第八章-第八節(jié)-曲線與方程概要

第八章--第八節(jié)--曲線與方程概要第一頁(yè)，共42頁(yè)。第一頁(yè)第二頁(yè)，共42頁(yè)。[理要點(diǎn)]一、曲線與方程在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．那么，這個(gè)方程叫做

；這條曲線叫做

．曲線的方程方程的曲線第二頁(yè)第三頁(yè)，共42頁(yè)。二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟(1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．(2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)．(3)列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式．(4)代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式

等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(jiǎn)．(5)證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．第三頁(yè)第四頁(yè)，共42頁(yè)。三、曲線的交點(diǎn)設(shè)曲線C1的方程為F1(x，y)＝0，曲線C2的方程為F2(x，y)＝0，則C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的實(shí)數(shù)解，若此方程組

，則兩曲線無(wú)交點(diǎn)．無(wú)解第四頁(yè)第五頁(yè)，共42頁(yè)。[究疑點(diǎn)]若曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系中只滿足(2)條會(huì)怎樣？提示：若只滿足“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)”，則這個(gè)方程可能只是部分曲線的方程，而非整個(gè)曲線的方程．第五頁(yè)第六頁(yè)，共42頁(yè)。第六頁(yè)第七頁(yè)，共42頁(yè)。[題組自測(cè)]1．設(shè)k＞1，則關(guān)于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1表示的曲線是 (

)A．長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓B．長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓C．實(shí)軸在y軸上的雙曲線D．實(shí)軸在x軸上的雙曲線第七頁(yè)第八頁(yè)，共42頁(yè)。答案：C第八頁(yè)第九頁(yè)，共42頁(yè)。第九頁(yè)第十頁(yè)，共42頁(yè)。答案：A第十頁(yè)第十一頁(yè)，共42頁(yè)。答案：半徑為2的圓第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共42頁(yè)。第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共42頁(yè)。第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共42頁(yè)。第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共42頁(yè)。第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共42頁(yè)。[歸納領(lǐng)悟]1．直接法求軌跡方程是求曲線方程的基本方法．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程都是由直接法求得的．當(dāng)軌跡易于列出動(dòng)點(diǎn)(x，y)滿足的方程時(shí)可用此法．2．求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)應(yīng)注意它的完備性．化簡(jiǎn)過(guò)程破壞了方程的同解性，要注意補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)或者挖去多余的點(diǎn)．“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念，前者指曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍).第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共42頁(yè)。[題組自測(cè)]1．動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M(1,0)及點(diǎn)N(3,0)的距離之差為2，則點(diǎn)P的軌跡是 (

)A．雙曲線B．雙曲線的一支

C．兩條射線

D．一條射線解析：∵|PM|－|PN|＝2，而|MN|＝2，∴P點(diǎn)在線段MN的延長(zhǎng)線上．答案：D第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共42頁(yè)。第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共42頁(yè)。答案：D第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共42頁(yè)。3．已知圓的方程為x2＋y2＝4，若拋物線過(guò)點(diǎn)A(－1,0)、B(1,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程是____________．解析：設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，過(guò)A、B、O作準(zhǔn)線的垂線AA1、BB1、OO1，則|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由拋物線定義得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn))．第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共42頁(yè)。[歸納領(lǐng)悟]1．運(yùn)用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫(xiě)出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．2．定義法和待定系數(shù)法適用于已知軌跡是什么曲線，其方程是什么形式的方程．利用條件把待定系數(shù)求出來(lái)，使問(wèn)題得解．第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共42頁(yè)。[題組自測(cè)]1．已知定點(diǎn)A(2,0)，它與拋物線y2＝x上的動(dòng)點(diǎn)P連線的中點(diǎn)M的軌跡方程為 (

)A．y2＝2(x－1)

B．y2＝4(x－1)C．y2＝x－1 D．y2＝(x－1)第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共42頁(yè)。第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共42頁(yè)。2．由拋物線y2＝2x上任意一點(diǎn)P向其準(zhǔn)線l引垂線，垂足為Q，連接頂點(diǎn)O與P的直線和連接焦點(diǎn)F與Q的直線交于點(diǎn)R，求點(diǎn)R的軌跡方程．第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共42頁(yè)。第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共42頁(yè)。第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共42頁(yè)。第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共42頁(yè)。第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共42頁(yè)。第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共42頁(yè)。第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共42頁(yè)。[歸納領(lǐng)悟]用代入法求軌跡方程的關(guān)系是尋求關(guān)系式x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲線，而求對(duì)稱(chēng)曲線(軸對(duì)稱(chēng)，中心對(duì)稱(chēng)等)方程實(shí)質(zhì)上也是用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)解題．

第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共42頁(yè)。第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共42頁(yè)。一、把脈考情從高考試題來(lái)看，求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題之一，是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)題型，一般與平面向量相結(jié)合，多考查直接法與定義法．從形式上看多為解答題，難度中等，注重邏輯思維能力，運(yùn)算能力的考查，預(yù)測(cè)2012年仍以直接法、定義法為主進(jìn)行考查．第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共42頁(yè)。二、考題診斷1．(2010·重慶高考)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是 (

)A．直線B．橢圓C．拋物線

D．雙曲線第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共42頁(yè)。解析：在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知直線AD與D1C1是異面垂直的兩條直線，過(guò)直線AD與D1C1平行的平面是面ABCD，設(shè)在平面ABCD內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足到直線AD與D1C1的距離相等，作MM1⊥AD于M1，MN⊥CD于N，NP⊥D1C1于P，連結(jié)MP，易知MN⊥平面CDD1C1，MP⊥D1C1，第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共42頁(yè)。則有MM1＝MP，|y|2＝x2＋a2(其中a是異面直線AD與D1C1間的距離)，即有y2－x2＝a2，因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．答案：D第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共42頁(yè)。2．(2010·上海高考)若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離與它到直線x

＋2＝0的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)______