第06講向量法求空間角與距離（原題版）

第6講向量法求空間角與距離【考試要求】1.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題和簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題.2.能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.1.異面直線所成角若異面直線l1，l2所成的角為θ，a，b分別是直線l1，l2的方向向量，則cosθ＝｜c(diǎn)os＜a，b＞｜＝|a兩異面直線所成的角為銳角或直角，而不共線的向量的夾角的范圍為（0，π），所以公式中要加絕對(duì)值.2.直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，θ為l與α所成的角，則sinθ＝｜c(diǎn)os＜a，n＞｜＝.直線與平面所成角的范圍為0,π2，而向量之間的夾角的范圍為[0，π]，所以公式中要加絕對(duì)值3.平面與平面的夾角（1）平面與平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角，如圖①.若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝｜c(diǎn)os＜n1，n2＞｜＝n1·n（2）二面角：二面角α－l－β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則｜c(diǎn)osφ｜＝cosθ＝|n1·注意二面角與兩個(gè)平面的夾角的區(qū)別與聯(lián)系，二面角的范圍為[0，π]，兩個(gè)平面的夾角的范圍為0,π24.空間距離（1）點(diǎn)到直線的距離：設(shè)AP＝a，直線l的一個(gè)單位方向向量為u，則向量AP在直線l上的投影向量AQ＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP|2（2）點(diǎn)到平面的距離：已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則n是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長(zhǎng)度.因此PQ＝AP·n|n|＝（3）兩異面直線間的距離：即兩條異面直線公垂線段的長(zhǎng)度.1、下列說(shuō)法正確的是（）A兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角B直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．C兩異面直線所成角的范圍是，直線與平面所成角的范圍是D直線的方向向量為u，平面的法向量為n，則線面角θ滿足sinθ＝cos〈u，n〉．2．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，則直線l與平面α所成的角為()A．30° B．60°C．120° D．150°3．已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)4．平面α的一個(gè)法向量為m＝(1,2，－2)，平面β的一個(gè)法向量為n＝(2,2,1)，則平面α與平面β夾角的正切值為()A.eq\f(4,9)B.eq\f(9,4)C.eq\f(4\r(65),65)D.eq\f(\r(65),4)5.已知點(diǎn)M(0，1，－2)，平面α過(guò)原點(diǎn)，且平面α的法向量n＝(1，－2，2)，則點(diǎn)M到平面α的距離為________.考點(diǎn)一異面直線所成角例1、若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為eq\r(3)，AB＝1，則直線AB1與CD1所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°【對(duì)點(diǎn)演練1】如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(0<λ<1)，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為eq\f(3\r(2),10)，則λ的值為______．考點(diǎn)二直線與平面所成的角例2、（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，，，，．(1)證明：(2)若平面平面PCD，且，求直線AC與平面PBC所成角的正弦值．【對(duì)點(diǎn)演練1】如圖所示，在四棱維中，面，且PA=AB=BC==2.(1)求與所成的角；(2)求直線與面所成的角的余弦值.【對(duì)點(diǎn)演練2】（2022·全國(guó)甲卷）在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝3.（1）證明：BD⊥PA；（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值.【對(duì)點(diǎn)演練3】（2021·浙江高考）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝15，M，N分別為BC，PC的中點(diǎn)，PD⊥DC，PM⊥MD.（1）證明：AB⊥PM；（2）求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.【對(duì)點(diǎn)演練4】如圖，在六面體PACBD中，△PAB是等邊三角形，平面PAB與平面ABD所成角為30°，PC＝AB＝eq\r(2)AD＝eq\r(2)BD＝eq\r(2)AC＝eq\r(2)BC＝4.(1)證明：AB⊥PD；(2)若點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面PAB所成角的正切值的最大值．考點(diǎn)三平面與平面的夾角（二面角）例3（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）在如圖所示的幾何體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，，，，，點(diǎn)P，Q分別在棱GD，BC上，且，，.（1）證明：平面ABCD；（2）設(shè)H為線段GC上一點(diǎn)，且三棱錐的體積為18，求平面ACH與平面ADH夾角的余弦值.【對(duì)點(diǎn)演練1】在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）四面體中，，，，，，平面與平面的夾角為，則的值可能為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)演練3】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求證：AB⊥PD；（2）若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，問(wèn)AB為何值時(shí)，四棱錐P－ABCD的體積最大？并求此時(shí)平面BPC與平面DPC的夾角的余弦值.考點(diǎn)四距離問(wèn)題例4如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長(zhǎng)均為4，N是CC1的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)N到直線AB的距離；（2）求點(diǎn)C1到平面ABN的距離；（3）求直線AA1到直線BN的距離.【對(duì)點(diǎn)演練1】在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2eq\r(3)，M，N分別為AB，SB的中點(diǎn)，如圖所示．求點(diǎn)B到平面CMN的距離．【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模改編）已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別為和的重心，則直線到平面的距離為【對(duì)點(diǎn)演練3】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，四邊形BCC1B1是邊長(zhǎng)為2的正方形，D為AB中點(diǎn)，且A1D＝5.（1）求證：CD⊥平面ABB1A1；（2）若點(diǎn)P在線段B1C上，且直線AP與平面A1CD所成角的正弦值為255，求點(diǎn)P到平面A1CD1.（2023·廣東惠州·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，平面．(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝eq\f(\r(3),2)，則l與α所成的角為()A.30° B.60° C.120° D.150°2.如圖，點(diǎn)A，B，C分別在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的三條坐標(biāo)軸上，＝(0，0，2)，平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(2，1，2)，設(shè)二面角C－AB－O的大小為θ，則cosθ＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3)D．－eq\f(2,3)3、在四面體ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝eq\r(2)，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(14),4) D．－eq\f(\r(2),4)4、如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，分別是的中點(diǎn)，⊥平面，且，則點(diǎn)到平面的距離為A．B．C．D．15、（多選題）（2023·山東濱州·統(tǒng)考一模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題正確的是（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．直線與平面所成的角等于C．點(diǎn)D到面的距離為D．三棱柱外接球半徑為6.（多選）已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，O分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，P在正方體內(nèi)部且滿足AP＝34AB＋12AD＋23AA.點(diǎn)A到直線BE的距離是5B.點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離是2C.平面A1BD與平面B1CD1間的距離為3D.點(diǎn)P到直線AB的距離為57、在空間中，已知平面α過(guò)點(diǎn)(3，0，0)和(0，4，0)及z軸上一點(diǎn)(0，0，a)(a＞0)，如果平面α與平面Oxy所成的角為45°，則a＝________.8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，二面角B－AA1－C1的大小為60°，點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離為3，點(diǎn)C到平面ABB1A1的距離為23，則直線BC1與直線AB1所成角的正切值為.

9.如圖，在三棱臺(tái)中，，，，側(cè)棱平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正弦值．10在如圖所示的五面體中，面是邊長(zhǎng)為2的正方形，面，，且，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．11、如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°.(1)證明：AB⊥B1C；(2)若B1C＝2，求AC1與平面BCB1所成角的正弦值.12（2023·北京·北師