2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題29以二元變量為載體的應(yīng)用題作業(yè)

微專題29以二元變量為載體的應(yīng)用題1.某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小，則x的值是________．2．經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人數(shù)f(t)(萬人)近似地滿足f(t)＝4＋eq\f(1,t)，而人均消費(fèi)g(t)(元)近似滿足g(t)＝120－|t－20|.則該城市旅游日收益的最小值為________．3．共享單車給市民出行帶來了諸多便利，某公司購買了一批單車投放到某地給市民使用．據(jù)市場分析，每輛單車的營運(yùn)累計(jì)利潤y(單位：元)與營運(yùn)天數(shù)x(x∈N*)滿足y＝－eq\f(1,2)x2＋60x－800.(1)要使?fàn)I運(yùn)累計(jì)利潤高于800元，求營運(yùn)天數(shù)的取值范圍；(2)每輛單車營運(yùn)多少天時(shí)，才能使每天的平均營運(yùn)利潤eq\f(y,x)的值最大？4．(2018·上海松江一模)某市有軌電車項(xiàng)目正在如火如荼的進(jìn)行中，通車后將給市民出行帶來便利．已知某條線路通車后，電車的發(fā)車時(shí)間間隔t(單位：分鐘)滿足2≤t≤20.經(jīng)市場調(diào)研測算，電車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)10≤t≤20時(shí)電車為滿載狀態(tài)，載客量為400人，當(dāng)2≤t＜10時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與(10－t)的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為272人．記電車載客量為p(t)．(1)求p(t)的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)，電車的載客量；(2)若該線路每分鐘的凈收益為Q＝eq\f(6p（t）－1500,t)－60(元)，問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？

5.(2018·蘇州期末)如圖，長方形材料ABCD中，已知AB＝2eq\r(3)，AD＝4.點(diǎn)P為材料ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF＝eq\r(3).現(xiàn)要在長方形材料ABCD中裁剪出四邊形材料AMPN，滿足∠MPN＝150°，點(diǎn)M，N分別在邊AB，AD上．(1)設(shè)∠FPN＝θ，試將四邊形材料AMPN的面積S表示為θ的函數(shù)，并指明θ的取值范圍；(2)試確定點(diǎn)N在AD上的位置，使得四邊形材料AMPN的面積S最小，并求出其最小值．6．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)二模)如圖1是某斜拉橋的航拍圖，為了分析大橋的承重情況，某研究小組將其抽象成圖2所示的數(shù)學(xué)模型．索塔AB，CD與橋面AC均垂直，通過測量知兩索塔的高度均為60m，橋面AC上一點(diǎn)P到索塔AB，CD距離之比為21∶4.且P對(duì)兩塔頂?shù)囊暯菫?35°.(1)求橋面AC的長度；(2)研究表明索塔對(duì)橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與多種因素有關(guān)，可簡單抽象為索塔對(duì)橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與索塔的高度成正比(比例系數(shù)為正數(shù)a)，且與該處到索塔的距離的平方成反比(比例系數(shù)為正數(shù)b)，問兩索塔對(duì)橋面何處的“承重強(qiáng)度”之和最??？并求出最小值．微專題291．答案：30.解析：總費(fèi)用4x＋eq\f(600,x)×6＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(900,x)))≥240，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(900,x)，即x＝30時(shí)等號(hào)成立．2．答案：441萬元．解析：由題意可得W(t)＝f(t)g(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,t)))(120－|t－20|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(401＋4t＋\f(100,t)，1≤t≤20，,559＋\f(140,t)－4t，20＜t≤30.))當(dāng)t∈[1，20]時(shí)，401＋4t＋eq\f(100,t)≥401＋2eq\r(4t·\f(100,t))＝441(t＝5時(shí)取最小值)．當(dāng)t∈(20，30]時(shí)，因?yàn)閃(t)＝559＋eq\f(140,t)－4t遞減，所以t＝30時(shí)，W(t)有最小值W(30)＝443eq\f(2,3).答：當(dāng)t∈[1，30]時(shí)，W(t)的最小值為441萬元．3．答案：(1)40到80天之間；(2)每輛單車營運(yùn)400天時(shí)，才能使每天的平均營運(yùn)利潤最大，最大為20元每天．解析：(1)要使?fàn)I運(yùn)累計(jì)收入高于800元，令－eq\f(1,2)x2＋60x－800＞800，解得40＜x＜80.所以營運(yùn)天數(shù)的取值范圍為40到80天之間．(2)eq\f(y,x)＝－eq\f(1,2)x－eq\f(800,x)＋60≤－2eq\r(400)＋60＝20，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2)x＝eq\f(800,x)時(shí)等號(hào)成立，解得x＝400.答：每輛單車營運(yùn)400天時(shí)，才能使每天的平均營運(yùn)利潤最大，最大為20元每天．4．答案：(1)368人；(2)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔t＝5分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大值為60元．解析：(1)由題意知p(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400－k（10－t）2，2≤t＜10，,400，10≤t≤20))(k為常數(shù))．因?yàn)閜(2)＝400－k(10－2)2＝272，所以k＝2，所以p(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400－2（10－t）2，2≤t＜10，,400，10≤t≤20.))所以p(6)＝400－2(10－6)2＝368(人)．(2)由Q＝eq\f(6p（t）－1500,t)－60，可得Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)（－12t2＋180t－300），2≤t＜10，,\f(1,t)（－60t＋900），10≤t≤20.))當(dāng)2≤t＜10時(shí)，Q＝180－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12t＋\f(300,t)))≤180－2eq\r(12×300)＝60，當(dāng)且僅當(dāng)t＝5時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)10≤t≤20時(shí)，Q＝－60＋eq\f(900,t)≤－60＋90＝30，當(dāng)t＝10時(shí)等號(hào)成立．答：當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔t＝5分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大值為60元．5．答案：(1)S＝eq\f(3,2)tanθ＋eq\f(1,2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＋eq\r(3)，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))；(2)當(dāng)AN＝eq\f(2\r(3),3)時(shí)，四邊形材料AMPN的面積S最小，最小值為2＋eq\f(\r(3),3).解析：(1)在直角△NFP中，因?yàn)镻F＝eq\r(3)，∠FPN＝θ，所以NF＝eq\r(3)tanθ，所以S△NAP＝eq\f(1,2)NA·PF＝eq\f(1,2)(1＋eq\r(3)tanθ)×eq\r(3).在直角△MEP中，因?yàn)镻E＝1，∠EPM＝eq\f(π,3)－θ，所以ME＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))，所以S△AMP＝eq\f(1,2)AM·PE＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))))×1.所以S＝S△NAP＋S△AMP＝eq\f(3,2)tanθ＋eq\f(1,2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＋eq\r(3)，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).(2)因?yàn)镾＝eq\f(3,2)tanθ＋eq\f(1,2)tan(eq\f(π,3)－θ)＋eq\r(3)＝eq\f(3,2)tanθ＋eq\f(\r(3)－tanθ,2（1＋\r(3)tanθ）)＋eq\r(3).令t＝1＋eq\r(3)tanθ，由θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，得t∈[1，4]，所以S＝eq\r(3)＋eq\f(3t2－4t＋4,2\r(3)t)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(4,3t)))＋eq\f(\r(3),3)≥eq\f(\r(3),2)×2×eq\r(t×\f(4,3t))＋eq\f(\r(3),3)＝2＋eq\f(\r(3),3).當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(2\r(3),3)時(shí)，即tanθ＝eq\f(2－\r(3),3)時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)，AN＝eq\f(2\r(3),3)，Smin＝2＋eq\f(\r(3),3).答：當(dāng)AN＝eq\f(2\r(3),3)時(shí)，四邊形材料AMPN的面積S最小，最小值為2＋eq\f(\r(3),3).6．答案：(1)500m；(2)兩索塔對(duì)橋面AC中點(diǎn)處的“承重強(qiáng)度”之和最小，且最小值為eq\f(6ab,3125).解析：(1)設(shè)AP＝21t，BP＝4t(t＞0)，記∠APB＝α，∠CPD＝β，則tanα＝eq\f(60,21t)＝eq\f(20,7t)，tanβ＝eq\f(60,4t)＝eq\f(15,t)，由tan(α＋β)＝tan45°＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(20,7t)＋\f(15,t),1－\f(300,7t2))＝1，化簡得7t2－125t－300＝0，解得t＝20或t＝－eq\f(15,7)(舍去)．所以，AC＝AP＋PC＝25×20＝500.答：兩索塔之間的距離AC＝500米．(2)方法1：設(shè)AP＝x，點(diǎn)P處的承重強(qiáng)度之和為L(x)．則L(x)＝60eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(ab,x2)＋\f(ab,（500－x）2)))，且x∈(0，500)，即L(x)＝60abeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,（500－x）2)))，x∈(0，500)，記l(x)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(1,（500－x）2)，x∈(0，500)，則l′(x)＝eq\f(－2,x3)＋eq\f(2,（500－x）3)，令l′(x)＝0，解得x＝250，當(dāng)x∈(0，250)，l′(x)＜0，l(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(250，500)，l′(x)＞0，l(x)單調(diào)遞增；所以x＝250時(shí)，l(x)取到最小值，L(x)也取到最小值eq\f(6ab,3125).方法2：由基本不等式得500＝a＋b≥2eq\r(ab)，所以ab≤2502①，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)“＝