山西省運(yùn)城市高中聯(lián)合體高三4月份模擬測(cè)試文科數(shù)學(xué)試卷

2021年山西省運(yùn)城市高中聯(lián)合體高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（4月份）一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知角θ的終邊過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），＝（）A． B． C．﹣1 D．13．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的ε為0.001，則輸出S的值等于（）A． B． C． D．4．如圖是某公司10個(gè)銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量（單位：臺(tái)）的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30）內(nèi)的概率為（）5．已知函數(shù)f（x）＝，則f（2021）＝（）A． B．2e C． D．2e26．已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．27．若a＞0，b＞0，a+2b＝1，則+的最小值為（）A．8 B．6 C．12 D．98．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．29．已知函數(shù)f（x）＝8sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期為π，若f（x）在[﹣，]上單調(diào)遞增，在[，]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[π，π] B．[π，π] C．[，] D．[﹣，π]10．大擺錘是一種大型游樂(lè)設(shè)備（如圖），游客坐在圓形的座艙中，面向外，通常大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險(xiǎn)，座艙旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，懸掛座艙的主軸在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下做單擺運(yùn)動(dòng)．假設(shè)小明坐在點(diǎn)A處，“大擺錘”啟動(dòng)后，主軸OB在平面α內(nèi)繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)，平面α與水平地面垂直，OB擺動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)A在平面β內(nèi)繞點(diǎn)B作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持OB⊥β，B∈β．設(shè)OB＝4AB，在“大擺錘”啟動(dòng)后，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)A在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng) B．β與水平地面所成銳角記為θ，直線OB與水平地面所成角記為δ，則θ+δ為定值 C．可能在某個(gè)時(shí)刻，AB∥α D．直線OA與平面α所成角的正弦值的最大值為11．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將在2022年02月04日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．同時(shí)中國(guó)也成為第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿貫”（先后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)、青奧會(huì)、冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)）國(guó)家．根據(jù)規(guī)劃，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥巢）成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場(chǎng)館．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)f（x）＝，函數(shù)g（x）滿足以下三點(diǎn)條件：①定義域?yàn)镽；②對(duì)任意x∈R，有g(shù)（x+π）＝2g（x）；③當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，g（x）＝sinx．則函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）在區(qū)間[﹣4π，4π]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題（共4小題）.13．如果復(fù)數(shù)（a∈R）為實(shí)數(shù)，則a＝．14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．15．明朝著名易學(xué)家來(lái)知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說(shuō)明一年之氣象，來(lái)氏認(rèn)為“萬(wàn)古之人事，一年之氣象也，春作夏長(zhǎng)秋收冬藏，一年不過(guò)如此”．如圖是來(lái)氏太極圖，其大圓半徑為4，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對(duì)稱的，若在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在黑色區(qū)域的概率為．16．《九章算術(shù)》是古代中國(guó)的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘歐幾里得的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．《九章算術(shù)》卷五記載：“今有芻甍（音：芻chú甍méng），下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈．問(wèn)積幾何？”譯文：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚wPQ﹣ABCD，下底面ABCD是矩形，假設(shè)屋脊沒(méi)有歪斜，即PQ中點(diǎn)R在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心點(diǎn)O，PQ∥AB，AB＝4，AD＝3，PQ＝2，OR＝1（長(zhǎng)度單位：丈）．則楔體PQ﹣ABCD的體積為（體積單位：立方丈）．三、解答題：本大題共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.（一）必考題：共60分.17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求A；（2）若b﹣c＝4，△ABC的外接圓半徑為2，△ABC的邊BC上的高h(yuǎn)．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，M為PC上一點(diǎn)，MC＝2PM．（Ⅰ）證明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD＝2，PD＝3，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．19．為研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所將所研制的某型號(hào)疫苗用在小白鼠身上進(jìn)行科研和臨床試驗(yàn)，得到如表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：未感染病毒感染病毒總計(jì)未注射疫苗40px注射疫苗60qy總計(jì)100100200現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為．（1）能否有99.5%的把握認(rèn)為注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只進(jìn)行病理分析，然后從這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只對(duì)注射疫苗的情況進(jìn)行核實(shí)，求恰有1只為注射過(guò)疫苗的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k020．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的焦距為2，點(diǎn)M（）在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且直線OP，PQ，OQ的斜率之和為0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．①求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；②求△OPQ面積的最大值．21．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣x﹣axln（x+1）﹣1．（Ⅰ）若a＝0，求f（x）的最小值；（Ⅱ）函數(shù)f（x）在x＝0處有極大值，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答。若多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸為非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求圓C的普通方程與極坐標(biāo)方程；（2）若直線l的極坐標(biāo)方程為，求圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離．[選修45：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．（Ⅰ）試比較f（﹣1）與f（a）的大小；（Ⅱ）當(dāng)a＝﹣5時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積．參考答案一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5解：A∩B中的元素滿足且x，y∈N*，由x+y＝8＞2x+1，可得且x∈N*，故A∩B中的元素為（1，7），（2，6），（3，5），共有3個(gè)．故選：B．2．已知角θ的終邊過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），＝（）A． B． C．﹣1 D．1解：因?yàn)榻铅鹊慕K邊過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），所以x＝1，y＝﹣1，r＝，所以＝sinθ＝＝＝﹣．故選：A．3．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的ε為0.001，則輸出S的值等于（）A． B． C． D．解：輸入的ε為0.001，x＝1，S＝0，執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的ε為0.05，x＝1，S＝0，第一次執(zhí)行循環(huán)體后，S＝1，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，S＝1+，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，S＝1++，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件；第四次執(zhí)行循環(huán)體后，S＝1+++，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件；第五次執(zhí)行循環(huán)體后，S＝1++++，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件；第六次執(zhí)行循環(huán)體后，S＝1+++++，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件；第七次執(zhí)行循環(huán)體后，S＝1++++++，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件；第八次執(zhí)行循環(huán)體后，S＝1+++++++，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件；第九次執(zhí)行循環(huán)體后，S＝1++++++++，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件；第十次執(zhí)行循環(huán)體后，S＝1+++++++++＝2﹣，x＝＜?，滿足退出循環(huán)的條件；則輸出S＝2﹣，故選：C．4．如圖是某公司10個(gè)銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量（單位：臺(tái)）的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30）內(nèi)的概率為（）解：由莖葉圖10個(gè)原始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30）內(nèi)的共有4個(gè)，包括2個(gè)22，1個(gè)27，1個(gè)29，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30）內(nèi)的概率為＝0.4．故選：B．5．已知函數(shù)f（x）＝，則f（2021）＝（）A． B．2e C． D．2e2解：∵函數(shù)f（x）＝，∴f（2021）＝f（673×3+2）＝f（2）＝f（﹣1）＝e﹣1+ln2＝e﹣1×2＝．故選：A．6．已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．2解：取雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0），取雙曲線的漸近線y＝，即bx﹣ay＝0，依題意得，即4b2＝a2，∴該雙曲線的離心率e＝，故選：B．7．若a＞0，b＞0，a+2b＝1，則+的最小值為（）A．8 B．6 C．12 D．9解：+＝+＝4++≥4+2＝12．（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”）．故選：C．8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．2解：根據(jù)三視圖知，該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐P﹣ABCD，把該棱錐放入長(zhǎng)為2、寬為1、高為1的長(zhǎng)方體中，如圖所示；則該四棱錐的體積為V＝S梯形ABCD?h＝××（1+2）×1×1＝．故選：B．9．已知函數(shù)f（x）＝8sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期為π，若f（x）在[﹣，]上單調(diào)遞增，在[，]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[π，π] B．[π，π] C．[，] D．[﹣，π]解：∵T＝π，∴ω＝＝2，∴f（x）＝8sin（2x﹣），當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，2x﹣∈[﹣，]，∴＜，解得﹣＜m≤；當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x﹣∈[m﹣，π]，∴≤m﹣＜π，解得≤m＜，綜上所述：≤m≤，故選：B．10．大擺錘是一種大型游樂(lè)設(shè)備（如圖），游客坐在圓形的座艙中，面向外，通常大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險(xiǎn)，座艙旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，懸掛座艙的主軸在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下做單擺運(yùn)動(dòng)．假設(shè)小明坐在點(diǎn)A處，“大擺錘”啟動(dòng)后，主軸OB在平面α內(nèi)繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)，平面α與水平地面垂直，OB擺動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)A在平面β內(nèi)繞點(diǎn)B作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持OB⊥β，B∈β．設(shè)OB＝4AB，在“大擺錘”啟動(dòng)后，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)A在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng) B．β與水平地面所成銳角記為θ，直線OB與水平地面所成角記為δ，則θ+δ為定值 C．可能在某個(gè)時(shí)刻，AB∥α D．直線OA與平面α所成角的正弦值的最大值為解：因?yàn)辄c(diǎn)A在平面β內(nèi)繞點(diǎn)B作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持OB⊥β，B∈β，所以O(shè)A＝，又因?yàn)镺B，AB為定值，所以O(shè)A也是定值，所以點(diǎn)A在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng)，故A正確；作出簡(jiǎn)圖如下，OB⊥l，所以θ+δ＝，故B正確；因?yàn)锽∈α，所以不可能有AB∥α，故C不正確；設(shè)OB＝4a，則OB＝4a，，當(dāng)AB⊥α?xí)r，直線OA與平面α所成角最大，此時(shí)直線OA與平面α所成角的正弦值為，故D正確．故選：C．11．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將在2022年02月04日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．同時(shí)中國(guó)也成為第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿貫”（先后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)、青奧會(huì)、冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)）國(guó)家．根據(jù)規(guī)劃，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥巢）成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場(chǎng)館．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．解：設(shè)內(nèi)層橢圓方程為（a＞b＞0），因?yàn)閮?nèi)外橢圓離心率相同，所以外層橢圓，可設(shè)成，（m＞1），設(shè)切線的方程為y＝k1（x+a），與聯(lián)立得，，由△＝0，則，同理，所以，因此．故選：B．12．已知函數(shù)f（x）＝，函數(shù)g（x）滿足以下三點(diǎn)條件：①定義域?yàn)镽；②對(duì)任意x∈R，有g(shù)（x+π）＝2g（x）；③當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，g（x）＝sinx．則函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）在區(qū)間[﹣4π，4π]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9解：函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）在區(qū)間[﹣4π，4π]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為y＝f（x）和y＝g（x）的圖像在區(qū)間[﹣4π，4π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．分別作出y＝f（x）和y＝g（x）在[﹣4π，4π]上的圖像，結(jié)合圖象可得它們有6個(gè)交點(diǎn)，故選：A．二、填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在答題卷中對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上.13．如果復(fù)數(shù)（a∈R）為實(shí)數(shù)，則a＝﹣2．解：∵＝為實(shí)數(shù)，∴2+a＝0，即a＝﹣2．故答案為：﹣2．14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．解：因?yàn)镾n＝n2an（n∈N*），所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1＝（n﹣1）2an﹣1，故an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2an﹣（n﹣1）2an﹣1，整理可得，故?a1＝，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1也適合上式，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．故答案為：．15．明朝著名易學(xué)家來(lái)知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說(shuō)明一年之氣象，來(lái)氏認(rèn)為“萬(wàn)古之人事，一年之氣象也，春作夏長(zhǎng)秋收冬藏，一年不過(guò)如此”．如圖是來(lái)氏太極圖，其大圓半徑為4，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對(duì)稱的，若在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在黑色區(qū)域的概率為．解：設(shè)大圓的面積為S1，小圓的面積為S2，則S1＝16π，S2＝π，∴黑色區(qū)域的面積為＝，∴點(diǎn)落在黑色區(qū)域的概率為＝．故答案為：．16．《九章算術(shù)》是古代中國(guó)的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘歐幾里得的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．《九章算術(shù)》卷五記載：“今有芻甍（音：芻chú甍méng），下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈．問(wèn)積幾何？”譯文：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚wPQ﹣ABCD，下底面ABCD是矩形，假設(shè)屋脊沒(méi)有歪斜，即PQ中點(diǎn)R在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心點(diǎn)O，PQ∥AB，AB＝4，AD＝3，PQ＝2，OR＝1（長(zhǎng)度單位：丈）．則楔體PQ﹣ABCD的體積為（體積單位：立方丈）5立方丈．解：將楔體PQ﹣ABCD分成一個(gè)三棱柱、兩個(gè)四棱錐，則V三棱柱＝＝3立方丈，2V四棱錐＝＝2立方丈，故V楔體PQ﹣ABCD＝V三棱柱+2V四棱錐＝3+2＝5立方丈．故答案為：5立方丈．三、解答題：本大題共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.（一）必考題：共60分.17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求A；（2）若b﹣c＝4，△ABC的外接圓半徑為2，△ABC的邊BC上的高h(yuǎn)．解：（1）因?yàn)椋傻茫╝+b）（sinA﹣sinB）＝sinC（c﹣b），由正弦定理可得（a+b）（a﹣b）＝c（c﹣b），整理可得a2＝b2+c2﹣bc，所以cosA＝＝＝，又A∈（0，π），可得A＝．（2）因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑為2，由正弦定理可得＝2R＝4，即a＝4sin＝6，由余弦定理可得2＝b2+c2﹣bc＝（b﹣c）2+bc＝16+bc＝36，所以bc＝20，所以△ABC的面積S＝bcsinA＝，可得h＝＝＝．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，M為PC上一點(diǎn)，MC＝2PM．（Ⅰ）證明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD＝2，PD＝3，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．【解答】證明：（1）過(guò)M作MO⊥CD，交CD于O，連結(jié)BO，∵四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，M為PC上一點(diǎn)，MC＝2PM，∴MO∥PD，OD＝，∴ODAB，∴AD∥BO，∵AD∩PD＝D，BO∩MO＝O，AD、PD?平面ADP，BO、MO?平面BOM，∴平面ADP∥平面BOM，∵BM?平面BOM，∴BM∥平面PAD．解：（2）∵AD＝2，PD＝3，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，∴BD＝＝，∴BD2+AB2＝AD2，以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（0，0，0），＝（），＝（），＝（0，3，﹣3），設(shè)平面PBC的法向量＝（x，y，z），則，取x＝2，得＝（2，3，3），∴點(diǎn)D到平面PBC的距離d＝＝＝．19．為研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所將所研制的某型號(hào)疫苗用在小白鼠身上進(jìn)行科研和臨床試驗(yàn)，得到如表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：未感染病毒感染病毒總計(jì)未注射疫苗40px注射疫苗60qy總計(jì)100100200現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為．（1）能否有99.5%的把握認(rèn)為注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只進(jìn)行病理分析，然后從這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只對(duì)注射疫苗的情況進(jìn)行核實(shí)，求恰有1只為注射過(guò)疫苗的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k0解：（1）由題意可知，解得p＝60，∴q＝40，x＝y(tǒng)＝100，∴2×2列聯(lián)表如下表所示：未感染病毒感染病毒總計(jì)未注射疫苗4060100注射疫苗6040100總計(jì)100100200∴＝8＞7.879，∴有99.5%的把握認(rèn)為注射此疫苗有效．（2）設(shè)“恰有1只為注射過(guò)疫苗”為事件A，由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例＝抽取，∴抽取的5只小白鼠中有3只未注射疫苗，分別用1，2，3來(lái)表示，2只已注射疫苗的小白鼠分別用a，b來(lái)表示，從這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只，可能的情況有：（1，2，3），（1，2，a），（1，2，b），（1，3，a），（1，3，b），（1，a，b），（2，3，a），（2，3，b），（2，a，b），（3，a，b），共10種，其中恰有1只為注射過(guò)疫苗有：（1，2，a），（1，2，b），（1，3，a），（1，3，b），（2，3，a），（2，3，b），共6種，∴P（A）＝＝，即恰有1只為注射過(guò)疫苗的概率為．20．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的焦距為2，點(diǎn)M（）在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且直線OP，PQ，OQ的斜率之和為0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．①求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；②求△OPQ面積的最大值．解：（1）由題意可得2c＝2，+＝1，c2＝a2﹣b2，解得：a2＝4，b2＝1，所以橢圓的方程為：+y2＝1；（2）①證明：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，可得m2＜1+4k2，x1+x2＝﹣，x1x2＝，設(shè)直線OP，PQ，OQ的斜率為k1，k，k2，因?yàn)橹本€OP，PQ，OQ的斜率之和為0，所以k1+k+k2＝0，即++k＝++k＝3k+＝3k+m?＝＝0，所以m2＝3，由m＞0，所以m＝，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)（0，）；②由①可得：|PQ|＝?＝，原點(diǎn)到直線的距離d＝＝，所以S△POQ＝|PQ|?d＝＝＝，因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，即4k2﹣2＝3，即k2＝時(shí)取等號(hào)，所以S△POQ≤1，即△OPQ面積的最大值為1．21．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣x﹣axln（x+1）﹣1．（Ⅰ）若a＝0，求f（x）的最小值；（Ⅱ）函數(shù)f（x）在x＝0處有極大值，求a的取值范圍．解：（1）∵a＝0，∴f（x）＝ex﹣x2﹣1，則f'（x）＝ex﹣1，當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0；∴f（x）在（﹣1，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增．∴f（x）min＝f（0）＝0．（Ⅱ）．設(shè)g（x）＝f'（x），則．當(dāng)a≤0時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，∴x∈（﹣1，0）時(shí)，g（x）＜g（0）＝0；x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＞g（0）＝0，∴f（x）在（﹣1，0）上遞減，在（0，+∞