一元多項式因式分解的幾種常用方法

一元多項式因式分解的幾種常用方法

1建立問題型的無理根對于方程f（x）=anxn和an-1xn-1，l，a1x和a0的多元平均值，首先考慮使用綜合去除法分解未知數(shù)。例1對多項式25x3-15x2-23x+5進行因式分解解:多項式最高次項系數(shù)25的因子有±1,±5,±25,常數(shù)項5的因子有±1,±5,所以這個多項式的根有可能是±1?±15?±125?±5。逐一檢驗,得出15是多項式的有理根。根據(jù)綜合除法,所以,原式=(x-15)(25x2-10x-25)=(5x-1)(5x2-2x-5)綜合除法雖然可以分解出一元多項式的整因式,但是有時需要試驗的因子很多,而對每個因子都要做一次相應(yīng)的綜合除法,這給計算增加了一些麻煩。2prs-1sx二元因式數(shù)域P上任一次數(shù)大于0的多項式f(x)都有惟一的標準分解式:f(x)=apr11(x)pr22(x)LPrss(x)(*)其中a為f(x)的首項系數(shù),p1(x),Lps(x)是P上首項系數(shù)為1的不可約多項式且兩兩互異,r1,r2,L,r5都是正整數(shù)。對(*)式兩邊求導,得:f′(x)=a·g(x)·pr1-11(x)pr2-12(x)Lprs-1s(x)其中每個p1(x)都不能整除g(x)。我們還可以得到:(f(x),f′(x))=pr1-11(x)pr2-12(x)Lprs-1s(x)則存在q(x)=ap1(x)p2(x)Lps(x),使f(x)=(f(x),f′(x))q(x),由此可見q(x)和f(x)具有完全相同的因式,差別只是q(x)中的因式的重數(shù)為1,所以求f(x)的因式就可以轉(zhuǎn)化成求q(x)的因式。例2求f(x)=x5-10x3-20x2-15x-4的標準分解式解:f′(x)=5x4-30x2-40x-15,(f(x),f′(x))=x3+3x2-3x+1=(x+1)3,得q(x)=f(x)f(f(x)?f′(x))=x2-3x-4=(x-4)(x+1),所以,f(x)=(f(x),f′(x))q(x)=(x+1)4(x-4)這種分解因式的方法很實用,就是把原多項式轉(zhuǎn)化成新的多項式進行分解,新的多項式都是次數(shù)較小,比較容易因式分解的,一般中學的方法就可以了。求(f(x),f′(x))用輾轉(zhuǎn)相除法,求用帶余除法。3將原式中的二元原式轉(zhuǎn)化為成添加形式的二階行列式在高等代數(shù)中,行列式是一個較好的工具,我們可以巧妙地運用行列式的相關(guān)性質(zhì)對一些多項式進行因式分解。我們知道二階行列式|a11a12a21a22|=a11a22-a12a21,由此啟發(fā),可以將一個多項式F表示成2個新的多項式的差,而每個新的多項式又可表成2個多項式的乘積,即F=MN-PQ,于是F=|ΜΡQΝ|,也就是把多項式F轉(zhuǎn)換成二階行列式的形式,然后再對這個二階行列式進行初等變換,提出因式。例3對多項式x4-6x3+x2-24x-20進行因式分解解∶原式=x2(1+6x+x2)-4(5+6x)=|x25+6x41+6x+x2|=|x2-44-x241-6x+x2|=(x2-4)|1-141+6x+x2|=(x2-4)(x2+6x+5)=(x+2)(x-2)(x+1)(x+5)x4+6x3+x2-24x-20轉(zhuǎn)化為|x25+6x41+6x+x2|,而不是其它的形式,是為了在接下來的初等變換中,提出因子(x2-4)。這種化為二階行列式進行因式分解的方法技巧性較強,關(guān)鍵在于如何把原多項式轉(zhuǎn)換成恰當?shù)亩A行列式,操作有點難度,不便通用。下面介紹一種比較一般的方法:對任意的一元n次多項式P(x)=anxn+an-1xn-1+L+a1x+a0均可寫成n階行列式的形式Ρ(x)=|x-10L000x-1L00000Lx-1a0a1a2Lan-2anx+an-1|在此基礎(chǔ)上,利用行列式性質(zhì),通過降階和提取公因式的方法分解。例4對多項式f(x)=5x4+24x3-15x2-118x+24進行因式分解解∶f(x)=|x-1000x-1000x-124-118-155x+24|=|x-1000x-1000x-124-1185x2+24x-150|=|x-100x-124-1185x2+24x-15|=(5x-1)|x5x-150x1242x+5|=-(5x-1)|x-124-x2-5x+2|=3(5x-1)|x1813(x2+5x-2)|=3(5x-2)|x13x+1813x2+53x+23|=(5x-1)|xx+38(x+3)(x+2)|=(x+3)(5x-1)|x18x+2|=(x+3)(5x-1)(x+4)(x-2)4求各單位根的標準分解式復數(shù)1的n次方根,即多項式f(x)=xn-1的n個復根,稱為n次單位根。n次單位根是εk=cos2kπn+isin2kπn(k=0?1?2?L?n-1)單位根在復數(shù)域中具有特殊的地位,具有許多獨特的性質(zhì)。下面我們利用它來求多項式f(x)=xn-1+xn-2+L+x+1在復數(shù)域、實數(shù)域或有理數(shù)域上的標準分解式。例5求f(x)=x7+x6+L+x2+x+1在實數(shù)域上的標準分解式解:因為(x-1)f(x)=x8-1,所以先求x8*-1在實數(shù)域上的標準分解式。x8-1的8次單位根是ε0=cos0+isin0=1ε1=cosπ4+isinπ4=√22+√22iε2=cosπ2+isinπ2=iε3=cos3π4+isin3π4=-√22+√22iε4=cosπ+isinπ=-1ε5=cos5π4+isin5π4=-√22-√22iε6=cos3π2+isin3π2=-iε7=cos7π4+isin7π4=√22-√22i其中ε0,ε4是實根,其余都是虛根,ε1與ε7共軛,ε2與ε6共軛,ε3與ε5共軛。又由于ε1+ε7=√2?ε1?ε7=1?ε2+ε6=0?ε2?ε6=1?ε3+ε5=-√2?ε3?ε5=1,所以在實數(shù)域上,x8-1=∏i=07(x-εi)=(x+1)(x-1)(x2+1)(x2-2x+1)(x2-2x+1)從而得到f(x)在實數(shù)域上的標準分解式為:f(x)=(x2+1)(x+1)(x2+2x+1)(x2-2x+1)值得注意的是,利用單位根分解因式的方法局限性很大,僅適