數(shù)列通項公式經(jīng)典例題解析

求數(shù)列通項公式一、公式法種類1an1anf(n)解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)變?yōu)閍n1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例1已知數(shù)列{an}知足a2a32n，a12，求數(shù)列{an}的通項公式。n1n解：an12an32nn1an1an3an1an3an兩邊除以2，得2n12n，則2n1n，故數(shù)列{n}是2222以a121為首項，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得an1(n1)3，2122(3n1)2n。2n2因此數(shù)列{an}的通項公式為an22評注：此題解題的重點是把遞推關(guān)系式an12an32n轉(zhuǎn)變?yōu)閍n1an3，說明數(shù)列2n12n2an是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出an1(n3{n}2n1)，從而求出數(shù)列22{an}的通項公式。練習(xí)題：1.已知數(shù)列{an}知足an13an23n1，a13，求數(shù)列{an}的通項公式。2.已知數(shù)列an知足a11an1，求an，an1n2n2例2已知數(shù)列{an}知足an1an2n1，a11，求數(shù)列{an}的通項公式。解：由an1an2n1得an1an2n1則an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1]L(221)(211)12[(n1)(n2)L21](n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2因此數(shù)列{an}的通項公式為ann2。評注：此題解題的重點是把遞推關(guān)系式an1an2n1轉(zhuǎn)變?yōu)閍n1an2n1，從而求出(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1，即得數(shù)列{an}的通項公式。二、累乘法種類2an1f(n)an解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)變?yōu)閍n1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例3已知數(shù)列{an}知足an12(n1)5nan，a13，求數(shù)列{an}的通項公式。解：由于an12(n1)5nan，a13，因此an0，則an12(n1)5n，故anaanan1La3a2ananana2a1112[2(n11)5n1][2(n21)5n2]L[2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)L32]5(n1)(n2)L2132n1n(n1)352n!2n1n(n1)因此數(shù)列{an}的通項公式為an352n!.評注：此題解題的重點是把遞推關(guān)系an12(n1)5nan轉(zhuǎn)變?yōu)閍n12(n1)5n，從而求an出anan1La3a2a1，即得數(shù)列{an}的通項公式。an1an2a2a1例4已知數(shù)列{an}知足a11，ana12a23a3L(n1)an1(n2)，求{an}的通項公式。解：由于ana12a23a3L(n1)an1(n2)①因此an1a12a23a3L(n1)an1nan②用②式－①式得an1annan.則an1(n1)an(n2)a1故n1(n2)an因此anan1a3a2[n(n1)L43]a2n!a2.anan1an2La22由ana12a23a3L(n1)an1(n2)，取n2得a2a12a2，則a2a1，又知a11，則a21，代入③得an1345Lnn!。2因此，{an}的通項公式為ann!.2評注：此題解題的重點是把遞推關(guān)系式an1(n1)an(n2)轉(zhuǎn)變?yōu)閍n1n1(n2)，an從而求出anan1La3a2，從而可適當(dāng)n2時，an的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列{an}的an1an2a2通項公式。練習(xí)題：1.已知數(shù)列an2nn，求an知足a1，an13n1a2.已知3n1，求ana13，an13n2an(n1)三、待定系數(shù)法種類3an1panq（此中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)0)）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)變?yōu)椋篴n1tp(ant)，此中tq，再1p利用換元法轉(zhuǎn)變?yōu)榈缺葦?shù)列求解。例

5

已知數(shù)列

{an}

知足

an1

2an

35n，a1

6，求數(shù)列

an

的通項公式。解：設(shè)an1x5n12(anx5n)將an12an35n代入④式，得2an35nx5n12an2x5n，等式兩邊消去2an，得35nx5n12x5n，兩邊除以5n，得35x2x,則x1,代入④式得an15n12(an5n)⑤由a116510及⑤式得an5n0，則an15n1n}是以5an5n2，則數(shù)列{an5a1511為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則an5n2n1，故an2n15n。評注：此題解題的重點是把遞推關(guān)系式an12an35n轉(zhuǎn)變?yōu)閍n15n12(an5n)，從而可知數(shù)列{an5n}是等比數(shù)列，從而求出數(shù)列{an5n}的通項公式，最后再求出數(shù)列{an}的通項公式。練習(xí)題1已知數(shù)列{an}知足an13an52n4，a11，求數(shù)列{an}的通項公式。練習(xí)題2已知數(shù)列{an}知足an12an3n24n5，a11，求數(shù)列{an}的通項公式。過關(guān)練習(xí)：1已知數(shù)列an中，a11，an12an3，求an2在數(shù)列an中，若a11,an12an3(n1)，則該數(shù)列的通項an_______________四、數(shù)學(xué)概括法例6已知數(shù)列{a}知足an1an8(n1)，a18，求數(shù)列{a}的通項公式。n(2n1)2(2n3)2n9解：由an1an8(n1)及a18(2n1)2(2n3)2，得9a2a18(11)88224(211)2(213)2992525a3a28(21)248348(221)2(223)225254949a4a38(31)488480(231)2(233)249498181由此可猜想an(2n1)21，往下用數(shù)學(xué)概括法證明這個結(jié)論。(2n1)2（1）當(dāng)n1時，a1(211)218，因此等式建立。(211)29（2）假定當(dāng)nk時等式建立，即ak(2k1)21，則當(dāng)nk1時，(2k1)2ak1ak8(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2[(2k1)21](2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)2[2(k1)1]21[2(k1)1]2由此可知，當(dāng)nk1時等式也建立。依據(jù)（1），（2）可知，等式對任何nN*都建立。評注：此題解題的重點是經(jīng)過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，從而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學(xué)概括法加以證明。其余種類種類4an1panqn（此中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)(q1)0)）。（或aparqn,此中p，q,r均為常數(shù)）。n1n解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn1an1p?an1引入?yún)f(xié)助數(shù)列，得：n1qqnqqbn（此中bnann），得：bn1pbn1再待定系數(shù)法解決。qqq課后練習(xí)題已知數(shù)列an中，a15,an11an(1)n1，求an。632種類5遞推公式為Sn與an的關(guān)系式。(或Snf(an))S1(n1)解法：這類種類一般利用anSn1(n與Sn2)anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn(n2)或與Snf(SnSn1)(n2)消去an進(jìn)行求解。課后練習(xí)題已知數(shù)列an前n項和Sn4an1.2n2（1）求