等比數(shù)列的通項及性質(zhì)5大題型總結(jié)（解析版）

第4講等比數(shù)列的通項及性質(zhì)5大題型總結(jié)【考點預(yù)測】一．等比數(shù)列的有關(guān)概念（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達式為．（2）等比中項：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即是與的等比中項?，，成等比數(shù)列?．二．等比數(shù)列的通項公式（1）等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．推廣形式： 三．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比中項的推廣．若時，則，特別地，當(dāng)時，．（2）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．②若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定）．當(dāng)或時，為遞增數(shù)列；當(dāng)或時，為遞減數(shù)列．（4）若為正項等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．（5）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．（6）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．【題型目錄】題型一：等比數(shù)列的通項公式基本運算題型二：等比中項問題題型三：等比數(shù)列通項下標(biāo)的性質(zhì)及應(yīng)用題型四：等比數(shù)列的單調(diào)性題型五：等比數(shù)列通項新文化試題【典型例題】題型一：等比數(shù)列的通項公式基本運算【例1】（2023·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高三階段練習(xí)）等比數(shù)列中，，．則的公比q為（

）A．2 B．2或 C． D．3【答案】B【解析】由題意，故選：B【例2】（2023·陜西·安康市教學(xué)研究室二模（理））在數(shù)列中，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知確定數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得結(jié)論．【詳解】∵，∴，．是公比為的等比數(shù)列，∴．故選：B．【例3】（2023·廣東汕頭·高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則使得成立的正整數(shù)的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】應(yīng)用等比數(shù)列通項公式求基本量可得，再由求正整數(shù)的范圍，即可得答案.【詳解】若等比數(shù)列的公比為，且，由題設(shè)，兩式相除得，則，所以，故，顯然時不成立，所以且，，即，則，故正整數(shù)的最小值為10.故選：C【例4】（2023·甘肅·永昌縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若數(shù)列滿足，則稱為“對奇數(shù)列”．已知正項數(shù)列為“對奇數(shù)列”，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，進而可得為等比數(shù)列，再求得通項公式即可.【詳解】由題意得，所以，又，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以．故選：D．【例5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，數(shù)列滿足，，，則數(shù)列前n項和的最大值等于（

）A．126 B．130 C．132 D．134【答案】C【分析】由等比數(shù)列通項公式求得后可得，得是等差數(shù)列，求出的解后可得取最大值時的值，再計算可得．【詳解】由已知，，所以的公比為，，，，，，是等差數(shù)列，公差為，，則，所以的前項和的最大值為故選：C．【例6】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將兩邊同時取常用對數(shù)，即可得數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而求得數(shù)列的通項公式.【詳解】易知，且，在的兩邊同時取常用對數(shù)，得，故，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故選:C．【例7】（2022·北京西城·高二期末）在等比數(shù)列{}中，．記，則數(shù)列{}（

）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】A【分析】首先求得數(shù)列的通項公式，再運用等差數(shù)列的求和公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得選項.【詳解】設(shè)等比數(shù)列為q，則等比數(shù)列的公比，所以，則其通項公式為：，所以，令，所以當(dāng)或時，t有最大值，無最小值，即有最大值，無最小值，結(jié)合前面，當(dāng)為正數(shù)時，為正數(shù)，當(dāng)為負數(shù)時，為負數(shù)，所以當(dāng)時，有最小項，當(dāng)時，有最大項.故選：A.【例8】（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在正項等比數(shù)列中，若存在兩項，使得，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項公式求得，結(jié)合進行討論求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比，（其中），因為，可得，即，解得或（舍去）又因為，所以，即，所以，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；綜上所述，的最小值為.故選：A.【例9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列中，，，，則下列說法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)給定的遞推公式，探討數(shù)列的特性，再逐項計算判斷作答.【詳解】，，，即，則，A正確；顯然有，于是得，因此數(shù)列，分別是以1，2為首項，2為公比的等比數(shù)列，B正確；于是得，，則，，C正確，D不正確.故選：ABC【例10】（2022·全國·高二單元測試）已知數(shù)列滿足，，則______．【答案】【分析】令，則，即數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，求出的通項公式即可求出.【詳解】因為，且，所以令，則，即數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，故．故答案為：.【題型專練】1．（2022·安徽省皖西中學(xué)高二期末）已知等比數(shù)列的公比，則（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】利用等比數(shù)列通項公式化簡求解即可.【詳解】解：因為等比數(shù)列的公比，所以.故選：B.2．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．12 B．24 C．32 D．48【答案】D【分析】根據(jù)是等比數(shù)列，且滿足，，計算出其通項公式，然后代入計算即可.【詳解】是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則由，得：，解得，，.故選：D.3．（2022·福建省寧德第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，，則（

）A．6 B． C． D．【答案】A【分析】求出公比，進而利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算出.【詳解】設(shè)公比為，則，所以，故選：A4．（2022·四川·射洪中學(xué)高二開學(xué)考試）已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A．18 B．24 C．30 D．42【答案】C【分析】由等比數(shù)列的通項公式求得公比，然后再由通項公式計算．【詳解】設(shè)的公比為，則，解得（負值舍去），所以．故選：C．5．（2022·山東泰安·三模）已知數(shù)列滿足：對任意的m，，都有，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由遞推關(guān)系判斷數(shù)列為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列通項公式求.【詳解】因為對任意的m，，都有，所以，，又，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，故選：C.6．（2022·安徽省宣城市第二中學(xué)高二期末）已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，存在兩項，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的知識求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】因為，所以或，又，所以.由可知：，所以，則，，由可得取等號時，但，無解；又，經(jīng)檢驗且時有最小值.故選:B7.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列滿足，若存在、，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，解得，因為，則，，可得，由已知、，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列滿足.則通項公式________．【答案】【分析】把數(shù)列的項，分別用表示出來，列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)的公比為，則.由已知得，解得，，所以的通項公式為.故答案為:故答案為：9．（2022·福建省寧德第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在正項等比數(shù)列中，，，則通項公式________．【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），然后根據(jù)題意列方程組可求出，從而可求出其通項公式.【詳解】由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為（），，因為，，所以，由，得，所以，或（舍去），所以將代入，得，即，解得或（舍去），所以，所以，故答案為：10．（2022·河南省葉縣高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則______.【答案】6【分析】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，由題意可得到，能求出和，即可求出答案【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，由題意可得即，易得，所以兩式相除，解得，將代入可得，所以，故答案為：611．（2022·浙江省淳安中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且.則數(shù)列___________.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義與等差數(shù)列定義，可得答案.【詳解】是等比數(shù)列，且，公比，且，即；，解得，是等差數(shù)列，且，公差，且，故答案為：.12．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的公比，則__________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列的首項及公比即可求解作答.【詳解】在等比數(shù)列中，，由得：，即有，因，則，即有，解得，，，所以.13．（2021·四川成都·高一期末）已知數(shù)列滿足則___.【答案】1024【分析】由可得，從而可得數(shù)列是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列，可求出通項公式，進而可求出【詳解】因為所以，所以數(shù)列是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故答案為：102414．（2022·廣西·模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列滿足，則___________.【答案】16【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)差的性質(zhì)求解即可.【詳解】.故答案為：1615．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若、分別為等差數(shù)列的第3項和第5項，問是不是數(shù)列中的項？若是，求出是第幾項；若不是，說明理由，【答案】(1)(2)是，第45項【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式可求出結(jié)果；（2）求出等差數(shù)列的通項公式即可得到答案（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，得，所以；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，,,則，所以因為，所以是數(shù)列中第45項題型二：等比中項問題【例1】（2022·上?！とA師大二附中高一期末）“”是“G是a、b的等比中項”的（

）條件A．既不充分也不必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．充要【答案】A【分析】分別舉反例判斷充分與必要條件是否滿足即可【詳解】當(dāng)時，滿足，不滿足G是a、b的等比中項；當(dāng)G是a、b的等比中項，如，但不滿足，故“”是“G是a、b的等比中項”的既不充分也不必要條件故選：A【例2】（2022·海南·高二期末）和的等差中項與等比中項分別為（

）A．， B．2， C．， D．1，【答案】C【分析】根據(jù)等差中項和等比中項的概念分別求值即可.【詳解】和的等差中項為，和的等比中項為.故選：C.【例3】（2021·寧夏六盤山高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若四個正數(shù)成等差數(shù)列，是和的等差中項，是和的等比中項，則和的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，列式，結(jié)合基本不等式，即可比較大小.【詳解】由條件可知，，，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.故選：B【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若不為1的正數(shù)a，b，c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當(dāng)時，，，（

）．A．依次成等差數(shù)列 B．依次成等比數(shù)列C．各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列 D．各項的倒數(shù)依次成等比數(shù)列【答案】C【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)可得，可得當(dāng)時，，結(jié)合對數(shù)運算，即可判斷答案.【詳解】由題意可知不為1的正數(shù)a，b，c依次成公比大于1的等比數(shù)列，即，故當(dāng)時，，即，故，，各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列，故選：C【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則和的等比中項為________．【答案】【分析】根據(jù)等比中項的知識求得正確答案.【詳解】設(shè)與的等比中項為，因為，所以，所以.故答案為：2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）方程兩根的等比中項是______．【答案】【分析】利用韋達定理兩根，即可求等比中項【詳解】由題，，存在不等兩根.由韋達定理，兩根，故兩根的等比中項為.故答案為：3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若依次成等差數(shù)列的三個實數(shù)a，b，c之和為12，而a，b，又依次成等比數(shù)列，則a＝______．【答案】2或8【分析】由題意列出方程組，即可求得答案.【詳解】由題意可得，整理得，解得或，故答案為：2或84.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在3和9之間插入兩個正數(shù)后，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個正數(shù)之和為（

）A． B． C． D．10【答案】B【解析】不妨設(shè)插入兩個正數(shù)為，即∵成等比數(shù)列，則成等差數(shù)列，則即，解得或（舍去）則故選：B．題型三：等比數(shù)列通項下標(biāo)的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】（2022·廣東·汕頭市達濠華僑中學(xué)高三階段練習(xí)）若等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，則等于（

）A． B．1011C． D．1012【答案】C【分析】利用韋達定理、等比數(shù)列的性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解.【詳解】因為等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，所以，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知，，因為，于是，則==.故A，B，D錯誤.故選：C.【例2】（2022·陜西西安·三模（文））已知為等比數(shù)列，，，則（

）A．1 B．-1 C．1或-8 D．-8【答案】C【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合已知解方程組即可計算作答.【詳解】在等比數(shù)列中，，因此，解得或，顯然，，則當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，所以的值是1或-8.故選：C【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比，且，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，設(shè)，，，則A，B，C成等比數(shù)列，然后利用等比中項的性質(zhì)可求得答案【詳解】設(shè)，，，則A，B，C成等比數(shù)列，公比為，且,由條件得，所以，所以，所以.故選：B【例4】（2022·山東菏澤·一模）已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且滿足：，，記，則使得的最小正數(shù)n為（

）A．36 B．35 C．34 D．33【答案】B【分析】先由已知條件判斷出的取值范圍，即可判斷使得的最小正數(shù)n的數(shù)值.【詳解】由得：，.，又，，，，則使得的最小正數(shù)n為35.故選：B.【例5】（2022·湖北·天門市教育科學(xué)研究院高二期末）已知等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，且滿足，，，則（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最小正整數(shù)的值為4042【答案】C【分析】對于A，分，和結(jié)合已知條件分析判斷，對于B，由已知條件可得，再結(jié)合等比中項判斷，對于C，由已知條件可得，，，從而可得結(jié)論，對于D，由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析判斷【詳解】∵，∴，或，又，若，則與矛盾，若，則，與矛盾，則，，，∴A錯誤∴，∴B錯誤，∵且，∴的值是中最大的，∴C正確，∵，，∴使成立的最小正整數(shù)的值為4043，∴D錯誤.故選：C【例6】（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列滿足，且，則（

）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】B【分析】根據(jù)給定條件利用等比數(shù)列性質(zhì)結(jié)合累乘法求數(shù)列通項的方法計算作答.【詳解】因為是等比數(shù)列，于是有，而，則有，所以.故選：B【例7】（2022·全國·高二課時練習(xí)）兩個公比均不為的等比數(shù)列，其前項的乘積分別為，若，則()A．512 B．32 C．8 D．2【答案】A【分析】直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡,再代入即得解.【詳解】由題得.故答案為A.【點睛】(1)本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)等比數(shù)列中，如果,則,特殊地，時，則，是的等比中項.【例8】（2022陜西省商丹高新學(xué)校高二期中（文））已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等比數(shù)列和等差數(shù)的性質(zhì)先求出和的值，從而可求出的值【詳解】解：因為數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，，，所以，，所以，，所以，，所以，故選：A【點睛】此題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查三角函數(shù)求值，屬于中檔題【例9】（2023·全國·高三專題練習(xí)多選題）已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則（

）A． B．當(dāng)時，最小C．當(dāng)時，最小 D．存在，使得【答案】AC【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)、單調(diào)性及不等式的性質(zhì)可對每一個選項進行判斷，即可解出.【詳解】對A，∵，，∴，又，，∴，故A正確；對B，C，由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故，，，∴，∵，，，∴，，∴，故當(dāng)時，最小，B錯誤，C正確；對D，當(dāng)時，，故，故D錯誤.故選：AC．【例10】（2022·湖南懷化·一模多選題）設(shè)是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項的積，且，則下列選項中成立的是（

）A． B． C． D．與均為的最大值【答案】ABD【分析】結(jié)合等比數(shù)列的定義利用數(shù)列的單調(diào)性判斷各選項．【詳解】由已知數(shù)列各項均為正，因此乘積也為正，公比，又，，，B正確；，，即，A正確；由得，，所以，而，，因此，C錯；由上知，先增后減，與均為的最大值，D正確．故選：ABD．【題型專練】1．（2022·安徽省蚌埠第三中學(xué)高二開學(xué)考試）已知為等比數(shù)列，，則（

）A．1或8 B．或8C．1或 D．或

【答案】C【分析】由為等比數(shù)列，可得，再結(jié)合，可求出，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，可求出，即可求出答案.【詳解】解：為等比數(shù)列，，，解得或，當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；故選：C.2．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，則的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可得，再把所求的式子用等比數(shù)列性質(zhì)化成用表示即可得解.【詳解】因數(shù)列是正數(shù)組成的等比數(shù)列，則，所以.故選：C3．（2022·四川省廣漢中學(xué)高一階段練習(xí)（理））已知遞增等比數(shù)列，，，，則（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)、定義、通項公式計算求解即可.【詳解】因為遞增等比數(shù)列中，所以，又，解得，所以，解得，所以，故選：D4．（2021·貴州師大附中高一階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．5 B．7 C．－5 D．－7【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可以求出的值，連同已知，可以求出的值，進而求出首項和公比，分類求出的值．【詳解】等比數(shù)列有，而，聯(lián)立組成方程組，，解得或，設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時，解得，；當(dāng)時，解得，；故選：D5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在正項等比數(shù)列中，若，，則公比（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得出關(guān)于、的方程組，進而可求得等比數(shù)列的公比.【詳解】由得，即．，又，解得或，，或．故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵就是利用等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)建立有關(guān)、的方程組，通過求出、的值，結(jié)合等比數(shù)列的基本量來進行求解.6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）正項等比數(shù)列中，，且與的等差中項為，則的公比是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得，由已知條件可得出，可得出關(guān)于、的方程組，進而可求得等比數(shù)列的公比的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意可知，對任意的，，由，即，，由于與的等差中項為，則，所以，，解得.故選：D.【點睛】本題考查等比數(shù)列基本量的計算，同時也考查了等比數(shù)列基本性質(zhì)以及等差中項的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.7．（2018·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)）等比數(shù)列滿足且，則當(dāng)時，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件可先求出，進而可判斷數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式即可求解.【詳解】是等比數(shù)列，且，，，，，可知數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，.故選：B.【點睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列前n項和的求解，屬于基礎(chǔ)題.8．（2021·江西·模擬預(yù)測（理））在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是（

）A．25 B． C．5 D．【答案】B【分析】是等比數(shù)列，且，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，又，求出.又，結(jié)合基本不等式可求的最大值.【詳解】是等比數(shù)列，且，.又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式，屬于中檔題.9．（2022·全國·高二課時練習(xí)多選題）在等比數(shù)列中，，，則可能為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由已知求得或再分兩種情況討論得解.【詳解】解：由題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，又，解得或若則，此時；若則，此時．故選：AB．10．（2022·遼寧·沈陽二中高二階段練習(xí)多選題）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前項和為，若，，則（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意得，，再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)依次求解即可得答案.【詳解】解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，所以，即，，即，對于A選項，，故正確；對于B選項，，所以，故錯誤；對于C選項，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故正確；對于D選項，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故正確；故選：ACD11．（2022·湖北襄陽·高三階段練習(xí)多選題）在正項等比數(shù)列中，，則（

）A． B．的最小值為1C． D．的最大值為4【答案】AB【分析】AB選項，先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，再利用基本不等式進行求解，C選項，先得到，結(jié)合指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和基本不等式進行求解；D選項，平方后利用基本不等式，結(jié)合進行求解.【詳解】正項等比數(shù)列中，，故，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，故A正確；，，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，，時等號成立，此時公比滿足題意，B正確；因為單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時，等號成立，C錯誤；因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，且，解得：，所以，即的最小值為4，故D錯誤.故選：AB12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則______．【答案】31【分析】設(shè)，則，利用等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解，【詳解】設(shè)，則，所以．故答案為：3113．（2022·四川省通江中學(xué)高二期中（文））若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則___________.【答案】2022【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)化簡得到，由對數(shù)的運算即可求解.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以，即，所以故答案為：202214．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是__．【答案】【分析】根據(jù)題意，將變形可得，又由基本不等式的性質(zhì)可得，計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即公比為1時等號成立，故的最大值是.故答案為：.15．（2021·福建省福州格致中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且______．【答案】400【分析】根據(jù)同底數(shù)對數(shù)的加法運算，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)若則，即可將上式化為，再根據(jù)即可得出答案.【詳解】解：.故答案為：400.16．（2021·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）在正項等比數(shù)列中，若，則___________.【答案】9【解析】先由，利用性質(zhì)計算出，然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】∵為正項等比數(shù)列，∴若都有∴又，∴即，∴∴=2+2+2+2+1=9故答案為：9【點睛】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換和靈活運用性質(zhì)．17．（2021·福建·莆田華僑中學(xué)高三階段練習(xí)）等比數(shù)列中，且，則_______【答案】5【解析】利用等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可知，再進行化簡即可求解出結(jié)果.【詳解】，又等比數(shù)列中，，，故答案為：5．【點睛】本題考查等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)的運用，難度一般.已知是等比數(shù)列，若，則有.18．（2021·全國·高二）已知數(shù)列滿足，且，則________.【答案】100【分析】根據(jù)得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，所以【詳解】解：∵，∴，∴∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，又∵，∴，∴.故答案為：100【點睛】本題考查對數(shù)運算，等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題.題型四：等比數(shù)列的單調(diào)性【例1】（2022·上海·華師大二附中高三開學(xué)考試）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】利用特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若且，則，所以，，則，所以，“”“”；另一方面，取，則，但，即“”“”.因此，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【例2】（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高二期中）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則為遞增數(shù)列的充要條件是（

）A．， B．，C． D．【答案】C【分析】分析可知，分、兩種情況討論，結(jié)合遞增數(shù)列的定義求出對應(yīng)的的取值范圍，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，若，則數(shù)列為擺動數(shù)列，與題意不符，所以，.①若，則對任意的，，由可得，即；②若，則對任意的，，由可得，此時.所以，為遞增數(shù)列的充要條件是，或，

，當(dāng)，時，，則；當(dāng)，時，，則.因此，數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是.故選：C.【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)多選題）關(guān)于遞增等比數(shù)列，下列說法正確的是（

）．A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．【答案】AC【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，逐個選項進行判斷即可求解【詳解】A．當(dāng)，時，從第二項起，數(shù)列的每一項都大于前一項，所以數(shù)列遞增，正確；B．當(dāng)，時，為擺動數(shù)列，故錯誤；C．當(dāng)，時，數(shù)列為遞增數(shù)列，故正確；D．，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，，故錯誤故選AC．【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)多選題）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，數(shù)列的前n項積為，則（）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增 B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減C．的最大值為 D．的最小值為【答案】BC【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式先求出公比q，進而可求通項公式，然后結(jié)合選項即可判斷．【詳解】等比數(shù)列{an|的各項均為正數(shù)，，，所以，即，又q＞0，解得q或q＝-1（舍），所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，A錯誤，B正確；則，易得：，，所以的最大值為，C正確，D錯誤．故選：BC．【例5】（2022·天津·一模）在等比數(shù)列中，公比是，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性舉出反例，如，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時，則，因為，所以，所以，故，所以不能推出，當(dāng)時，則，由，得，則，所以，所以不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【題型專練】1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）等比數(shù)列中，首項，則數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列的條件是公比滿足（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比數(shù)列通項公式可表示出；分別在和的情況下進行分析得到結(jié)果.【詳解】由題意得：，，為嚴格遞增數(shù)列，，又，；當(dāng)，即時，只需恒成立，；當(dāng)，即時，，不合題意；綜上所述：公比滿足.故選：C.2．（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比數(shù)列，下列選項能判斷為遞增數(shù)列的是(

)A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)性的性質(zhì)逐項分析即可．【詳解】對于A，，，則單調(diào)遞減，故A不符題意；對于B，，，則會隨著n取奇數(shù)或偶數(shù)發(fā)生符號改變，數(shù)列為擺動數(shù)列，故B不符題意；對于C，，，則為常數(shù)數(shù)列，不具有單調(diào)性，故C不符題意；對于D，，，∵，y=在R上單調(diào)遞減，故為遞增數(shù)列，故D符合題意．故選：D﹒3．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知等比數(shù)列的公比為q．若為遞增數(shù)列且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列通項公式確定公比的范圍即可.【詳解】由題意，，又，∴要使為遞增數(shù)列，則，當(dāng)時，為遞增數(shù)列，符合題設(shè)；當(dāng)時，為遞減數(shù)列，符合題設(shè)；故選：C.4．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）等比數(shù)列的公比為，則“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【分析】結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】若，，則，，充分性不成立；反過來，若，，則時，必要性不成立；因此“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的既不充分也不必要條件.故選：D．5．（2021·江蘇·高二課時練習(xí)）等比數(shù)列滿足如下條件：①；②數(shù)列單調(diào)遞增，試寫出滿足上述所有條件的一個數(shù)列的通項公式________.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】滿足上述所有條件的一個數(shù)列的通項公式.故答案為：(答案不唯一)題型五：等比數(shù)列通項新文化試題【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了4個伙伴；第2天，5只蜜蜂飛出去，各自找回了4個伙伴，……按照這個規(guī)律繼續(xù)下去，第20天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（

）A．420只 B．520只 C．只 D．只【答案】B【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……按照這個規(guī)律每天的蜜蜂數(shù)構(gòu)成以為5首項，公比為5的等比數(shù)列則第天的蜜蜂數(shù)第20天蜜蜂都歸巢后，蜂巢中共有蜜蜂數(shù)故選：B．【例2】（2022·湖南岳陽·高二期末）十九世紀下半葉，集合論的創(chuàng)立奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間［0，1］平均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間分別平均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…；如此這樣．每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別平均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”，若去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值