省直轄縣級行政區(qū)劃天門市東方高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

省直轄縣級行政區(qū)劃天門市東方高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分圖象如圖所示，則當(dāng)x∈[﹣1，1]時，函數(shù)f（x）的值域為（）A．[﹣1，] B．[，1] C．[﹣，1] D．[﹣1，1]參考答案：B【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】利用函數(shù)圖象可得A=1，=16，ω=，利用函數(shù)過點（1，1），可求φ，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解所求值域．【解答】解：由題意，A=1，=16，ω=，∴f（x）=sin（x+φ），（1，1）代入可得+φ=+2kπ，∵﹣＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=sin（x+），當(dāng)x∈[﹣1，1]時，函數(shù)f（x）的值域為[，1]，故選：B．【點評】本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件，則當(dāng)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2時，a=（）A． B． C．1 D．2參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】可以作出不等式的平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，得到a+1=2，解得即可【解答】解：畫出可行域如圖，可知z在H（1，1）處取得最小值，故a+1=2，a=1，故選C．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．4.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，則不等式exf（x）＞ex+3（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為(

) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）參考答案：A考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運算．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解解答： 解：設(shè)g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），則g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故選：A．點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．5.如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，則圖中判斷框內(nèi)（1）處和執(zhí)行框中的（2）處應(yīng)填的語句是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：C略6.在等腰直角△ABC中，點O是斜邊BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若,則的最大值為（

）A.

B.1

C.2

D.3參考答案：B略7.對于函數(shù)，若存在區(qū)間（其中），使得則稱區(qū)間M為函數(shù)的一個“穩(wěn)定區(qū)間”。給出下列4個函數(shù)：①②③④其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有 （

）A．①③

B．①②③

C．①②③④

D．②④參考答案：B8.設(shè)函數(shù)，區(qū)間M=[a，b](a<b)，集合N={}，則使M=N成立的實數(shù)對(a，b)有

(

)

A．0個

B．1個

C．2個

D．無數(shù)多個參考答案：A9.已知為虛數(shù)單位，則的值等于A.

B.

C.

D.參考答案：C10.已知向量。則是的

A．充分不必要祭件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某班有50名學(xué)生，其中15人選修A課程，另外15人選修B課程，其它人不選任何課程，從中任選兩名學(xué)生，則他們選修不同課程的學(xué)生概率為__________。參考答案：12.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f（x）=k有3個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍為

參考答案：1＜k≤2考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．專題：計算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由題意作函數(shù)f（x）=的圖象，由圖象得到．解答： 解：作函數(shù)f（x）=的圖象如下圖，則由圖象可知，1＜k≤2點評：本題考查了學(xué)生的作圖與應(yīng)用圖象的能力，屬于基礎(chǔ)題．13.設(shè)函數(shù)，，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于______________.參考答案：614.若復(fù)數(shù)z滿足是虛數(shù)單位)，則z的虛部為

．參考答案：－1由題得所以復(fù)數(shù)z的虛部為－1.故答案為：－1

15.從圓外一點向這個圓作兩條切線，切點分別為A，B，則______．參考答案：【分析】由題意作出圖像，記圓的圓心為，根據(jù)題意得到，得到，根據(jù)題意求出，再由二倍角公式即可求出結(jié)果.【詳解】先由題意作出圖像如下圖：記圓的圓心為，由題意，易得，所以，因此；因為，所以，，所以，因此.故答案為【點睛】本題主要考查三角恒等變換，熟記二倍角公式即可，屬于?？碱}型.16.點M(x，y)是不等式組表示的平面區(qū)域Ω內(nèi)的一動點，使z＝y(tǒng)－2x的值取得最小的點為A(x0，y0)，則(O為坐標(biāo)原點)的取值范圍是________．參考答案：[0,6]作出可行域Ω為如圖四邊形OBCD區(qū)域，作直線l0：y－2x＝0，平移l0，當(dāng)平移到經(jīng)過點【答案】【解析】17.已知函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，且y=f（x﹣2）的圖象關(guān)于點（2，0）成中心對稱．若u，v滿足不等式組，則u2+v2的最小值為．參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式組進(jìn)行化簡，利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵y=f（x﹣2）的圖象關(guān)于點（2，0）成中心對稱．∴y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）成中心對稱．即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則不等式組，等價為，即，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，則u2+v2的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方，則由圖象知原點到直線u=1﹣v，即v+u﹣1=0的距離最小，此時d=，故u2+v2的最小值為d2=，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.參考答案：解：（1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由題設(shè)知，所以，故，．以D為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），=(1，0，0)，，．設(shè)平面EBC的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=.設(shè)平面的法向量為m=（x，y，z），則即所以可取m=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值為．

19.如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓。（1）若最大拱高h(yuǎn)為6m，則隧道設(shè)計的拱寬是多少？（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程

量最小，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h(yuǎn)和拱寬？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高。）（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少。

參考答案：解：（1）如下圖建立直角坐標(biāo)系，則點P（10，2），橢圓方程為+=1，將b=h－3=3與點P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=，l=2a=，隧道的拱寬約為m。5分

（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢圓的面積最小即可。由橢圓方程+=1，得+=1。因為+≥，即ab≥40，…8分所以半橢圓面積S=≥。當(dāng)S取最小值時，有==，得a=10，b=，此時l=2a=20，

h=b+3=+3，故當(dāng)拱高為(+3)m、拱寬為20m時，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小

13分（3）設(shè)，設(shè)=+·=2（10），則令得或17（舍）∴時，取最小值，此時,代入橢圓方程得

∴…

13分略20.（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱中，90°,,是的中點.

（Ⅰ）求異面直線與所成的角；

（Ⅱ）若為上一點，且，求二面角的大小.參考答案：解法一：

（Ⅰ）取的中點，連，則∥，

∴或其補角是異面直線與所成的角.……2分

設(shè)，則，

.

∴.………………4分

∵在中，.……5分

∴異面直線與所成的角為.……………6分

（Ⅱ）連結(jié)，設(shè)是的中點，過點作于，連結(jié)，則

.又∵平面平面

∴平面.………8分

而

∴

∴是二面角的平面角.…………………9分

由=，=，，得.……………10分

即二面角為

∴所求二面角為.………………12分解法二：（Ⅰ）如圖分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.……………………1分

設(shè)，則、、、

、.

………2分

∴，

∴.………5分

∴異面直線與所成的角為.

………6分（Ⅱ）由題意知點，設(shè)平面的一個法向量為，則，∵，∴，取，得.………………8分易知平面的一個法向量，

∴.

…………11分

∴二面角的大小為.

…………12分21.已知函數(shù)（1）設(shè)（2）在

求的值。

參考答案：(1)(2)解析：(1)由已知，由得，于是（2）由f（C）=+1得f（C）=2cos=+1sinC﹣cosC=﹣1

…2分sin（C﹣）=﹣

…4分所以C﹣=﹣，C=

又因為的面積為，所以可得，由余弦定理得，所以由正弦定理得

略22.已知直線x﹣y+a=0與圓心為