高等數(shù)學(xué)教學(xué)案

.備注：A組題為基此題，B組題為提高題〔選〕。第70頁共70頁."高等數(shù)學(xué)"授課教案第一講高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)介紹、函數(shù)教學(xué)目的：了解新數(shù)學(xué)認(rèn)識觀，掌握根本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)；熟練復(fù)合函數(shù)的分解。重難點(diǎn)：數(shù)學(xué)新認(rèn)識，根本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)教學(xué)程序：數(shù)學(xué)的新認(rèn)識—>函數(shù)概念、性質(zhì)〔分段函數(shù)〕—>根本初等函數(shù)—>復(fù)合函數(shù)—>初等函數(shù)—>例子〔定義域、函數(shù)的分解與復(fù)合、分段函數(shù)的圖像〕授課提要：前言：本講首先是"高等數(shù)學(xué)"的學(xué)習(xí)介紹，其次是對中學(xué)學(xué)過的函數(shù)進(jìn)展復(fù)習(xí)總結(jié)〔函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是事物普遍聯(lián)系的定量反映。高等數(shù)學(xué)主要以函數(shù)作為研究對象，因此必須對函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)有深刻的理解〕。一、新教程序言1、為什么要重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)〔1〕文化根底——數(shù)學(xué)是一種文化，它的準(zhǔn)確性、嚴(yán)格性、應(yīng)用廣泛性，是現(xiàn)代社會(huì)文明的重要思維特征，是促進(jìn)社會(huì)物質(zhì)文明和精神文明的重要力量；〔2〕開發(fā)大腦——數(shù)學(xué)是思維訓(xùn)練的體操，對于訓(xùn)練和開發(fā)我們的大腦〔左腦〕有全面的作用；〔3〕知識技術(shù)——數(shù)學(xué)知識是學(xué)習(xí)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的根底，是我們生活和工作的一種能力和技術(shù)；〔4〕智慧開發(fā)——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是培養(yǎng)人的思維能力，這種能力為人的一生提供持續(xù)開展的動(dòng)力。2、對數(shù)學(xué)的新認(rèn)識〔1〕新數(shù)學(xué)觀——數(shù)學(xué)是一門特殊的科學(xué)，它為自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)提供思想和方法，是推動(dòng)人類進(jìn)步的重要力量；〔2〕新數(shù)學(xué)教育觀——數(shù)學(xué)教育〔學(xué)習(xí)〕的目的：數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)人的科學(xué)文化素質(zhì)，包括開展人的思維能力和創(chuàng)新能力?！?〕新數(shù)學(xué)素質(zhì)教育觀——數(shù)學(xué)教育〔學(xué)習(xí)〕的意義：通過"數(shù)學(xué)素質(zhì)〞而培養(yǎng)人的"一般素質(zhì)〞。[見教材"序言〞]二、函數(shù)概念1、函數(shù)定義：變量間的一種對應(yīng)關(guān)系〔單值對應(yīng)〕?！灿米兓挠^點(diǎn)定義函數(shù)〕，記：〔說明表達(dá)式的含義〕(1)定義域：自變量的取值集合〔D〕。(2)值域：函數(shù)值的集合，即。例1、求函數(shù)的定義域？2、函數(shù)的圖像：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，那么點(diǎn)集就構(gòu)成函數(shù)的圖像。例如：熟悉根本初等函數(shù)的圖像。3、分段函數(shù)：對自變量的不同取值圍，函數(shù)用不同的表達(dá)式。例如：符號函數(shù)、狄立克萊函數(shù)、取整函數(shù)等。分段函數(shù)的定義域：不同自變量取值圍的并集。例2、作函數(shù)的圖像？例3、求函數(shù)三、根本初等函數(shù)熟記：五種根本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像、性質(zhì)。四、復(fù)合函數(shù)：設(shè)y=f(u),u=g(x)，且與x對應(yīng)的u使y=f(u)有意義，那么y=f[g(x)]是x的復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量。說明：(1)并非任意幾個(gè)函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。如：就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：各個(gè)復(fù)合體定義域的交集。(3)復(fù)合函數(shù)的分解從外到進(jìn)展；復(fù)合時(shí)，那么直接代入消去中間變量即可。例5、設(shè)例6、指出以下函數(shù)由哪些根本初等函數(shù)〔或簡單函數(shù)〕構(gòu)成？(1)(2)(3)五、初等函數(shù)：由根本初等函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合、四那么運(yùn)算而成的函數(shù)，且用一個(gè)表達(dá)式所表示。說明：〔1〕一般分段函數(shù)都不是初等函數(shù)，但是初等函數(shù)；〔2〕初等函數(shù)的一般形成方式：復(fù)合運(yùn)算、四那么運(yùn)算。思考題：1、確定一個(gè)函數(shù)需要有哪幾個(gè)根本要素？[定義域、對應(yīng)法那么]2、思考函數(shù)的幾種特性的幾何意義？[奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性]3、任意兩個(gè)函數(shù)是否都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)？你是否可以用例子說明？[不能]探究題：圖1—5時(shí)間圖1—5時(shí)間小結(jié)：函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是事物普遍聯(lián)系的定量反映；復(fù)合函數(shù)反映了事物聯(lián)系的復(fù)雜性；分段函數(shù)反映事物聯(lián)系的多樣性。作業(yè)：P4〔A：2-3〕；P7〔A：2-3〕課堂練習(xí)〔初等函數(shù)〕【A組】1、求以下函數(shù)的定義域？(1)(2)(3)(x-1)(4)2、判定以下函數(shù)的奇偶性？(1)(2)(3)3、作以下函數(shù)的圖像？(1)(2)(3)4、分解以下復(fù)合函數(shù)？(1)(2)(3)(4)【B組】1、證明函數(shù)為奇函數(shù)。2、將函數(shù)改寫為分段函數(shù)，并作出函數(shù)的圖像？3、設(shè)？4、設(shè)=，求，？數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：初等函數(shù)圖像認(rèn)識1、冪函數(shù)：〔如〕2、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)：〔如〕3、三角函數(shù)與反三角函數(shù)：〔〕4、多項(xiàng)式函數(shù)：〔〕5、分段函數(shù)：〔〕第二講導(dǎo)數(shù)的概念〔一〕、極限與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：復(fù)習(xí)極限的概念及求法；理解導(dǎo)數(shù)的概念，掌握用定義求導(dǎo)數(shù)方法。重難點(diǎn)：求極限，導(dǎo)數(shù)定義及由定義求導(dǎo)法教學(xué)程序：極限的定義及求法〔例〕—>導(dǎo)數(shù)的引入〔速度問題〕—>導(dǎo)數(shù)的概念—>導(dǎo)數(shù)與極限—>根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔定義法〕—>例子〔簡單〕授課提要：前言：在前面的教學(xué)中，我們已討論了變量間的關(guān)系(函數(shù))，本節(jié)將復(fù)習(xí)函數(shù)的變化趨勢(極限)，在此根底上討論函數(shù)的變化率問題〔即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〕。導(dǎo)數(shù)是高數(shù)的重點(diǎn)，它的本質(zhì)是極限〔比值的極限〕，在現(xiàn)實(shí)中有極豐富的應(yīng)用。一、理論根底——極限〔復(fù)習(xí)〕1、極限的概念〔略講函數(shù)在某點(diǎn)的極限定義〕2、極限的四那么運(yùn)算法那么〔略〕3、求函數(shù)的極限〔幾類函數(shù)的極限〕〔1〕假設(shè)為多項(xiàng)式，那么例1：求以下極限(1)(2)(3)〔2〕假設(shè)為有理分式且,那么〔代入法〕例2：求以下極限(1)(2)(3)〔3〕假設(shè)分式,當(dāng)時(shí)，，那么用約去零因子法求極限例3：求以下極限(1)(2)(3)〔4〕假設(shè)分式,當(dāng)時(shí)，分子分母都是無窮大，那么適用無窮小分出法求極限。例4：求以下極限(1)(2)(3)3、兩個(gè)重要極限〔1〕〔2〕說明：其中可以是的形式，且當(dāng)時(shí)，。例5：求以下極限(1)(2)(3)(4)二、導(dǎo)數(shù)定義〔復(fù)習(xí)增量的概念〕引例1、速度問題〔自由落體運(yùn)動(dòng)〕引例2、切線問題〔曲線〕以上兩個(gè)事例具體含義各不一樣，但從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，都是要求函數(shù)y關(guān)于自變量x在某一點(diǎn)處的變化率，即計(jì)算函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，這種特殊的極限就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解決問題的思路：1、自變量x作微小變化x，求出函數(shù)在自變量這個(gè)小段的平均變化率，作為點(diǎn)處變化率的近似值；2、對求x0的極限，假設(shè)它存在，這個(gè)極限即為點(diǎn)處變化率的準(zhǔn)確值。定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及附近有定義，當(dāng)在點(diǎn)取得增量時(shí)，相應(yīng)函數(shù)取得增量，假設(shè)當(dāng)時(shí)，比值的極限存在，那么稱此極限值為在處的導(dǎo)數(shù)或微商。記，即說明：(1)比值是函數(shù)在上的平均變化率；而是在處的變化率，它反映函數(shù)在點(diǎn)隨自變量變化的快慢程度；(2)假設(shè)不存在〔包括〕，那么稱在點(diǎn)不可導(dǎo)；(3)假設(shè)在〔a,b)每點(diǎn)可導(dǎo)，那么稱函數(shù)在〔a,b〕可導(dǎo)，記，稱為導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。(4)f(x)是x的函數(shù)，而f(x0)是一個(gè)數(shù)值，f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值。三、導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系導(dǎo)數(shù)是一種特殊〔比值〕的極限，即有導(dǎo)數(shù)-有極限，反之不成立。四、根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔定義〕由定義知求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟：〔三步驟〕〔1〕求增量；〔2〕求比值；〔3〕求極限。例6、由定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例7、由定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？〔推導(dǎo)〕思考題：1、是否存在，為什么？[0]2、假設(shè)曲線=在處切線斜率等于3，求點(diǎn)的坐標(biāo)。3、，利用導(dǎo)數(shù)定義求極限。[0]探究題：從求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬間速度問題解決方法中，你對"極限法〞有什么體會(huì)？[近似轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)方法]小結(jié)：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)從微觀〔局部〕上研究非均勻量〔如：速度、密度、電流、電壓等〕的變化率問題，是處理非均勻量的"除法〞；其思想方法：(1)在小圍以"勻〞代"不勻〞或"不變〞代"變〞，獲得近似值；(2)利用極限思想使"近似值〞轉(zhuǎn)化為"準(zhǔn)確值〞。從函數(shù)的觀點(diǎn)看，導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)的局部線性形態(tài)，即可導(dǎo)函數(shù)表示的曲線在局部都可以近似為一條直線〔切線〕，憑著切線的斜率，可以研究函數(shù)的整體性質(zhì)〔導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的單調(diào)性、極值等〕。作業(yè)：P22〔A：1-3；B：3-4〕課堂練習(xí)〔導(dǎo)數(shù)的概念一〕【A組】1、求以下極限(1)(2)(3)〔4〕〔5〕〔6〕2、求極限？3、求極限：？[]4、，求a的值？[2]5、用導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)？6、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求(1)物體在t=2秒和t=3秒間的平均速度？(2)求物體在t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度？【B組】1、設(shè)？[]2、設(shè)函數(shù)？[2]3、證明導(dǎo)數(shù)公式：4、一藥品進(jìn)入人體t小時(shí)的效力，求t=2,3,4時(shí)的效力E的變化率？5、設(shè)A。A、左右導(dǎo)數(shù)都存在B、左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在C、右導(dǎo)數(shù)存在，左導(dǎo)數(shù)不存在D、都不存在6.假設(shè)〔為常數(shù)〕，試判斷以下命題是否正確。[全部]〔1〕在點(diǎn)處可導(dǎo)；〔2〕在點(diǎn)處連續(xù)；〔3〕=；數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：兩個(gè)重要極限的圖像認(rèn)識1、極限：2、極限：3、等價(jià)無窮小的直觀認(rèn)識：〔〕第三講導(dǎo)數(shù)的概念〔二〕教學(xué)目的：熟悉導(dǎo)數(shù)根本公式；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求切線方程。重難點(diǎn)：根本導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義〔求切線方程〕教學(xué)程序：復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義—>根本導(dǎo)數(shù)公式—>例子〔求導(dǎo)數(shù)〕—>導(dǎo)數(shù)的幾何意義—>例子〔切線方程〕—>導(dǎo)數(shù)的物理意義〔例子〕授課提要：一、根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1、求的導(dǎo)數(shù)？〔由導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)〕于是我們有公式：同樣，由定義可得根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么〔u,v為可導(dǎo)函數(shù)〕1、代數(shù)和：2、數(shù)乘：例2、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)例3、求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值？(1)(2)三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義〔作圖說明〕結(jié)論：表示曲線y=f(x)在點(diǎn)〔x0,f(x0)〕的切線斜率。例4、求曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程？例5、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且，求曲線y=f(x)在點(diǎn)〔1,f(1)〕處的切線斜率？[導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義]四、導(dǎo)數(shù)的物理意義結(jié)論：設(shè)物體運(yùn)動(dòng)方程為，那么表示物體在時(shí)刻t的瞬間速度。例6、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求物體在時(shí)刻t=1時(shí)的速度？例7、求曲線上一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的切線平行于直線。[]例8、設(shè)某產(chǎn)品的本錢滿足函數(shù)關(guān)系：(x為產(chǎn)量)，求x=2時(shí)的邊際本錢，并說明其經(jīng)濟(jì)意義。思考題：與有無區(qū)別？[，]探究題：導(dǎo)數(shù)的值可不可以為負(fù)值？舉例說明。[可以]小結(jié)：導(dǎo)數(shù)的美學(xué)意義：局部線性之美〔〕。它將可導(dǎo)曲線在局部線性化，它是由函數(shù)局部性質(zhì)研究函數(shù)整體性質(zhì)的工具和方法。作業(yè)：P25〔A：1〕；P28〔A：1，3〕課堂練習(xí)〔導(dǎo)數(shù)概念二〕【A組】1、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)(5)2、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)3、求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？4、設(shè)5、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求時(shí)刻t=3時(shí)的速度？6、拋物線=在何處切線與軸正向夾角為，并且求該處切線的方程.【B組】1、一球體受力在斜面上向上滾動(dòng)，在t秒末離開初始位置的距離為，問其初速度為多少？何時(shí)開場向下滾動(dòng)？2、曲線與相交于點(diǎn)〔1，1〕，證明兩曲線在該點(diǎn)處相切，并求出切線方程？數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義和美學(xué)價(jià)值PQPQ2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：〔〕3、導(dǎo)數(shù)的美學(xué)意義：曲線的局部線性化?！?〕在x=0處比擬：曲線與切線；〔2〕在x=1處比擬：曲線與切線。第四講求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法那么〔一〕教學(xué)目的：掌握根本導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么，會(huì)求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。重難點(diǎn)：根本導(dǎo)數(shù)公式與法那么教學(xué)程序：根本公式—>運(yùn)算法那么—>例子—>二階導(dǎo)數(shù)的定義及求法授課提要：一、根本導(dǎo)數(shù)公式由導(dǎo)數(shù)的定義，我們可以得到如下根本導(dǎo)數(shù)公式：二、導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么設(shè)u、v為可導(dǎo)函數(shù)，那么1、2、3、4、例1、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)例2、求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值？(1)(2)例3、設(shè)例4、曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？三、二階導(dǎo)數(shù)1、定義：假設(shè)導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)數(shù)，稱為的二階導(dǎo)數(shù)。記：2、求法：由定義知，求二階導(dǎo)數(shù)的方法與求一階導(dǎo)數(shù)的方法一致。例5、求以下二階導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)3、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：，那么表示物體在時(shí)刻t的加速度。例6、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為：，求t=2時(shí)的速度和加速度？思考題：1.思考以下命題是否成立？(1)假設(shè)，在點(diǎn)處都不可導(dǎo)，那么點(diǎn)處也一定不可導(dǎo).答：命題不成立.如：==，在=0處均不可導(dǎo)，但其和函數(shù)+=在=0處可導(dǎo).(2)假設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)處不可導(dǎo)，那么+在點(diǎn)處一定不可導(dǎo).答：命題成立.原因：假設(shè)+在處可導(dǎo)，由在處點(diǎn)可導(dǎo)知=[+]在點(diǎn)處也可導(dǎo)，矛盾.探究題：某產(chǎn)品的需求方程和總本錢函數(shù)分別為，，其中為銷售量，為價(jià)格。求邊際利潤，并計(jì)算和時(shí)的邊際利潤，解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義。[導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義]小結(jié)：導(dǎo)數(shù)的物理意義更深層次反映了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)：研究非勻速物體運(yùn)動(dòng)的變化率。指路程對時(shí)間的變化率，指速度對時(shí)間的變化率。二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義：反映曲線的凹向。作業(yè)：P30〔A：1-2〕小知識：數(shù)學(xué)的三次危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：無理數(shù)的產(chǎn)生?！矄挝徽叫蔚膶蔷€長〕第二次數(shù)學(xué)危機(jī)：微積分的產(chǎn)生和完善?！矘O限和無窮小的定義〕第三次數(shù)學(xué)危機(jī)：集合論的產(chǎn)生?！擦_素悖論〕課堂練習(xí)〔導(dǎo)數(shù)公式與法那么一〕【A組】1、求以下導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)2、曲線在何處有水平切線？[x=-2/3]3、曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？[e]4、求以下二階導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)【B組】1、設(shè)曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)為(xn,0)，求極限？2、假設(shè)？[1]3、設(shè)，求？[-2]4、，二階連續(xù)可導(dǎo)，求？[]5、設(shè)某種汽車剎車后運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，假設(shè)汽車作直線運(yùn)動(dòng)，求汽車在秒時(shí)的速度和加速度。數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像比擬〔〕第五講求導(dǎo)法那么〔二〕、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：了解函數(shù)的連續(xù)性的概念，理解連續(xù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。重難點(diǎn)：根本導(dǎo)數(shù)公式，連續(xù)的幾何直觀、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系教學(xué)程序：復(fù)習(xí)根本導(dǎo)數(shù)公式、法那么—>連續(xù)概念〔極限定義〕—>連續(xù)的條件—>初等函數(shù)的連續(xù)性—>可導(dǎo)與連續(xù)〔例〕—>連續(xù)函數(shù)的極限〔例子〕授課提要：一、復(fù)習(xí)根本導(dǎo)數(shù)公式和法那么舉例：〔略〕二、連續(xù)的概念〔作圖直觀理解〕1、定義：設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)及附近有定義，當(dāng)時(shí),有，那么稱f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)。說明：連續(xù)是一種特殊的極限。連續(xù)有極限，反之不成立。例1、試證在x=0處連續(xù)？三、函數(shù)連續(xù)的條件〔１〕f(x)在x0點(diǎn)及附近有定義〔２〕f(x)在x0點(diǎn)的極限存在〔３〕極限值等于函數(shù)值。例2、討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性？四、初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)在定義區(qū)間都是連續(xù)的。其圖像是一條連綿不斷的曲線。五、可導(dǎo)與連續(xù)1、可導(dǎo)與連續(xù)的圖象特征〔1〕連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連綿不斷的曲線?！沧鲌D例如〕〔2〕可導(dǎo)函數(shù)的圖像不僅連綿不斷，并且曲線具有平滑性〔無尖點(diǎn)、折點(diǎn)〕2、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理：假設(shè)函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，那么f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)；反之，結(jié)論不成立。例3、試證函數(shù)在x=0點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)。例4、試證函數(shù)在x=0點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo),但切線存在。3、極限、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系xyOy=|x|xyOy=|x|11xyOy=-1-11六、連續(xù)函數(shù)的極限假設(shè)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，那么例5、求以下極限〔1〕(2)〔3〕(4)例6、討論在x=0處的連續(xù)性？思考題：1．如果在處連續(xù)，問||在處是否連續(xù)？[連續(xù)]2．如果在處可導(dǎo)，問||在處是否可導(dǎo)？[不一定]3．求函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，并判斷其類型。探究題：作圖說明函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的類型。[不連續(xù)點(diǎn)、尖點(diǎn)、折點(diǎn)]小結(jié)：連續(xù)函數(shù)的美學(xué)意義：和諧與奇異之美。連續(xù)表達(dá)的是自然和諧、社會(huì)開展的生生不息；連續(xù)那么表現(xiàn)為不規(guī)那么和與眾不同，表達(dá)了自然界的豐富多彩和社會(huì)開展中的跳躍性。作業(yè)：P34〔A：1-2〕；復(fù)習(xí)題〔2-5〕課堂練習(xí)〔求導(dǎo)公式與法那么二〕【A組】1、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)2、求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？3、求曲線在點(diǎn)〔-1，0〕處的切線方程？[]4、試定義f(0)的值，使函數(shù)在x=0處連續(xù)？[]5、設(shè)，問a為何值時(shí)，函數(shù)在x=0處連續(xù)？[2]【B組】1、作函數(shù)的圖像？2、設(shè)函數(shù)f(x)在x=2處連續(xù)，且，求？[2]3、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，？[12]4、設(shè)，問a,b為何值時(shí)，函數(shù)f(x)處處連續(xù)、可導(dǎo)？5、x=1是函數(shù)的〔B〕〔A〕連續(xù)點(diǎn)〔B〕可去連續(xù)點(diǎn)〔C〕跳躍連續(xù)點(diǎn)〔D〕無窮連續(xù)點(diǎn)*6、假設(shè)f(x)在[0，a]上連續(xù)，且f(0)=f(a)，試證：方程在〔0，a〕至少有一個(gè)實(shí)根。[提示：作新函數(shù)，在[]上使用零點(diǎn)存在定理]數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：不可導(dǎo)點(diǎn)的類型1、連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)〔尖、折點(diǎn)〕〔如：〕2、不連續(xù)點(diǎn)為不可導(dǎo)點(diǎn)：第六講定積分的概念教學(xué)目的：了解定積分的概念，理解定積分的幾何意義。重難點(diǎn)：作為面積的定積分概念教學(xué)程序：提出問題—>解決問題〔思想〕—>定積分定義—>定積分的幾何意義〔例子〕—>定積分的性質(zhì)〔簡單〕授課提要：前言：在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的許多問題中，經(jīng)常會(huì)遇到各種平面圖形的面積計(jì)算。對于三角形、四邊形及直多邊形和圓的面積，可以用初等數(shù)學(xué)的方法計(jì)算，但由任一連續(xù)圍成的圖形的面積就不會(huì)計(jì)算。下面討論由連續(xù)曲線所圍成的平面圖形的面積的計(jì)算方法。一、問題引入1、曲邊梯形的定義所謂曲邊梯形是指有三條直線段，其中兩條相互平行，第三條與這兩條相互垂直，第四條邊為一條連續(xù)曲線所圍成的四邊形。〔如下圖〕2、引例：如何求曲線所圍成的面積？(特殊曲邊梯形)〔1〕分析問題假設(shè)將曲邊梯形與矩形比擬，差異在于矩形的四邊都是直的，而曲邊梯形有一條邊是曲的。設(shè)想：用矩形近似代替曲邊梯形。為了減少誤差，把曲邊梯形分成許多小曲邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當(dāng)分割越細(xì)，所得的近似值越接近準(zhǔn)確值，通過求小矩形面積之和的極限，就求得了曲邊梯形得面積。y〔2〕解決問題〔思路〕yy=x2y=x第二步：近似代替第三步：求和01x第四步：取極限01x二、定積分的定義現(xiàn)實(shí)中許多實(shí)例，盡管實(shí)際意義不同，但解決問題的方法是一樣的：按"分割取近似，求和取極限〞的方法，將所求的量歸結(jié)為一個(gè)和式極限。我們稱這種"和式極限〞為函數(shù)的定積分。定義：〔說明定積分中各符號的稱謂〕由定積分的定義知，以上實(shí)例可以表示成定積分：面積說明：定積分是一個(gè)特殊的和式極限，因此，它是一個(gè)常量，它只與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量用何字母表示無關(guān)。三、定積分的幾何意義〔作圖〕當(dāng)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)時(shí)，定積分可分成三種形式：1、假設(shè)在[a,b]上，，那么定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A，即2、假設(shè)在[a,b]上，，那么定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A的相反數(shù)，即3、假設(shè)在[a,b]上，f(x)可正可負(fù)，那么定積分表示x軸上方圖形的面積A1與下方圖形的面積A2之差，即結(jié)論：定積分的幾何意義："有號面積〞，即。例1、用定積分幾何意義判定以下積分的正負(fù)：〔1〕〔2〕例2、用定積分表示由曲線y=x2+1,直線x=1,x=3和y=0所圍成的圖形面積？四、定積分的性質(zhì)〔簡單〕〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕積分中值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在以a，b為上下限的積分區(qū)間上連續(xù)，那么在a，b之間至少存在一個(gè)〔中值〕，使=f()(b－a)y=f(x)xyOabfy=f(x)xyOabf()續(xù)且非負(fù)，定理說明在[a，b]上至少存在一點(diǎn)，使得以[a，b]為底邊、曲線y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，與同底、高為f()的矩形的面積相等，如下圖．因此從幾何角度看，f()可以看作曲邊梯形的曲頂?shù)钠骄叨?；從函?shù)值角度上看，f()理所當(dāng)然地應(yīng)該是f(x)在[a，b]上的平均值．因此積分中值定理這里解決了如何求一個(gè)連續(xù)變化量的平均值問題．思考題：1、用定積分的定義計(jì)算定積分,其中為一定常數(shù)。[矩形的面積]2、如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義求以下積分的值：〔1〕,〔2〕,〔3〕,〔4〕.探究題：用定積分的符號、定義、結(jié)果、方法等說明"什么是定積分〞？小結(jié)：定積分的本質(zhì)：從宏觀〔整體〕研究非均勻量的"改變量〞問題。是處理非均勻量的"乘法〞；其思想方法：(1)在小圍以"不變〞代"變〞，獲得近似值；(2)利用極限思想使"近似值〞轉(zhuǎn)化為"準(zhǔn)確值〞。其中，"分〞是為了"勻〞的需要，而"求和〞是整體量的要求。作業(yè)：P40〔A：1-3〕課堂練習(xí)〔定積分的概念〕【A組】一、判定正誤：1、定積分表示曲邊梯形的面積?！睩〕2、定積分的值與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]及積分變量x有關(guān)。F3、〔T〕4、〔F〕二、用定積分表示面積：(1)曲線(2)由方程所確定的圓的面積？三、用定積分的定義計(jì)算定積分,其中為一定常數(shù)?！綛組】一、由定積分的幾何意義計(jì)算：？[]二、由定積分的幾何意義求直線所圍成的平面圖形的面積？三、用定積分的定義求曲線所圍成的平面圖形的面積？數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：定積分思想的幾何直觀1、函數(shù)在[0,1]上所圍成的面積分析：〔1〕步長為0.1的分割?！瞡=10〕〔2〕步長為0.05的分割?！瞡=20〕〔3〕步長為0.01的分割?！瞡=100〕第七講定積分與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：掌握原函數(shù)的概念及N-L公式。重難點(diǎn)：作為路程的定積分、微積分根本定理教學(xué)程序：復(fù)習(xí)定積分概念〔和式極限〕—>原函數(shù)—>N-L公式〔求路程〕推導(dǎo)—>N—L公式〔計(jì)算方法〕—>定積分的計(jì)算〔簡單〕授課提要：前言：定積分是一個(gè)重要的概念，如果用定義來計(jì)算，計(jì)算復(fù)雜且不易，所以必須尋找新的計(jì)算方法。下面將研究定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。一、原函數(shù)的概念定義：假設(shè)在某一區(qū)間上有，那么稱F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。如：，所以是2x的一個(gè)原函數(shù)，同理，也是它的原函數(shù)?！舱f明：原函數(shù)不唯一〕*二、變上限函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且，那么稱函數(shù)為變上限函數(shù)。記。它有如下性質(zhì)：(1)；(2)假設(shè)在[a,b]上連續(xù)，那么在[a,b]上可導(dǎo)，且有。由性質(zhì)(2)及原函數(shù)的定義知，p(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。定理〔原函數(shù)存在定理〕假設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么其原函數(shù)一定存在，且原函數(shù)可表示為例1、求？例2、求？三、N－L公式〔直觀推導(dǎo)〕設(shè)一輛汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)〔如圖〕，從時(shí)刻a到b，求其經(jīng)過的路程？〔1〕假設(shè)路程函數(shù)，那么；〔2〕假設(shè)速度函數(shù)，那么由定積分有；〔3〕s(t)與v(t)有如下關(guān)系：，即s(t)是v(t)的一個(gè)原函數(shù)。一般地，有如下定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么說明：(1)N－L公式提醒了定積分與原函數(shù)〔不定積分〕間的聯(lián)系，給定積分的計(jì)算提供了有效而簡便的方法。(2)由定義知求定積分的步驟：①求原函數(shù)②求原函數(shù)的增量例3、求以下定積分：〔1〕〔2〕〔3〕例4、求由曲線，直線x=0，x=π，y=0所圍成的圖形面積？例5、求曲線所圍成的平面圖形的面積？例6、設(shè)物體的速度，求時(shí)段的距離？思考題：1、"答：因?yàn)槭且詾樽宰兞康暮瘮?shù)，故=0.2、答：因?yàn)槭浅?shù)，故.3、？答：因?yàn)榈慕Y(jié)果中不含，故0.4、？答：由變上限定積分求導(dǎo)公式，知.小結(jié)：N—L公式的意義：將矛盾的"微分〞與"積分〞統(tǒng)一起來，是哲學(xué)中的"對立統(tǒng)一〞規(guī)律的具體表現(xiàn)，是微觀與宏觀的辨證統(tǒng)一。其美學(xué)價(jià)值：宏觀上的統(tǒng)一之美。作業(yè)：P46〔A：1〕；〔B：1〕課堂練習(xí)〔定積分與導(dǎo)數(shù)〕【A組】1、計(jì)算以下定積分：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕2、求曲線所圍成的圖形的面積？3、設(shè)，求k的值？[2]4、設(shè)[兩邊求導(dǎo)數(shù)]【B組】1、設(shè)，求a的值？[3]2、求導(dǎo)數(shù)：？[]3、用定積分求極限：〔〕*4、利用定積分的性質(zhì)求極限：？〔估值定理、夾值定理〕*5、證明方程在(0,1)有唯一實(shí)根。*6、設(shè)f(x)在[0，4]上連續(xù)，且，那么f(2)=1/4。數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：定積分：的幾何直觀第八講習(xí)題課〔導(dǎo)數(shù)與定積分〕教學(xué)目的：系統(tǒng)化本單元容，掌握根本概念與方法。一、根本概念及方法：1、極限的概念，求極限的方法；2、導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法那么3、導(dǎo)數(shù)的幾何、物理及經(jīng)濟(jì)意義4、定積分的概念，定積分的幾何、物理意義〔經(jīng)濟(jì)意義〕5、用N-L公式求定積分二、基此題型：1、求以下極限〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕2、求以下導(dǎo)數(shù)〔1〕〔2〕〔3〕3、求以下導(dǎo)數(shù)〔1〕〔2〕〔3〕4、求以下積分〔1〕〔2〕〔3〕5、求曲線在點(diǎn)〔1，2〕處的切線方程？6、求在t=2時(shí)的速度？7、設(shè)某產(chǎn)品的本錢函數(shù)，求其邊際本錢？8、求曲線所圍成的圖形的面積？9、物體的速度為，求時(shí)段經(jīng)過的路程？10、設(shè)[可加性]11、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及y=0所圍成的曲邊梯形的面積為。[]三、提示與提高：1、無窮小的定義與性質(zhì)定義：假設(shè),那么稱時(shí)為無窮小。性質(zhì)：有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小。例1、求極限，？2、無窮小的比擬：〔略〕當(dāng)時(shí)，有等價(jià)；當(dāng)時(shí)，；例2、當(dāng)時(shí)，比擬的階？3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)〔1〕有界定理；〔2〕最值定理；〔3〕零點(diǎn)定理；〔4〕介值定理例3、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，且f(0)=f(2),證明方程在[0，1]上至少有一實(shí)根。4、函數(shù)連續(xù)點(diǎn)的分類〔略〕5、定積分的性質(zhì)〔1〕；〔2〕假設(shè)在[a,b]上有，那么特別地，假設(shè)在[a,b]上有，那么〔3〕對任意實(shí)數(shù)C有〔4〕設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大、最小值分別為M、m，那么有〔5〕設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么其在[a,b]上的平均值例3、比擬大?。号c例4、求定積分：，其中例5、求在區(qū)間[1,3]上的平均值？第九講求導(dǎo)法那么〔三〕、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)〔一〕教學(xué)目的：掌握根本導(dǎo)數(shù)公式和四那么運(yùn)算法那么，會(huì)求一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。重難點(diǎn)：四那么運(yùn)算法那么、復(fù)合函數(shù)的連鎖法那么教學(xué)程序：根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式〔復(fù)習(xí)〕—>導(dǎo)數(shù)四那么運(yùn)算法那么—>例子授課提要：前面我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念及簡單函數(shù)求導(dǎo)，本節(jié)將系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)求導(dǎo)方法。一、復(fù)習(xí)根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式〔重點(diǎn)〕〔板書略〕二、復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)四那么運(yùn)算法那么〔重點(diǎn)〕設(shè)u(x),v(x)為可導(dǎo)函數(shù)，那么(1)(2)(3)例1、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)例2、求的導(dǎo)數(shù)？〔由商的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)〕于是有同理：例3、求函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)值？例4、求過點(diǎn)〔1，2〕且與曲線相切的直線方程？三、復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)的概念及分解說明：復(fù)合函數(shù)分解一般從外向分解，分解至根本初等函數(shù)或簡單函數(shù)即可例5、分解以下函數(shù)〔1〕〔2〕〔3〕四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么設(shè)是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，那么說明：〔1〕求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先分清楚函數(shù)的復(fù)合構(gòu)造，求出每一層次簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再使用連鎖法那么，就得到復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；〔2〕復(fù)合函數(shù)的分解一般按由外向的順序進(jìn)展。例6、求以下導(dǎo)數(shù)〔先分解后求導(dǎo)〕(1)(2)(3)(4)例7、設(shè)在可導(dǎo)，且，記，其中a為常數(shù)，求？例8、設(shè)？[5e]思考題：1、設(shè)，求？[利用指數(shù)恒等式：]2、設(shè)求？[]小結(jié)：掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的連鎖法那么；對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)明確：〔1〕熟練根本導(dǎo)數(shù)公式；〔2〕恰當(dāng)分解復(fù)合函數(shù)；〔3〕正確使用"連鎖法那么〞。作業(yè)：P55〔A：1-2；B：2〕；P58〔A：1〕思考題：1.給定一個(gè)初等函數(shù)，只用求導(dǎo)法一定能求出其導(dǎo)函數(shù)嗎？為什么？答：一定能求出其導(dǎo)函數(shù)。因?yàn)槿魏我粋€(gè)根本初等函數(shù)我們都可以求其導(dǎo)函數(shù)，而初等函數(shù)是由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運(yùn)算及有限次的復(fù)合運(yùn)算形成，據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么、導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么知給定一個(gè)初等函數(shù),只用求導(dǎo)法一定能求出其導(dǎo)函數(shù)。課堂練習(xí)〔求導(dǎo)法那么三、復(fù)合函數(shù)一〕【A組】1、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)2、設(shè)3、在曲線上取兩點(diǎn)x1=1,x2=3，過這兩點(diǎn)引割線，問曲線上哪點(diǎn)的切線平行于所引割線？4、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)5、求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？6、曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？【B組】1、證明可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。2、設(shè)？[1/3]3、設(shè)，問a,b為何值時(shí)，函數(shù)f(x)處處連續(xù)、可導(dǎo)？4、設(shè)？[]5、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，？[12]數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像第十講復(fù)合函數(shù)〔二〕、高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。重難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、二階導(dǎo)數(shù)教學(xué)程序：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么〔復(fù)習(xí)〕—>例子—>高階導(dǎo)數(shù)定義—>例子—>二階導(dǎo)數(shù)的物理意義—>求高階導(dǎo)數(shù)授課提要：一、復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)〔〕例1、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔1〕〔2〕〔3〕例2、設(shè)，求？[]例3、設(shè)[略]例4、設(shè)？[]二、高階導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。說明：求高階導(dǎo)數(shù)就是反復(fù)利用求一階導(dǎo)數(shù)的方法即可。例5、求以下函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)？(1)(2)(3)例6、設(shè)？例7、求和的n階導(dǎo)數(shù)？例8、求的n階導(dǎo)數(shù)？[]例9、求的n階導(dǎo)數(shù)？[]三、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義〔復(fù)習(xí)〕設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)，那么表示物體在時(shí)刻t的加速度。例10、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：時(shí)的速度和加速度？探究題：〔股票走勢〕設(shè)代表某日某公司在時(shí)刻的股票價(jià)格，試根據(jù)以下情形判定的一階、二階導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)號：〔1〕股票價(jià)格上升得越來越快；[]〔2〕股票價(jià)格接近最低點(diǎn)。[]思考題：某公司的一次廣告促銷活動(dòng)中，銷量提高了，但銷量關(guān)于時(shí)間的曲線是凹的，這說明該公司的經(jīng)營情況如何？為什么？假設(shè)曲線是凸的呢？[說明銷量增長速度很快]小結(jié)：理解高階導(dǎo)數(shù)的"遞歸定義法〞〔即，高一階導(dǎo)數(shù)是通過低一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)而來〕；一階導(dǎo)數(shù)的符號可以反映事物是增長還是減少；二階導(dǎo)數(shù)的符號那么說明增長或減少的快慢。作業(yè)：P59〔A：2-3；B：1〕課堂練習(xí)〔復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)二〕【A組】1、求以下導(dǎo)數(shù)〔1〕〔2〕〔3〕2、求以下函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)3、驗(yàn)證函數(shù)4、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求物體在t=0時(shí)的速度和加速度？5、設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且，求？6、設(shè)周期函數(shù)f(x)在R可導(dǎo)，周期為4，又，那么曲線y=f(x)在點(diǎn)〔5,f(5)〕的切線斜率為2。【B組】1、設(shè)？[1]2、假設(shè)，求？[6]3、求的n階導(dǎo)數(shù)？[變形]第十一講隱函數(shù)求導(dǎo)、對數(shù)求導(dǎo)法教學(xué)目的：掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，了解對數(shù)求導(dǎo)法。重難點(diǎn)：隱函數(shù)的求導(dǎo)法教學(xué)程序：隱函數(shù)的概念—>隱函數(shù)的求導(dǎo)方法〔舉例說明〕—>對數(shù)求導(dǎo)法〔例子〕—>參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)—>例子授課提要：一、隱函數(shù)概念自變量與因變量的函數(shù)關(guān)系由方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)。如：等所確定的y是x的隱函數(shù)。說明：有些隱函數(shù)可化成顯函數(shù)，但更多的不能化成顯函數(shù)；同時(shí)應(yīng)明確并非任意一個(gè)方程都能確定一個(gè)隱函數(shù)。二、隱函數(shù)的求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)方法：在方程的兩邊各項(xiàng)分別對x求導(dǎo)，視y為x的函數(shù)，按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么求導(dǎo)，最后解出y'即可。例1、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例2、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例3、求隱函數(shù)在點(diǎn)〔0，1〕的導(dǎo)數(shù)值？[1/e]說明：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般是含x和y的表達(dá)式。例4、求曲線在點(diǎn)〔1，1〕處的切線方程？三、對數(shù)求導(dǎo)法對于冪指函數(shù)(其中u,v是x的函數(shù)〕，或由多項(xiàng)式乘除運(yùn)算和乘方、開方所得函數(shù)的求導(dǎo)，其方法：應(yīng)先對方程兩邊取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)。〔即先取對數(shù)，后求導(dǎo)數(shù)〕例5、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例6、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)"例7、求導(dǎo)數(shù)：*四、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)，且函數(shù)的反函數(shù)存在，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得：說明：參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)一般是含參變量t的表達(dá)式。例8、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？思考題：1、如何求的導(dǎo)數(shù)？[兩次取對數(shù)后再求導(dǎo)數(shù)]2、求的導(dǎo)數(shù)？[先區(qū)對數(shù)再求導(dǎo)數(shù)]3、一球形細(xì)胞以/天增長體積，當(dāng)3的半徑為時(shí)，其半徑增長速度是多少？[]小結(jié)：隱函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵：〔1〕明確方程中是的函數(shù)，即；〔2〕方程中各項(xiàng)最終是關(guān)于求導(dǎo)；〔3〕解出〔一般是含的表達(dá)式〕。參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)：其公式是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么推導(dǎo)得來。作業(yè)：P62〔A：2-3；B：1-2〕課堂練習(xí)〔隱函數(shù)求導(dǎo)〕【A組】1、求以下隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)2、求由方程所確定的函數(shù)y在點(diǎn)〔0，1〕處的導(dǎo)數(shù)？3、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？[]4、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為：，求(1)物體任意時(shí)刻的速度和加速度？(2)何時(shí)速度為0？(3)何時(shí)加速度為0？*5、求以下導(dǎo)數(shù)〔1〕〔2〕【B組】1、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程所確定，求？2、求隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)？3、確定a,b,c的值，使拋物線與曲線在x=0處相交，并具有一樣的一、二階導(dǎo)數(shù)。4、設(shè)5、設(shè)。*6、證明：曲線上任一點(diǎn)的切線所截二坐標(biāo)軸的截距之和等于1。*7、，求。歸納總結(jié)：初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及附近有定義，求函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)步驟：〔1〕求函數(shù)增量：；〔2〕求比值：；〔3〕求極限：或。2、根本導(dǎo)數(shù)公式〔常用〕3、四那么運(yùn)算法那么〔可導(dǎo)〕；；4、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)復(fù)合成函數(shù)，那么或5、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù)，那么6、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)是由參數(shù)方程確定，那么第十二講習(xí)題課〔函數(shù)求導(dǎo)的方法〕教學(xué)目的：系統(tǒng)化本單元容，系統(tǒng)掌握函數(shù)的求導(dǎo)方法。一、函數(shù)求導(dǎo)的根本方法：1、由定義求導(dǎo)〔三步驟〕；2、根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與法那么；3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法〔連鎖法那么〕；4、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法、對數(shù)求導(dǎo)法、*參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)5、求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。二、基此題型：1、求以下導(dǎo)數(shù)〔1〕〔2〕〔3〕2、求以下導(dǎo)數(shù)〔1〕〔2〕〔3〕3、求以下函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)4、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求物體在t=0時(shí)的速度和加速度？5、設(shè)，求？6、設(shè)？7、設(shè)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且，求曲線在點(diǎn)處的切線方程？8、求以下隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)9、求由方程所確定的函數(shù)y在點(diǎn)〔0，1〕處的導(dǎo)數(shù)？10、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？11、，求？三、微積分的開展史〔1615—1883年〕我絕對相信歷史事實(shí)是一種出色的教育指南——M.Kline1615年，德國的開卜勒發(fā)表"酒桶的立體幾何學(xué)"，研究了圓錐曲線旋轉(zhuǎn)體的體積。1635年，意大利的卡瓦列利發(fā)表"不可分連續(xù)量的幾何學(xué)"，書中防止無窮小量，用不可分量制定了一種簡單形式的微積分。1637年，法國的笛卡爾出版"幾何學(xué)"，提出了解析幾何，把變量引進(jìn)數(shù)學(xué)，成為"數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)〞。1638年，法國的費(fèi)馬開場用微分法求極大、極小問題。1638年，意大利的伽利略發(fā)表"關(guān)于兩種新科學(xué)的數(shù)學(xué)證明的論說"，研究距離、速度、加速度之間的關(guān)系，提出了無窮集合的概念，這本書被認(rèn)為是伽利略重要的科學(xué)成就。1665-1676年，牛頓〔1665-1666年〕先于萊布尼茨〔1673-1676年〕制定了微積分，萊布尼茨〔1684-1686年〕早于牛頓〔1704-1736年〕發(fā)表了有關(guān)微積分的著作。1684年，德國的萊布尼茨發(fā)表了關(guān)于微分法的著作"關(guān)于極大極小以及切線的新方法"。1686年，德國的萊布尼茨發(fā)表了關(guān)于積分法的著作。1691年，瑞士的約.貝努利出版"微分學(xué)初步"，這促進(jìn)了微積分在物理學(xué)和力學(xué)上的應(yīng)用及研究。1696年，法國的洛比達(dá)創(chuàng)造求不定式極限的"洛比達(dá)法那么〞。1697年，瑞士的約.貝努利解決了一些變分問題，發(fā)現(xiàn)最速下降線和測地線。1704年，英國的牛頓發(fā)表"三次曲線枚舉"、"利用無窮級數(shù)求曲線的面積和長度"、"流數(shù)法"。1711年，英國的牛頓發(fā)表"使用級數(shù)、流數(shù)等的分析"。1715年，英國的布.泰勒發(fā)表"增量方法及其他"。1731年，法國的克雷洛出版"關(guān)于雙重曲率的曲線的研究"，這是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試。第十三講函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)目的：掌握函數(shù)單調(diào)性的判別法，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。重難點(diǎn)：單調(diào)性判別法教學(xué)程序：簡介微分中值定理—>復(fù)習(xí)單調(diào)性的定義—>單調(diào)性的判定〔導(dǎo)數(shù)〕—>求單調(diào)區(qū)間〔例子〕——>歸納總結(jié)解題步驟授課提要：一、拉格郎日中值定理xyabPOAB假設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，那么在xyabPOAB說明：(1)此定理是微積分學(xué)的重要定理，它準(zhǔn)確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上的平均變化率和函數(shù)在該區(qū)間某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系，它是用函數(shù)的局部性來研究函數(shù)的整體性的重要工具。(2)此定理是充分而不必要的。例1、驗(yàn)證：函數(shù)是否滿足拉格郎日的條件，假設(shè)滿足，求出？[任取閉區(qū)間]例2、證明：[用Lagrange定理]二、羅比達(dá)法那么〔表達(dá)〕1、使用條件：〔1〕屬于的不定式；〔2〕導(dǎo)數(shù)的極限存在；2、使用方法：先求導(dǎo)數(shù)，后求極限；滿足條件時(shí)可連續(xù)使用。例2、求以下極限〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕三、函數(shù)的單調(diào)性及判定〔一階導(dǎo)數(shù)〕1、復(fù)習(xí)單調(diào)性的概念：〔略〕2、作圖說明函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有關(guān)：〔作圖演示〕3、單調(diào)性判定定理：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)(1)假設(shè),那么f(x)在〔a,b〕單調(diào)增加；(2)假設(shè),那么f(x)在〔a,b〕單調(diào)減少；(3)假設(shè),那么在〔a,b〕，f(x)=C。例3、判定的單調(diào)性？例4、判定函數(shù)的單調(diào)性？四、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間1、駐點(diǎn)的概念〔一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)〕2、求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求出的點(diǎn)和不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)將定義域區(qū)間分成假設(shè)干局部區(qū)間；(3)列表討論函數(shù)在各局部區(qū)間上的單調(diào)性。例5、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？例6、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？例7、證明：當(dāng)〔作輔助函數(shù)〕思考題：1、用洛必達(dá)法那么求極限時(shí)應(yīng)注意什么？[注意使用條件]2、試用Lagrange中值定理證明函數(shù)單調(diào)性的判定定理。小結(jié)：微分中值定理是連接函數(shù)"局部性質(zhì)與整體性質(zhì)〞的橋梁。表達(dá)了局部與整體本質(zhì)上的部聯(lián)系。作業(yè)：P72〔A：1〕課堂練習(xí)〔函數(shù)的單調(diào)性〕【A組】1、證明函數(shù)在區(qū)間〔0，+∞〕單調(diào)遞增？2、求函數(shù)的駐點(diǎn)？3、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？4、證明不等式：5、判定正誤：(1)假設(shè)f(x)在(a,b)單調(diào)遞增，那么-f(x)在〔a,b〕單調(diào)遞減?！睺〕(2)假設(shè)，那么x0必為駐點(diǎn)?！睺〕(3)假設(shè)x0為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)，那么曲線f(x)在點(diǎn)〔x0，f(x0)〕處的切線方程為〔T〕【B組】1、證明函數(shù)在〔-∞，0〕單調(diào)遞增。2、設(shè)函數(shù)間的關(guān)系？3、證明：函數(shù)在有唯一實(shí)根。4、設(shè)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且單調(diào)增加。5、設(shè)函數(shù)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，求極限：？[-1]*6、求證：方程提示：作新函數(shù)，用根存在定理和單調(diào)性證明。數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：微分中值定理的幾何直觀1、比擬羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的幾何意義當(dāng)函數(shù)以參數(shù)方程給定，曲線上點(diǎn)的切線斜率為，端點(diǎn)連線的斜率為，于是由Lagrange定理得Cauchy定理。yyTTBPBPAAxxg(a)g(b)Og(a)g(b)O2、單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的幾何直觀第十四講函數(shù)的極值教學(xué)目的：理解極值的定義，掌握函數(shù)極值的求法。重難點(diǎn)：極值概念及求法教學(xué)程序：極值的概念—>極值存在的必要條件—>極值存在的充分條件〔第一、第二充分條件〕—>求函數(shù)的極值〔例子〕——>歸納總結(jié)解題步驟授課提要：一、函數(shù)的極值1、定義：〔略〕〔作圖直觀理解〕說明：(1)極值是一個(gè)局部概念；(2)極值點(diǎn)是函數(shù)增減或減增的分界點(diǎn)。2、極值存在的必要條件假設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)取極值，那么不存在。說明：(1)假設(shè),不一定是極值點(diǎn)。如：在x=0處。(2)假設(shè)不存在，也可能是極值點(diǎn)。如：在x=0處。二、極值存在的第一充分條件〔一階導(dǎo)數(shù)法：略〕例1、求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值？例2、求的單調(diào)區(qū)間和極值？三、極值存在的第二充分條件〔二階導(dǎo)數(shù)法〕設(shè)f(x)在點(diǎn)有一、二階導(dǎo)數(shù)，且，那么(1)假設(shè),那么f(x0)為極小值；(2)假設(shè),那么f(x0)為極大值。例3、求函數(shù)的極值？例4、求函數(shù)的極值？四、求函數(shù)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)定義域；(2)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，確定駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(3)用極值的第一或第二充分條件確定極值點(diǎn)；(4)把極值點(diǎn)代入原函數(shù)f(x)，求出極值并指明是極大還是極小。說明：利用第一、二充分條件都可判定函數(shù)的極值，但必須注意適用圍。例5、試問a為何值時(shí)，函數(shù)處取得極值？是極大值還是極小值？并求極值？思考題：1、可能極值點(diǎn)有哪幾種？[駐點(diǎn)或不存在的點(diǎn)]2、如何判定可能極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？[兩個(gè)極值存在的充分條件]小結(jié)：函數(shù)的極值是指函數(shù)的局部性質(zhì)〔小圍〕，表達(dá)了事物的"相對性〞。作業(yè)：P72〔A：2；B：2〕課堂練習(xí)〔函數(shù)的極值〕【A組】1、求函數(shù)的極值？2、求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(1)(2)3、設(shè)函數(shù)在x=1處有極值-2，求a,b的值？4、求函數(shù)的極值？5、判定正誤：(1)假設(shè)x0為極值點(diǎn)，且曲線在x0處有切線，那么切線平行于x軸。[T](2)假設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)可導(dǎo)，且有唯一駐點(diǎn)，那么此駐點(diǎn)必是極值點(diǎn)。[F](3)假設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)只有唯一駐點(diǎn)x0,那么f(x0)就是f(x)的最值。[F]【B組】1、求函數(shù)的極值？2、設(shè)y=y(x)由方程所確定，求y=y(x)的駐點(diǎn)，并判別其是否為極值點(diǎn)？[二階導(dǎo)數(shù)法]3、y=f(x)對一切x滿足那么〔B〕A、f(x0)是f(x)的極大值B、f(x0)是f(x)的極小值C、點(diǎn)〔x0,f(x0))是拐點(diǎn)D、都不是數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：導(dǎo)函數(shù)的圖像與極值第十五講曲線的凹凸性教學(xué)目的：理解凹凸性的定義，會(huì)求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。重難點(diǎn)：求曲線的凹凸區(qū)間教學(xué)程序：凹凸性的概念—>凹凸性的判定—>求凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)—>應(yīng)用授課提要：一、凹凸的概念1、在區(qū)間上作函數(shù)的圖像?！脖葦M曲線的變化〕說明：對函數(shù)的研究來說，僅有單調(diào)性、極值是不夠的。2、定義：〔略〕〔通過曲線與切線的位置關(guān)系定義〕說明：(1)注意拐點(diǎn)的定義〔凹與凸的分界點(diǎn)，即二階駐點(diǎn)〕；(2)凹凸性可看成二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。二、凹凸性判定定理：假設(shè)函數(shù)在有二階導(dǎo)數(shù)，且對于任意有〔1〕，那么在是凹的；〔2〕，那么在是凸的；〔3〕凹與凸的分界點(diǎn)，稱為拐點(diǎn)。例1、求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)？例2、求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)？三、求曲線凹凸區(qū)間的步驟〔比擬求單調(diào)區(qū)間與極值的步驟〕〔1〕求；〔2〕求二階駐點(diǎn)和二階奇點(diǎn)；〔3〕分段〔區(qū)間〕討論凹凸性、確定拐點(diǎn)。例3、求曲線的單調(diào)和凹凸區(qū)間，極值與拐點(diǎn)？四、凹凸性的應(yīng)用〔1〕由曲線的凹凸性可知函數(shù)增長和減少的快慢程度。例4、某公司的一次廣告促銷活動(dòng)中，銷量提高了，但銷量關(guān)于時(shí)間的曲線是凹的，這說明該公司的經(jīng)營情況如何？為什么？假設(shè)曲線是凸的呢？[說明銷量增長速度很快]〔2〕了解曲線的凹凸性便于作函數(shù)的圖像。例5、作函數(shù)的圖像？思考題：1、畫出的圖像，說明函數(shù)遞增最快的點(diǎn)和遞增最慢的點(diǎn)？[參見教材P76]小結(jié)：曲線的凹凸性說明函數(shù)的遞增〔或遞減〕的快慢程度，它是指一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性。作業(yè)：P77〔A：1-2；B：1〕課堂練習(xí)〔曲線的凹凸性〕【A組】1、求以下曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)：〔1〕〔2〕2、求曲線的單調(diào)和凹凸區(qū)間，極值與拐點(diǎn)？3、點(diǎn)〔1，2〕為曲線的拐點(diǎn)，求a,b的值？【B組】1、證明曲線有三個(gè)拐點(diǎn)，且其在一條直線上。2、作以下函數(shù)的圖像：〔1〕〔2〕第十六講函數(shù)的最值教學(xué)目的：理解最值的概念，會(huì)求簡單實(shí)際問題的最值。重難點(diǎn)：求函數(shù)的最值教學(xué)程序：最值的概念—>最值求法〔比擬法〕—>兩種特殊情況的最值—>實(shí)際問題的最值〔例子〕——>數(shù)學(xué)建模介紹〔最優(yōu)化〕授課提要：一、最值的定義〔略〕說明：最值是一個(gè)全局概念，是針對整個(gè)區(qū)間而言的。二、求連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上最值的一般方法〔比擬法〕。例1、求函數(shù)在[-2，2]上的最值？三、兩種特殊情況下求最值：(1)假設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)、單調(diào)，那么f(a),f(b)一定是最值；(2)假設(shè)f(x)在某一區(qū)間上僅有唯一駐點(diǎn)，且該駐點(diǎn)是極值點(diǎn)，那么此極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)。例2、求在[1，2]上和R上的最值？例3、求在[0，2]上的最值？四、最值應(yīng)用在用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題的最值時(shí)，假設(shè)所建立的函數(shù)在區(qū)間(a,b)只有唯一駐點(diǎn)，又根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，可以判定(a,b)必有最大〔最小〕值，且唯一駐點(diǎn)就是最值點(diǎn)，勿需進(jìn)展數(shù)學(xué)判定。例4、用邊長為48cm的正方形鐵皮作一個(gè)無蓋鐵盒，問在四周截去多大的四個(gè)一樣的小正方形后，才能使所作的鐵盒容積最大？例5、假設(shè)長方形周長一定時(shí)，何時(shí)面積最大？說明：際問題的最值時(shí)，很重要一點(diǎn)是確定所建立函數(shù)關(guān)系的定義域。例6、設(shè)總本錢和總收入由下式給出，其中，求獲得最大利潤的產(chǎn)量x"五、最優(yōu)化問題及數(shù)學(xué)建?！瞤71，例15〕求出某些量的最大和最小對于許多實(shí)際問題都很重要，如求時(shí)間最短、利潤最大、本錢最低等。相應(yīng)地，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題幾乎都是優(yōu)化問題，或必須用優(yōu)化思想、方法去分析解決問題。例7、大佛通高71米，假設(shè)乘船欣賞大佛的游人眼睛在大佛腳底水平線下1米，為得到欣賞大佛的最正確視角〔應(yīng)使視角最大〕，這時(shí)游人離大佛〔中心線〕有多遠(yuǎn)的水平距離？[8.5米]思考題：畫圖說明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的極值與最值之間的關(guān)系。[局部與整體]小結(jié)：函數(shù)的最值指函數(shù)的區(qū)間特性。對于某個(gè)區(qū)間，它是絕對的，對于不同的區(qū)間，它是相對的；表達(dá)了"絕對性〞與"相對性〞的辨證統(tǒng)一。作業(yè)：P82〔A：1-3〕；P78〔最優(yōu)化問題〕。課堂練習(xí)〔函數(shù)的最值〕【A組】1、求以下最值：(1)(2)2、某企業(yè)生產(chǎn)每批某產(chǎn)品x單位的總本錢，得到的總收入，為提高經(jīng)濟(jì)效益，每批生產(chǎn)多少時(shí)，才能使總利潤最大？*3、某工程的利潤有兩個(gè)方案可供選擇，它們的關(guān)系分別為：，，其中t為時(shí)間，問t=1時(shí)，哪個(gè)方案最優(yōu)？[二階導(dǎo)數(shù)]【B組】1、設(shè)y=y(x)由方程所確定，求y=y(x)的駐點(diǎn)，并判別其是否為極值點(diǎn)？2、某公司在市場上推出一種產(chǎn)品時(shí)發(fā)現(xiàn)需求量由方程確定，總收益，且生產(chǎn)x單位的本錢為，求獲得最大利潤的單位價(jià)格p？3、將10分成兩個(gè)正數(shù)，使其平方和最小？4、試求接于半徑為厘米的圓的周長最大的矩形的邊長？數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：函數(shù)的極值與最值幾何直觀1、最值與極值：2、從二階導(dǎo)函數(shù)的圖像討論曲線的凹凸性：第十七講微分〔一〕教學(xué)目的：理解微分的概念，會(huì)求初等函數(shù)的微分。重難點(diǎn)：微分的定義、微分的形式不變性教學(xué)程序：問題引進(jìn)—>微分定義—>可導(dǎo)與可微—>微分公式—>復(fù)合函數(shù)的微分〔形式不變性〕—>求微分舉例x0xx一、微分定義1、問題：一塊正方形鐵皮受溫度變化的影響，其邊長由變化到時(shí)，其面積改變了多少？解：當(dāng)較小時(shí)，。2、定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，那么稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的微分，記dy，即，一般地，。假設(shè)令,那么,所以,即。(dx稱為自變量的微分)說明：〔1〕函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上自變量的微分?！?〕說明微分、微商符號的含義。例1、設(shè),當(dāng)時(shí)，求dy和△y"例2、求以下函數(shù)的微分：(1)(2)(3)二、可微與可導(dǎo)之間的關(guān)系定理：假設(shè)函數(shù)f(x)在某點(diǎn)可微，那么函數(shù)在這點(diǎn)可導(dǎo)；反之，結(jié)論成立。說明：此定理僅對一元函數(shù)成立。例3、討論函數(shù)y=|x-1|在x=1處的可微性？〔可導(dǎo)性〕三、微分的幾何意義設(shè)y=f(x)，那么dy等于曲線在點(diǎn)〔x,y〕處的切線的縱坐標(biāo)的增量。〔作圖〕四、微分根本公式由和導(dǎo)數(shù)根本公式得到微分根本公式。〔略〕五、復(fù)合函數(shù)的微分設(shè)y=f(u),u=g(x)復(fù)合而成函數(shù)y=f[g(x)]，那么說明：不管u是中間變量還是自變量，微分的形式都可表示為:〔一階微分的形式不變性〕例4、填空(1)(2)(3)(4)(5)(6)例5、求以下函數(shù)的微分：(1)(2)(3)例6、求函數(shù)在x=0和x=1處的微分？思考題：1、答復(fù)以下問題：(1)f(x)在點(diǎn)x0的微分是否是一個(gè)函數(shù)？[是](2)f(x)在(a,b)上可微，f(x)的微分隨哪些變量變化？[](3)du與△u是否相等？[u為中間變量時(shí)不相等]2、可導(dǎo)與可微有何關(guān)系？其幾何意義分別表示什么？有何區(qū)別？[等價(jià)]3、在一點(diǎn)可微，可導(dǎo)，連續(xù)間有何關(guān)系？小結(jié)：微分的本質(zhì)：函數(shù)增量的線性主部，是函數(shù)局部線性化的依據(jù)。作業(yè)：P87〔A：1-3〕課堂練習(xí)〔微分一〕【A組】1、填空(1)(2)(3)(4)(5)(6)2、當(dāng)x從0變到0.01時(shí)，求函數(shù)y=ex的近似值？3、求以下函數(shù)的微分(1)(2)(3)4、當(dāng)自變量x有改變量△x時(shí)，問△y,分別表示什么含義？【B組】1、作兩個(gè)圖，分別表示和？2、設(shè)f(x)可微，求的微分？3、設(shè)，那么=。數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：函數(shù)微分量與增量的圖像比擬1、微分量與增量：PPQ2、微分思想："以直代曲〞的幾何意義。在上圖中，在x的附近，可以用切線PT代替曲線PQ，即3、用多項(xiàng)式近似函數(shù)〔泰勒公式〕：〔〕近似多項(xiàng)式：〔在x=0處展開〕第十八講微分〔二〕教學(xué)目的：熟悉湊微分式，了解微分的簡單應(yīng)用。重難點(diǎn)：湊微分式，微分的應(yīng)用教學(xué)程序：湊微分式〔填空〕—>微分的應(yīng)用—>近似計(jì)算—>例子授課提要：一、湊微分式例1、填空：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)二、微分應(yīng)用1、利用微分求導(dǎo)數(shù)〔微分的形式不變性〕對于隱函數(shù)的求導(dǎo)，我們可以在方程的兩邊求微分，通過求微商而求出導(dǎo)數(shù)。例2、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例3、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？2、近似公式由微分的定義知，當(dāng)，于是有近似公式：例4、求近似值：？例5、球殼外徑為20厘米，厚度為2毫米，求球殼體積的近似值？在上面公式中，取例6、當(dāng)x較小時(shí)，證明以下公式：(1)(2)*3、泰勒公式〔選講〕設(shè)函數(shù)f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么例7、用泰勒公式求極限：[1/2]提示：探究題：某一反應(yīng)放大電路，設(shè)其開環(huán)電路的放大倍數(shù)為，閉環(huán)電路的放大倍數(shù)為，它們二者的函數(shù)關(guān)系為：，當(dāng)時(shí)，由于受環(huán)境溫度變化的影響，變化了10%，求的變化是多少？的相對變化量又是多少？小結(jié)：掌握微分的應(yīng)用——近似計(jì)算，熟練"湊微分〞式子。作業(yè)：P87〔A：5；B：2-3〕課堂練習(xí)〔微分二〕【A組】1、填空(1)(2)(3)(4)(5)(6)2、求，的近似值？3、證明近似公式：(1)(2)4、正方體鐵箱外沿為1米，鐵皮厚為2毫米，求裝進(jìn)液體體積的近似值？【B組】1、設(shè)函數(shù)在[0，1]上可微，對[0，1]上的任意x有0<f(x)<1，且，試證在〔0，1〕有且只有一個(gè)x使f(x)=x.2、設(shè)，其中f(t)是二次可微函數(shù)，且，求y關(guān)于x的二階微分？3、用泰勒公式求極限：？提示：4、求隱函數(shù)：在點(diǎn)(0,1)的微分？第十九講習(xí)題課〔導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、微分〕教學(xué)目的：系統(tǒng)化本單元容，掌握根本概念與方法。一、根本概念拉格郎日定理、單調(diào)性、極值、最值、微分二、根本法那么1、拉格郎日定理2、洛比達(dá)法那么〔求極限的方法〕3、極值存在的充分條件4、單調(diào)性的判別法5、最值的求法6、微分的應(yīng)用三、典型例題1、求以下極限：(1)(2)(3)2、證明：。3、證明：。4、設(shè)f(x)在定義域可導(dǎo)，假設(shè)f(x)為偶函數(shù)，那么f'(x)為奇函數(shù)。5、證明：方程在有3個(gè)實(shí)數(shù)根。6、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？7、求的極值？8、求曲線的單調(diào)區(qū)間與極值，凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)？9、容積為16π立方分米的圓柱形罐頭盒，怎樣設(shè)計(jì)才能使用料最?。?0、設(shè)函數(shù)在[0，1]上可導(dǎo)，對[0，1]上的任意x有0<f(x)<1，且，試證在〔0，1〕有且只有一個(gè)x使f(x)=x11、填空(1)(2)(3)(4)(5)(6)12、證明近似公式：〔當(dāng)|x|較小時(shí)〕(1)(2)〔3〕13、求以下函數(shù)的微分：(1)(2)(3)14、，求？15、設(shè)提示：四、提示與提高1、洛比達(dá)法那么求極限的考前須知〔1〕只有滿足定理?xiàng)l件時(shí)，才能使用。例1、求極限？〔不滿足條件〕〔2〕用一次法那么后，假設(shè)算式比擬繁瑣應(yīng)進(jìn)展化簡；假設(shè)算式中有非未定式，應(yīng)將其別離出來，并算出結(jié)果。例2、求極限？2、證明不等式的方法〔拉格郎日定理、函數(shù)的單調(diào)性〕在使用函數(shù)單調(diào)性證明不等式中，假設(shè)的符號不能明顯確定，那么需進(jìn)一步確定的單調(diào)性〔即在某一局部區(qū)間上的符號。例3、證明當(dāng)3、際問題的最值時(shí)：〔1〕分析問題，建立目標(biāo)函數(shù)，并確定定義域；〔2〕求解極值問題。例4、用長200的線構(gòu)成一個(gè)正方形和一個(gè)圓形，問如何分配才能使其構(gòu)成的圖形面積之和最??？第二十講不定積分的概念、直接積分法教學(xué)目的：理解不定積分的概念，掌握根本積分公式及運(yùn)算法那么。重難點(diǎn)：不定積分的概念、根本積分公式教學(xué)程序：積分問題〔微分的逆問題〕—>原函數(shù)—>不定積分—>性質(zhì)—>根本積分公式—>直接積分法—>例子。授課提要：一、不定積分的概念1、積分←→微分〔互逆問題〕如：，求f(x)"2、原函數(shù)定義：〔略〕例1、，求F(x)？說明：一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不唯一，各原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)。3、原函數(shù)存在定理：〔閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)〕結(jié)論：初等函數(shù)在其定義區(qū)間上一定有原函數(shù)。4、不定積分：原函數(shù)的全體。記：(說明符號意義)說明：〔1〕由定義知，求不定積分就是求原函數(shù)再加上任意常數(shù)即可；〔2〕積分號"〞是一種運(yùn)算符號，它表示對函數(shù)求其全部原函數(shù)．所以在不定積分的結(jié)果中不能漏寫C．例2、求不定積分：(1)；(2)；(3)二、不定積分的性質(zhì)〔表達(dá)了微分與積分在運(yùn)算上的互逆性〕(1)(2)例3、判斷正誤：(1)；(2)；(3)三、不定積分根本公式：由不定積分定義和根本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式得到?！才e例說明〕例4、求以下積分：(1)(2)(3)(4)四、直接積分法〔包括：積分公式、代數(shù)變形、三角變形等〕1、積分根本公式：〔略P84〕2、積分的運(yùn)算法那么：；例5、求以下積分：(1)(2)(3)(4)思考題：1、在不定積分的性質(zhì)中，為何要求？[等式不成立]2、假設(shè)的一個(gè)原函數(shù)的，那么為何？[]小結(jié)：與求導(dǎo)數(shù)相比擬，求不定積分更具有技巧和靈活性，往往對被積函數(shù)作恒等變形，轉(zhuǎn)化為根本公式中的積分形式后再計(jì)算，所以熟練根本積分公式是求不定積分的關(guān)鍵和重點(diǎn)。作業(yè)：P96〔A：1-2；B：1〕課堂練習(xí)〔不定積分的概念〕【A組】1、2、判定正誤：(1)(2)(3)3、求以下積分：(1)(2)(3)(4)(5)4、物體的速度，當(dāng)t=1時(shí)，物體經(jīng)過的路程為3，求物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律？【B組】1、設(shè)，求f(x)"2、某產(chǎn)品邊際本錢〔萬元〕，邊際收益〔萬元〕，其中x為產(chǎn)量，固定本錢為1萬元，求這種產(chǎn)品的利潤函數(shù)？3、假設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為，求：(1)；(2)？第二十一講換元積分法〔一〕教學(xué)目的：掌握第一類換元積分法〔湊微分法〕。重難點(diǎn)：第一類換元積分法〔湊微分〕教學(xué)程序：問題〔復(fù)合函數(shù)的積分〕—>直接換元—>湊微分—>復(fù)習(xí)湊微分式子—>湊微分舉例—>課堂練習(xí)授課提要：一、換元積分法問題：如何求積分：,等顯然，用直接積分法無法解決此類積分，必須引入新積分法換元積分。1、一般地，設(shè)F(u)是f(u)的原函數(shù)，且u=g(x)可導(dǎo)，那么有湊微分換元回代說明：在換元積分中，最后結(jié)果一定要將新變量換成原來的積分變量。例1、求以下不定積分：〔換元〕(1)(2)(3)2、湊微分：在上述的換元積分中，由于,所以〔湊微分〕說明：與換元積分法比擬，湊微分省略了"換元、回代〞兩步，所以湊微分更簡單一些，其關(guān)鍵在于"湊微分〞。例2、求以下不定積分：〔湊微分〕(1)(2)(3)(4)二、在湊微分時(shí)，常用以下微分式子：三、求以下不定積分：1、2、3、4、5、6、例3、證明：假設(shè)，那么思考題：1、如何換元？其規(guī)律是什么？[教材P87]2、換元的類型與規(guī)律是什么？[教材P88]探究題：簡述換元積分法的特點(diǎn)，并說明此方法在生活中給我們什么啟示？小結(jié)：本講讓學(xué)生掌握不定積分的湊微分法；要求學(xué)生多加練習(xí)方能較好地掌握。注意：第一類換元積分法〔湊微分〕主要用于求被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的不定積分問題，實(shí)質(zhì)上是對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么的逆運(yùn)算。作業(yè)：P102〔A：2-3〕課堂練習(xí)〔換元積分一〕【A組】1、填空：2、求以下不定積分：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕3、求以下不定積分：(1)(2)(3)(4)(5)4、設(shè)，求？【B組】1、求以下不定積分：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕3、求不定積分：〔1〕〔2〕4、設(shè)，求？5、設(shè)函數(shù)，求？第二十二講換元積分法〔二〕教學(xué)目的：熟練掌握湊微分法，了解第二類換元積分法。重難點(diǎn)：第一類換元積分法〔湊微分〕教學(xué)程序：湊微分舉例—>第二類換元積分—>根式換元(例)—>三角換元〔例〕授課提要：一、復(fù)習(xí)湊微分式子〔略〕二、湊微分舉例求以下不定積分：(1)(2)(3)(4)(5)三、第二類換元積分法〔包括根式換元、三角換元〕求以下不定積分：(1)(2)(3)(4)(5)(6)說明：1、當(dāng)被積函數(shù)中含有x的根式時(shí)，一般可作根式換元去掉根式，從而得到積分。2、三角換元用于(1)被積函數(shù)中含有，令x=asint或x=acost；(2)被積函數(shù)中含有，令x=atant或x=acott；(3)被積函數(shù)中含有，令x=asect或x=acsct．思考題：1、第一換元法〔即湊微分法〕與第二換元法的區(qū)別是什么？[順序相反]2、第二換元法有何規(guī)律可尋？[三角與根式換元]小結(jié)：本講讓學(xué)生掌握簡單函數(shù)的第二類換元積分。注意：第二類換元積分法主要用于被積函數(shù)中含有根式的情況，換元的目的是去掉根號。作業(yè)：P102〔B：1-2〕課堂練習(xí)〔換元積分二〕【A組】1、求以下不定積分：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕2、設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為，那么？【B組】1、填空：〔1〕求積分作代換x=；〔2〕求積分作代換x=；〔3〕求積分作代換x=；2、求積分：(1)(2)(3)(4)(5)(6)第二十三講分部積分法教學(xué)目的：掌握分部積分法。重難點(diǎn)：分部積分公式、分部積分法中u和dv的選擇。教學(xué)程序：問題〔乘積的積分〕—>分部積分公式〔推導(dǎo)〕—>分類舉例使用分部積分法—>歸納總結(jié)積分技巧。授課提要：一、問題：如何求,,等積分？二、分部積分公式：〔乘積的微分公式的逆運(yùn)算〕例1、求"(選x作為u,選exdx作為dv)說明：正確使用分部積分的關(guān)鍵是：適中選擇u和dv.一般考慮兩點(diǎn)：(1)v要容易求得；(2)較更易積分。三、舉例：〔三種類型的積分〕(1)被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)或三角函數(shù)的乘積，選冪函數(shù)為u；(2)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)或反三角函數(shù)的乘積，選對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u；(3)循環(huán)積分：經(jīng)過有限次分部積分后，等式中出現(xiàn)一樣積分式。分部積分法中u、v選擇的規(guī)律：被積表達(dá)式(Pn(x)為多項(xiàng)式)u(x)dvPn(x)sinaxdx，Pn(x)cosaxdx，Pn(x)eaxdxPn(x)sinaxdx，cosaxdx，eaxdxPn(x)lnxdx，Pn(x)arcsinxdx，Pn(x)arctanxdxlnx，arcsinx，arctanxPn(x)dxeaxsinbxdx，eaxcosbxdxeax，sinbx，cosbx均可選作u(x)，余下作為dv例2、求以下不定積分：1、2、3、4、5、6、7、例3、設(shè)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，求？[兩次使用分部積分]例4、設(shè)，求？[先換元再積分]例5、設(shè)[令lnx=t]四、總結(jié)求不定積分得一些技巧：求不定積分方法：考慮直接積分==="湊微分==="分部積分即：(1)首先考慮能否直接用積分根本公式和性質(zhì)；(2)其次考慮能否用湊微分法；(3)再考慮能否用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q即第二類換元法；(4)對兩類不同函數(shù)的乘積，能否用分部積分法；(5)能否綜合運(yùn)用或反復(fù)使用上述方法；(7)另外還可使用簡明積分表獲得啟發(fā)，或者運(yùn)用MathCAD數(shù)學(xué)軟件包得到結(jié)果。思考題：1、應(yīng)用分部積分公式的關(guān)鍵是什么？對于積分，一般應(yīng)按什么樣的規(guī)律設(shè)和？[被積函數(shù)類型]2、比擬三類積分法的特點(diǎn)？[同類函數(shù)加減乘除、復(fù)合函數(shù)、不同類乘除]小結(jié)：本講讓學(xué)生掌握分部積分的方法。注意：分部積分法主要用于求被積函數(shù)是乘積的積分問題，實(shí)質(zhì)上是對函數(shù)乘積求導(dǎo)法那么的逆運(yùn)算。作業(yè)：P105〔A：1；B：1〕課堂練習(xí)〔分部積分法〕【A組】1、求以下不定積分：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕2、設(shè)〔令lnx=t〕【B組】1、求以下不定積分：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕2、計(jì)算[展開后使用分部積分]3、設(shè)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，求？4、設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，且時(shí)有F(0)=1，F(xiàn)(x)>0，求f(x)？第二十四講定積分的計(jì)算教學(xué)目的：掌握定積分的計(jì)算方法〔直接、湊微分、分部積分法〕。重難點(diǎn)：定積分的計(jì)算方法教學(xué)程序：復(fù)習(xí)N—L公式〔明確求定積分的步驟〕—>直接積分法—>湊微分法—>分部積分法—>兩個(gè)重要結(jié)論—>課堂練習(xí)授課提要：N--L公式：設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么定積分計(jì)算方法〔同不定積分方法一致〕一、直接積分法例1、求以下定積分〔1〕〔2〕〔3〕二、換元積分法〔湊微分〕例2、求以下定積分〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕說明：在定積分的換元積分中，換元時(shí)，積分限也要換。假設(shè)用湊微分法計(jì)算定積分時(shí)，就不用換積分限了?！步ㄗh：盡量使用湊微分法〕三、分部積分法例3、求以下定積分〔1〕〔2〕〔3〕四、兩個(gè)重要結(jié)論結(jié)論：設(shè)f(x)在區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，〔1〕假設(shè)f(x)為奇函數(shù)，那么；〔2〕假設(shè)f(x)為偶函數(shù)，那么。－a－axyOa－axyOa例4、利用上面結(jié)論求以下定積分：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕思考題：1、定積分與不定積分的換元法有何區(qū)別與聯(lián)系？[定積分換元換上下限]2、當(dāng)為積分區(qū)間上的分段函數(shù)時(shí)，問如何計(jì)算定積分？舉例說明。[利用可加性分成幾個(gè)定積分相加]探究題：1、〔人口統(tǒng)計(jì)〕某城市居民人口分布密度的數(shù)學(xué)模型為，其中〔km〕是離開市中心的距離，的單位是10萬人/km2，求在離市中心10km圍的人口數(shù)。2、〔環(huán)境污染〕某工廠排出大量廢氣，造成嚴(yán)重的空氣污染，假設(shè)第七年廢氣排放量為，求該廠在到年間排出的總廢氣量。小結(jié)：掌握求定積分的N-L公式；熟練掌握定積分的計(jì)算方法。作業(yè)：P