d）2=（3-d）（3+5d），

解得d=1，所以=3+n-2=n+1；

（2）由（1）知Sn=n（n+3），S3n=3n（2+3n+1）=n（n+1），

所以===（-），

所以前n項和Tn=（1-+-+…+-）=（1-）=．;

【解析】

設(shè)的公差為，運用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列中項性質(zhì)，解方程可得公差，即可得到所求通項公式；

由等差數(shù)列的求和公式和裂項相消求和，化簡整理可得所求和．

此題主要考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的裂項相消求和，以及方程思想和運算能力，屬于中檔題．

22.【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：a=2b，由橢圓的通徑公式可知：|AB|==．則a=2，b=，

∴橢圓的標準方程：；

（Ⅱ）設(shè)直線l：x=ty+1，E（，），F(xiàn)（，），

易知：t=0時，不滿足，故t≠0，

則，整理得：（+4）+2ty-7=0，

顯然Δ=4+28（+4）＞0，

∴+=-，=-，

于是+=t（+）+2=，

故EF的中點D（，-），

由△EFG為等邊三角形，則丨GE丨=丨GF丨，

連接GD，則=-1，

即=-1，整理得=t+，

則G（-1，t+）