選擇性空間向量與立體幾何專題01空間向量的基本概念及線性運算（原卷版）

空間向量與立體幾何專題01空間向量的基本概念及線性運算學習目標：1.類比平面向量認識并理解空間向量的相關(guān)概念、及空間向量的線性運算及運算律2.類比平面向量研究空間向量的共線、共面問題.知識梳理（一）空間向量的有關(guān)概念在空間，像位移、力、速度、加速度這樣既有又有的量，叫作空間向量.空間任意兩個向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條來表示.(1)空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算的意義，如圖.加法：三角形法則與平行四邊形法則：減法：三角形法則數(shù)乘運算：(2)空間向量的加法和數(shù)乘運算滿足如下運算律：運算律(其中λ，μ∈R)(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．向量的加法、減法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.（二）特殊的空間向量零向量：規(guī)定的向量叫做零向量，記為0單位向量：的向量叫做單位向量相反向量：與向量a長度相等而方向的向量，叫做a的相反向量，記為－a共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有相等向量：方向且模的向量稱為相等向量．在空間，的有向線段表示同一向量或相等向量（三）共線向量及共線向量定理1．空間向量共線的充要條件：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使2．方向向量：如圖1.17，是直線上一點，在直線上取非零向量，則對于直線上任意一點，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)，使得．我們把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量(directionvector)．這樣，直線上任意一點都可以由直線上的一點和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定．如圖1.18，如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合，那么稱向量平行于直線．如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，那么稱向量平行于平面．平行于同一個平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．3．向量和直線平行：如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l，那么稱向量a平行于直線l.4．共面向量：同一個平面的向量，叫做共面向量．5．空間向量共面的充要條件：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使三、考點應(yīng)用舉例考點一：空間向量的基本概念例1．（1）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同（2）如圖，在長方體中，，，，則在以八個頂點中的兩個分別為起點和終點的向量中：（1）單位向量有__________________；（2）模為的向量有_________個；（3）與相等的向量有_________；（4）的負向量有_________；（5）化簡結(jié)果的向量：_________，_________．針對訓練1（1）．下列命題中為真命題的是（

）A．空間向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等（2）如圖，在長方體中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．考點二：空間向量的線性運算例2．如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，是的中點，設(shè)，，，用，，表示，則（

）A． B． C． D．針對訓練2：（1）．化簡所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．（2）如圖，在三棱錐中，E為OA的中點，點F在BC上，滿足，記，，分別為，，，則（

）A． B． C． D．例3：如圖所示，空間四邊形中，，點在上，且為的中點，，則的值分別為（

）A． B．C． D．針對訓練3：如圖，設(shè)為平行四邊形所在平面外任意一點，為的中點，若，則的值是（

）A． B．0 C． D．考點三：共性向量的應(yīng)用例4．已知向量，不共線，，，，則（

）A．與共線 B．與共線C．，，，四點不共面 D．，，，四點共面針對訓練4（1）．已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A． B． C． D．例5．設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A，B，D三點共線，求實數(shù)k的值．針對訓練5：如果空間向量不共線，且，那么的值分別是（

）A． B．C． D．考點四：共面向量的應(yīng)用例6．在下列條件中，能使與，，一定共面的是（

）A． B．C． D．針對訓練6（1）．對空間中任意一點和不共線的三點，能得到在平面內(nèi)的是（

）A． B．C． D．（2）多選題下列說法錯誤的是（

）A．空間的任意三個向量都不共面B．空間的任意兩個向量都共面C．三個向量共面，即它們所在的直線共面D．若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面（3）．已知三