2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題16阿波羅尼斯圓問題梳理及其運(yùn)用含解析

Page2微專題16阿波羅尼斯圓問題梳理及其運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)和重點(diǎn)，尤其是阿波羅尼斯圓在高考中頻頻出現(xiàn)．處理此類問題的關(guān)鍵是通過建立直角坐標(biāo)系，尋找動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)定圓，從而把問題轉(zhuǎn)化為直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系問題，并在解決問題的過程中感悟轉(zhuǎn)化與化歸、化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想方法.例題：在△ABC中，若AB＝2，AC＝eq\r(2)BC，求△ABC面積的最大值．變式1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，動(dòng)點(diǎn)P在直線x＋eq\r(3)y－b＝0上，過P分別作圓O，O1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，若滿足PB＝2PA的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為________________．變式2已知點(diǎn)A(－2，0)，B(4，0)，圓C：(x＋4)2＋(y＋b)2＝16，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，若eq\f(PA,PB)為定值，則b的值為________________．串講1已知A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，點(diǎn)D是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若AD≤2BD恒成立，則最小正整數(shù)t的值為________________．

串講2已知點(diǎn)P是圓O：x2＋y2＝25上任意一點(diǎn)，平面上有兩個(gè)定點(diǎn)M(10，0)，N(eq\f(13,2)，3)，則PN＋eq\f(1,2)PM的最小值為________________．(2018·南京、鹽城、連云港二模)調(diào)查某地居民每年到商場(chǎng)購(gòu)物次數(shù)m與商場(chǎng)面積S、到商場(chǎng)距離d的關(guān)系，得到關(guān)系式m＝k×eq\f(S,d2)(k為常數(shù))．如圖，某投資者計(jì)劃在與商場(chǎng)A相距10km的新區(qū)新建商場(chǎng)B，且商場(chǎng)B的面積與商場(chǎng)A的面積之比為λ(0<λ<1)．記“每年居民到商場(chǎng)A購(gòu)物的次數(shù)”，“每年居民到商場(chǎng)B購(gòu)物的次數(shù)”分別為m1，m2，稱滿足m1<m2的區(qū)域叫作商場(chǎng)B相對(duì)于A的“更強(qiáng)吸引區(qū)域”．(1)已知P與A相距15km，且∠PAB＝60°.當(dāng)λ＝eq\f(1,2)時(shí)，居住在點(diǎn)P處的居民是否在商場(chǎng)B相對(duì)于A的“更強(qiáng)吸引區(qū)域”內(nèi)？請(qǐng)說明理由；(2)若要使與商場(chǎng)B相距2km以內(nèi)的區(qū)域(含邊界)均為商場(chǎng)B相對(duì)于A的“更強(qiáng)吸引區(qū)域”，求λ的取值范圍．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C經(jīng)過A(0，2)，O(0，0)，D(t，0)(t>0)三點(diǎn)，M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，l1，l2是過點(diǎn)B(1，0)且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交y軸于點(diǎn)E，l2交圓C于P，Q兩點(diǎn)．(1)若t＝PQ＝6，求直線l2的方程；(2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整數(shù)，求三角形EPQ的面積的最小值．答案：(1)4x－3y－4＝0.；(2)eq\f(\r(15),2).解析：(1)由題意可知，圓C的直徑為AD，所以圓C方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.1分設(shè)l2方程為y＝k(x－1)，則eq\f(（2k－1）2,1＋k2)＋32＝10，解得k1＝0，k2＝eq\f(4,3).3分當(dāng)k＝0時(shí)，直線l1與y軸無交點(diǎn)，不合題意，舍去.4分所以k＝eq\f(4,3)，此時(shí)直線l2的方程為4x－3y－4＝0.6分(2)設(shè)M(x，y)，由點(diǎn)M在線段AD上，得eq\f(x,t)＋eq\f(y,2)＝1，即2x＋ty－2t＝0.由AM≤2BM，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2,3)))eq\s\up12(2)≥eq\f(20,9).8分由AD位置知，直線AD和圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(20,9)至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－\f(8,3)t)),\r(4＋t2))≥eq\f(2\r(5),3)，解得t≤eq\f(16－10\r(3),11)或t≥eq\f(16＋10\r(3),11).10分因?yàn)閠是使AM≤2BM恒成立的最小正整數(shù)，所以t＝4.11分所以，圓C方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.①當(dāng)直線l2：x＝1時(shí)，直線l1的方程為y＝0，此時(shí)，S△EPQ＝2；12分②當(dāng)直線l2的斜率存在時(shí)，設(shè)l2的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，則l1的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)，點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,k))).所以BE＝eq\r(1＋\f(1,k2)).圓心C到l2的距離為eq\f(|k＋1|,\r(1＋k2)).所以PQ＝2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|k＋1|,\r(1＋k2))))\s\up12(2))＝2eq\r(\f(4k2－2k＋4,1＋k2)).14分故S△EPQ＝eq\f(1,2)BE·PQ＝eq\f(1,2)eq\r(1＋\f(1,k2))·2eq\r(\f(4k2－2k＋4,1＋k2))＝eq\r(\f(4k2－2k＋4,k2))＝eq\r(\f(4,k2)－\f(2,k)＋4)≥eq\f(\r(15),2).因?yàn)閑q\f(\r(15),2)<2，所以(S△EPQ)min＝eq\f(\r(15),2).16分________________________________________________________________________微專題16例題答案：2eq\r(2).解法1設(shè)BC＝x，則AC＝eq\r(2)x，根據(jù)面積公式得S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×2xeq\r(1－cos2B)，根據(jù)余弦定理得cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(4＋x2－（\r(2)x）2,4x)＝eq\f(4－x2,4x)，代入上式得：S△ABC＝xeq\r(1－（\f(4－x2,4x)）2)＝eq\r(\f(128－（x2－12）2,16))，由三角形三邊關(guān)系有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋x>2，,x＋2>\r(2)x))2eq\r(2)－2<x<2eq\r(2)＋2，故當(dāng)x＝2eq\r(3)時(shí)，S△ABC取得最大值2eq\r(2).解法2以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則A(－1，0)，B(1，0)，C(x，y)，由AC＝eq\r(2)BC得eq\r(（x＋1）2＋y2)＝eq\r(2)·eq\r(（x－1）2＋y2)，化簡(jiǎn)得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8，于是點(diǎn)C的軌跡是以D(3，0)為圓心，2eq\r(2)為半徑的圓，所以點(diǎn)C到AB的距離的最大值為半徑2eq\r(2)，故S△ABC的最大值為S＝eq\f(1,2)×2×|yC|≤2eq\r(2).變式聯(lián)想變式1答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(20,3)，4)).解析：依題意，PA2＝PO2－12，PB2＝PO12－22，因?yàn)镻B＝2PA，所以PB2＝4PA2，所以PO12－4＝4(PO2－12)，可得PO12＝4PO2，設(shè)P(x，y)，可得(x－42)＋y2＝4(x2＋y2)化簡(jiǎn)得(x＋eq\f(4,3))2＋y2＝eq\f(64,9).所以滿足條件的點(diǎn)P在以(－eq\f(4,3)，0)為圓心，eq\f(8,3)為半徑的圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x＋eq\r(3)y－b＝0上，且恰有兩個(gè)點(diǎn)，所以直線和圓應(yīng)該相交，所以eq\f(|－\f(4,3)－b|,\r(1＋3))<eq\f(8,3)，解得－eq\f(20,3)<b<4.變式2答案：0.解析：設(shè)P(x，y)，eq\f(PA,PB)＝k，則eq\r(\f(（x＋2）2＋y2,（x－4）2＋y2))＝k，整理得(1－k2)x2＋(1－k2)y2＋(4＋8k2)x＋4－16k2＝0，又P是圓C上的任意一點(diǎn)，故k≠1，圓C的一般方程為x2＋y2＋8x＋2by＋b2＝0，因此2b＝0，eq\f(4＋8k2,1－k2)＝8，eq\f(4－16k2,1－k2)＝b2，解得b＝0.串講激活串講1答案：4.解法1由A(0，1)，C(t，0)，得l：y＝－eq\f(1,t)x＋1，D(x，－eq\f(1,t)x＋1)．又AD≤2BD，故eq\r(x2＋\f(x2,t2))≤2eq\r(（x－1）2＋（1－\f(x,t)）2)，化簡(jiǎn)得(3＋eq\f(3,t2))x2－(8＋eq\f(8,t))x＋8≥0對(duì)任意x恒成立，則(8＋eq\f(8,t))2－4×8×(3＋eq\f(3,t2))≤0，化簡(jiǎn)得t2－4t＋1≥0，解得t≥2＋eq\r(3)或0<t≤2－eq\r(3)，因此最小正整數(shù)t的值為4.解法2設(shè)D(x，y)，當(dāng)AD＝2BD時(shí)，有x2＋(y－1)2＝4[(x－1)2＋y2]，化簡(jiǎn)得(x－eq\f(4,3))2＋(y＋eq\f(1,3))2＝eq\f(8,9).直線AC的方程為y＝－eq\f(1,t)x＋1，即x＋ty－t＝0.因?yàn)锳D≤2BD，所以直線AC與圓(x－eq\f(4,3))2＋(y＋eq\f(1,3))2＝eq\f(8,9)相切或相離，故eq\f(|\f(4,3)－\f(1,3)t－t|,\r(t2＋1))≥eq\r(\f(8,9))，即t2－4t＋1≥0，解得t≤2－eq\r(3)或t≥2＋eq\r(3)，所以最小正整數(shù)t的值為4.串講2答案：5.解析：設(shè)x軸上一定點(diǎn)Q(m，0)，記PM∶PQ＝λ，P(x，y)，由PM∶PQ＝λ得(x－10)2＋y2＝λ2[(x－m)2＋y2]，化簡(jiǎn)得(λ2－1)x2＋(λ2－1)y2＋(20－2mλ2)x＋(λ2m2－100)＝0，因?yàn)閤2＋y2＝25，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20－2mλ2＝0，,\f(100－λ2m2,λ2－1)＝25，))解得m＝eq\f(5,2)，λ＝2，所以PM∶PQ＝2，從而PN＋eq\f(1,2)PM＝PN＋PQ≥QN＝5.新題在線答案：(1)居住在點(diǎn)P處的居民不在商場(chǎng)B相對(duì)于A的“更強(qiáng)吸引區(qū)域”內(nèi)．(2)(eq\f(1,16)，1)解析：設(shè)商場(chǎng)A，B的面積分別為S1，S2，點(diǎn)P到A，B的距離分別為d1，d2，則S2＝λS1，m1＝keq\f(S1,d12)，m2＝keq\f(S2,d22)，k為常數(shù)，k>0.(1)在△PAB中，AB＝10，PA＝15，∠PAB＝60°，由余弦定理，得d22＝PB2＝AB2＋PA2－2AB·PAcos60°＝102＋152－2×10×15×eq\f(1,2)＝175.又d12＝PA2＝225，此時(shí)，m1－m2＝keq\f(S1,d12)－keq\f(S2,d22)＝keq\f(S1,d12)－keq\f(λS1,d22)＝kS1(eq\f(1,d12)－eq\f(λ,d22))，將λ＝eq\f(1,2)，d12＝225，d22＝175代入，得m1－m2＝kS1(eq\f(1,225)－eq\f(1,350))．因?yàn)閗S1>0，所以m1>m2.即居住在點(diǎn)P處的居民不在商場(chǎng)B相對(duì)于A的“更強(qiáng)吸引區(qū)域”內(nèi)．(2)解法1以AB所在直線為x軸，A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(10，0)，設(shè)P(x，y)，由m1<m2得，keq\f(S1,d12)<keq\f(S2,d22)，將S2＝λS1代入，得d22<λd12.代入坐標(biāo)，得(x－10)2＋y2<λ(x2＋y2)，化簡(jiǎn)得(1－λ)x2＋(1－λ)y2－20x＋100<0.因?yàn)?<λ<1，配方得(x－eq\f(10,1－λ))2＋y2<(eq\f(10\r(λ),1－λ))2，所以商場(chǎng)B相對(duì)于A的“更強(qiáng)吸引區(qū)域”是圓心為C(eq\f(10,1－λ)，0)，半徑為r1＝eq\f(10\r(λ),1－λ)的圓的內(nèi)部．與商場(chǎng)B相距2km以內(nèi)的區(qū)域(含邊界)是圓心為B(10，0)，半徑為r2＝2的圓的內(nèi)部及圓周．由題設(shè)，圓B內(nèi)含于圓C，即BC<|r1－r2|.因?yàn)?＜λ＜1，所以eq\f(10,1－λ)－10<eq\f(10\r(λ),1－λ)－2，整理得4λ－5eq\r(λ)＋1<0，解得eq\f(1,16)<λ<1.所以，所求λ的取值范圍是(eq\f(1,16)，1)．解法2要使與商場(chǎng)B相距2km以內(nèi)的區(qū)域(含邊界)均為商場(chǎng)B相對(duì)于A的“更強(qiáng)吸引區(qū)域”，則當(dāng)d