考研高數(shù)全冊(cè)小結(jié)論老師

(1).sinx～x～tanx～ex1～ln[1x]～arcsinx～arctan(2).1cosx～ 2(4).ax1～xlnn(6).n1x1～n0x

ln

0|x| 2sinxxtan則limUVf(x)

2f(x)表示偶函數(shù) 表示奇函 klim 這里的包括和 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(記熟后解題快2(x)'2

(1)'1 x2

1)(n)

t

(t(

t (tx)

(tx) sinxx o(x) cosx1 o(x) e1x o(x) ln(1x)x o(x) tanxx arctanx

x3o(x3

(secx)(2n2)dx

(secx)2nd(tanx)(tanx)(2n1)

dcot dxtanx1cos

dxtanxsecxC 1sin n(sec

1tan2

nd(tan(tanx)dx(tan (secx)2dx(tan 1(tan n(csc (cotx)dx(cotx)(cscx)2dx(sinx)2dxx1sin2x

(cotx)nd(cotx)1(cotx)2 1arctanxCx2

|ln|x

|x2a2 2a xa arcsinxCa a2arcsinx ax

xadx

ln|2

| xa2

(acosbxbsinbx)a2

(asinbxbcosbx)Ca2b222S S'3wsinaa

aaa

0[f(x)

aa

(cos(sin

22 eu2du eaxdx1(a

0

(p0,w0)p20sin

p2

(p0,w

dx2關(guān)于三角函數(shù)定積分簡(jiǎn)化(注意：f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù) 2f(sinx)dx2f(cos 特別的2(sinxndx2(cosx f(sinx)dx22f(sinx)dx2 f(cos 特別的

(sinx)ndx220(sinx)ndx22(c0osx)0(cosx)ndx0

(n為奇數(shù)22(cosx)0

（n為偶數(shù)2(sinx)ndx0

(n為奇數(shù)42(sinx)0

（n為偶數(shù)2(cosx)ndx0

(n為奇數(shù)2(sinx)ndx

42(cosx)0 2(cosx)

（n為偶數(shù)2(sinx)ndx

n1n3n

nn2n n1n3n5.........1 nn2n xf(sinx)dxf(sin 2limn!nlimxlnxlimannf(x)

設(shè)f(x)=|x-a|g(x),其中g(shù)(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處可導(dǎo)顯然為12 (2 n2k且f(nx0f(x n2k且f(nx0f(x

若f

)f

)??f(n1)(x)0，f(n)(x)

,.設(shè)An1 則

1x2)～ (x 當(dāng)0nm 之和lim

)

其中有無窮多個(gè)n n

(其中n,k1,2,顯然1n2n

??

arctanxarctan1 ,0t

t

t2

a 結(jié)論：當(dāng)b 2 (aa a

)dx211 則af(x)dxaf(ab f(x)dx1 f(ab[[ 2 00f(x)dxf(b0 bf(x)dx12b[f(x)f(b 若f(x)在[a,b]上可積,f(x)dx

f(

1[f(x) 0 f2

2

f( f（x）f（x）的原函有極限 可微 有定義

f(sinx)dx

2f(sinx)dx b b

bn為偶 bn為偶 b若f(x)bbb

bbbb

若f(-

22例

2 22acosad a 例

自己體會(huì)一下，為什么=0+0若P(-若P(-x,y)=-

L例 L 由于圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，則I0若P(-

LL若P(-x,y)=-

例 I L例 I 解：I

|x||

是x0,

2例 例

,

2是中x0當(dāng)f(-x,y,z)=-f(x,y,z)

2

例 I 25 25 2例 , 例 D 2 例 I

設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，對(duì)坐標(biāo)x,y 例 求(xyz)dv,為x0,y0,z0,x2y2z2

3 2 例 L,Lx32Ix32

3y3

332 2 332F例 F 1 1

1

故?(xz)ds3?(xyz)ds3?(xyz)ds3 輪換對(duì)稱性，f(xy)在L上連續(xù)，則： + 例 LL L L L在 例 解：x2dsy2ds I(x21y21z2)ds(111) 4(111)1(x2y2z2)ds7 43 例 解：xdsyds 在 例 (y 所以I例 limf(x) f(x)

xx

f(1

limf(hsinh)存 用(1)檢驗(yàn)AC,用(2)檢驗(yàn)D,答案為lim(1)若～ ～' lim

(2)若','且lim,T

若lima 則lima1a2?ann 若lima且a 則 n

n若liman且a 則 n

但要注意：若 且a0，不能推出liman

必在函數(shù)y上不一定都在函數(shù)y上階乘不等式在極限證n

為自然數(shù)，則(e

e()應(yīng)用：證明limnn

證明: ,n時(shí) 0l

na0,0

an||

|()n

|a|e

|a|e 0, ) limannn(np(yf(x)滿足f(a)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)limf(xlim yf(x)滿足區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)區(qū)間(a,b)內(nèi)F'(x

f(b)f(a)ba)

fx.P(x是既約真分式，Q(x)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)可以分解為(xa)n(xa)n?(xa)n, 11

[ P(x [

b 2? ? (xa 2? ? bbbbbb

?]?

b 其中bj(i1,2,?r;j12,?n

,且bjifj1 (xa)n1(xa)n2?(xa)ni1(xa)ni1?(xa (

,則f(1) f(x3x則f'(1)3,f(1) = 4x (x 例

,f(0)7 (x1)(x f(x)2x7 f(1) f(x)2x7

f(3) =7 12(x例 分成部分分(x1)(x

f

,f2(2)24,f2'(2)12, 9x324x248x1 (x1)(x f(x) a

a 2xln(1

2xx2xxxx22exln(122e

1 1

1

21 1

2 1b , (ba2(xa ,

1

ba

a

00 2bb 函數(shù)序列一：u0,u1,u2函數(shù)序列一：uxn,unxn1,?u

求(x32x3)s