高中數(shù)學人教A版選修2-3課件1-3-2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質

1.3.2

“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質1.楊輝三角(a+b)n展開式的二項式系數(shù)在當n取正整數(shù)時可以表示成如下形式:上面的二項式系數(shù)表稱為“楊輝三角”.特點:(1)在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等.【思考1】

二項式系數(shù)表與楊輝三角中對應行的數(shù)值都相同嗎?提示:不是.二項式系數(shù)表中第一行是兩個數(shù),而楊輝三角的第一行只有一個數(shù).實際上二項式系數(shù)表中的第n+1行與楊輝三角中的第n行對應數(shù)值相等.【思考2】

觀察楊輝三角,歸納猜想出第幾行的各個數(shù)字都是奇數(shù)?提示:從表中可看出第一行、第二行、第四行、第八行……都是奇數(shù),歸納得出第2n-1行(n=1,2,3…)都是奇數(shù).【做一做1】

利用楊輝三角,將(a+b)7展開為

.

答案:a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7.2.二項式系數(shù)的性質

(3)各二項式系數(shù)的和.【做一做2】

在(a+b)8的展開式中,二項式系數(shù)最大的項為

,在(a+b)9的展開式中,二項式系數(shù)最大的項為

.

答案:70a4b4

126a5b4與126a4b5A.A>B B.A=BC.A<B D.不確定答案:B探究一探究二探究三規(guī)范解答與楊輝三角有關的問題例1

如圖所示,在楊輝三角中,斜線AB上方箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,…,記這個數(shù)列的前n項和為Sn,求S19.思路分析:由數(shù)列的項在楊輝三角中的位置,將項還原為二項式系數(shù),結合組合數(shù)的性質求和.當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答反思感悟解決與楊輝三角有關的問題的一般思路

當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答變式訓練1在“楊輝三角”中,從第2行開始,每一個數(shù)都是它“肩上”兩個數(shù)的和,它開頭幾行如圖所示.則在“楊輝三角”中,第

行會出現(xiàn)三個相鄰的數(shù),其比為3∶4∶5.

當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答解析:若第n行中含有三個連續(xù)項之比為3∶4∶5,則存在正整數(shù)k使得答案:62當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答求二項展開式中系數(shù)或二項式系數(shù)最大的項例2

已知(1+2x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等,求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.解得5≤k≤6.∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).∴系數(shù)最大的項為T6=1

792x5,T7=1

792x6.當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答反思感悟求展開式中系數(shù)的最值的方法(1)若展開式的系數(shù)的絕對值與對應二項式系數(shù)相等,可轉化為確定二項式系數(shù)的最值來解決.(2)若展開式的系數(shù)為f(r)=·mg(r)的形式.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展開式系數(shù)最大的項,一般是采用待定系數(shù)法,設展開式各項系數(shù)分別為A1,A2,…,An+1,且第r+1項系數(shù)最大,當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答(1)求該展開式中所有有理項的個數(shù);(2)求該展開式中系數(shù)最大的項.當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答二項式系數(shù)和問題例3已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:(1)a0+a1+a2+…+a5;(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;(3)a1+a3+a5.解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35.當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答引申探究

在本例條件下,求下列各式的值:(1)a0+a2+a4;(2)a1+a2+a3+a4+a5;(3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答解:(1)因為a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35.(2)因為a0是(2x-1)5展開式中x5的系數(shù),所以a0=25=32.又a0+a1+a2+…+a5=1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.(3)因為(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以兩邊求導數(shù)得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答反思感悟二項展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1),當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答變式訓練3在二項式(2x-3y)9的展開式中,求:(1)二項式系數(shù)之和;(2)各項系數(shù)之和;(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和.當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答與二項展開式的系數(shù)、二項式系數(shù)有關的計算

(1)二項式系數(shù)最大的項;(2)系數(shù)的絕對值最大的項.【審題策略】本題主要考查二項式的通項公式,二項式系數(shù)、項的系數(shù)以及項數(shù)和項的有關概念.【規(guī)范展示】解:由題意知,22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,∴2n=32,解得n=5.當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答【答題模板】第1步,利用二項式系數(shù)和的定義求出n.第3步,利用通項公式求解系數(shù)的絕對值最大的項滿足的條件.第4步,根據(jù)所求的范圍得出最大項,并寫出該項.失誤警示通過閱卷統(tǒng)計分析,造成失分的原因如下:(1)易將二項式系數(shù)和項的系數(shù)混淆,利用賦值來求二項式系數(shù)的和導致錯誤.(2)混淆項和項數(shù)、二項式系數(shù)和項的系數(shù)而出錯.當堂檢測探究一探究二探究三規(guī)范解答A.第19項

B.第17項C.第17項或第19項 D.第18項或第19項所以n=36,故第19項系數(shù)最大.

答案:A

當堂檢測1.(1-x)13的展開式中系數(shù)最小的項為(

)A.第6項 B.第7項C.第8項 D.第9項解析:展開式中共有14項,中間兩項(第7,8項)的二項式系數(shù)最大.由于二項展開式中二項式的系數(shù)和項的系數(shù)滿足:奇數(shù)項相等,偶數(shù)項互為相反數(shù),故系數(shù)最小的項為第8項,系數(shù)最大