專題27 兩邊夾問題和零點相同問題（解析版）

專題27兩邊夾問題和零點相同問題參考答案與試題解析一．選擇題（共9小題）1．（2021春?湖州期末）若存在正實數(shù)，使得不等式成立，則A． B． C． D．【解答】解：記，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．記，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．由題意，又因為，所以，故．另解：正實數(shù)，，，令，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以（1），于是，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時不等式取等號，又，當(dāng)且僅當(dāng)時不等式取等號，，所以且，解得，所以．故選：．2．（2021?上饒二模）已知實數(shù)，滿足，則的值為A．2 B．1 C．0 D．【解答】解：不等式，化為，即，所以；設(shè)，，；則，所以時，，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，所以的最大值為（1）；又，所以時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，所以的最小值為；此時滿足，即；令，解得，所以．故選：．3．（2021?崇明區(qū)期末）若不等式對，恒成立，則的值等于A． B． C．1 D．2【解答】解：當(dāng)或時，，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于直線對稱，，，即，又，故．．故選：．4．（2021?嘉興期末）若不等式對，恒成立，則A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)或時，；當(dāng)時，，當(dāng)或時；當(dāng)時，，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于直線對稱，，，即，又，故．．故選：．5．（2021?杭州期末）若不等式對任意的，恒成立，則A． B．， C．， D．【解答】解：對任意，恒成立，當(dāng)時，不等式等價為，即，當(dāng)時，，此時，則，設(shè)，，若，則，函數(shù)的零點為，則函數(shù)在上，此時不滿足條件；若，則，而此時時，不滿足條件，故；函數(shù)在上，則，上，而在上的零點為，且在上，則，上，要使對任意，恒成立，則函數(shù)與的零點相同，即，，故選：．6．（2021?上城區(qū)校級期中）若在上始終成立，則的值為A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由在上成立，可得：△，解得：．經(jīng)過驗證只有時成立．下面給出證明：在上始終成立，，或時，，，此時成立．時，，，此時成立．因此只有時成立．故選：．7．（2021?寧波期末）已知函數(shù)，，，當(dāng)時，，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，，則在上為增函數(shù)，且（1），若當(dāng)時，則滿足當(dāng)時，，當(dāng)時，，即必需過點點，則（1），即，此時函數(shù)與滿足如圖所示：此時，則滿足函數(shù)的另外一個零點，即，故選：．8．（2021?衢州期中）已知，，當(dāng)時，，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，，則在上為增函數(shù)，且（1），若當(dāng)時，則滿足當(dāng)時，，當(dāng)時，，即必需過點點，則（1），即，此時函數(shù)與滿足如圖所示：此時，則滿足函數(shù)，即，故選：．9．（2021春?杭州期末）若不等式對任意實數(shù)恒成立，則A． B．0 C．1 D．2【解答】解：不等式對任意實數(shù)恒成立，由于的解集為，，可得在，恒成立，可得，且，即且，解得，又的解集為，，，可得在，，恒成立，可得，或，即或，解得，綜上可得，故選：．二．填空題（共21小題）10．（2021春?長沙期末）設(shè)，若時，均有，則．【解答】解：當(dāng)時，均有，（1）時，代入題中不等式，明顯不成立．（2），構(gòu)造函數(shù)，，它們都過定點．考查函數(shù)：令，得，，．考查函數(shù)，時均有，故的圖象經(jīng)過，代入得，，解之得：，或（舍去）．故答案為：．11．設(shè)，若時均有，則．【解答】解：（1）時，代入不等式，不等式明顯不成立．（2），構(gòu)造函數(shù)，，它們都過定點．考查函數(shù)，令，得，，因為，不等式成立；；考查函數(shù)，因為時均有，顯然此函數(shù)過點，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案為：．12．（2021春?西湖區(qū)校級期中）若，是實數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，，則．【解答】解：，（當(dāng)時取等號），，，此時時取等號，，（當(dāng)時取等號），，此時取等號，又，，故有且同時成立，解可得，，，此時．故答案為：13．（2021?北侖區(qū)校級期中）已知，為實數(shù)．不等式對一切實數(shù)都成立，則5．【解答】解：不等式對一切實數(shù)都成立，可得，由，當(dāng)或4時，取得等號，即最小值為0，所以，但，所以，則，，即，，所以，故答案為：5．14．設(shè)，若對任意的時均有，則．【解答】解：（1）時，代入題中不等式明顯不恒成立．（2），構(gòu)造函數(shù)，，它們都過定點．考查函數(shù)令，得，，；考查函數(shù)，時均有，過點，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案為：15．設(shè)，若時均有，則．【解答】解：構(gòu)造函數(shù)，，它們都過定點．考查函數(shù)，令，得，，由，則；考查函數(shù)，顯然過點，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案為：．16．（2012?浙江）設(shè)，若時，均有，則．【解答】解：（1）時，代入題中不等式明顯不成立．（2），構(gòu)造函數(shù)，，它們都過定點．考查函數(shù)：令，得，，；考查函數(shù)，時均有，過點，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案為：．17．（2013?浙江）設(shè)，，若時恒有，則等于．【解答】解：驗證發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，將1代入不等式有，所以，當(dāng)時，可得，結(jié)合可得，令，即（1），又，，令，可得，則在，上減，在，上增，又，所以，（1），又時恒有，結(jié)合（1）知，1必為函數(shù)的極小值點，也是最小值點．故有（1），由此得，，故．故答案為：．18．（2021?義烏市月考）已知，滿足在定義域上恒成立，則的值為0．【解答】解：令，解得或，依題意，函數(shù)的零點也為或，（因為的值域為，若函數(shù)的零點不為或，則必有解，則與題設(shè)矛盾．即，解得．經(jīng)檢驗，符合題意．故答案為：0．19．（2021?泰興市校級期中）已知函數(shù)的定義域為，若恒成立，則的值為．【解答】解：當(dāng)時，時，有，，，欲使，恒成立，則，；當(dāng)時，時，有，，，欲使，恒成立，則，；故．故答案為：．20．（2021?河南模擬）已知函數(shù)，若恒成立，則的值為0．【解答】解：令，解得或，依題意，函數(shù)的零點也為或，（因為的值域為，若函數(shù)的零點不為或，則必有解，則與題設(shè)矛盾．即，解得．經(jīng)檢驗，符合題意．故答案為：0．21．（2021?鄞州區(qū)校級期中）不等式對任意恒成立，則1．【解答】解：由題意不等式，等價于①或②解①，，即，由絕對值的幾何意義可知，，對任意恒成立，由二次函數(shù)圖象可知，，故只能取1，解②，由①知無解，故答案為：1．22．（2021?蕭山區(qū)校級模擬）設(shè)，，若對任意，都有，則1．【解答】解：首先令，知，其次考慮過定點的的直線與開口向上的拋物線滿足對任意所對應(yīng)圖象的點不在軸的同側(cè)，因此，又，，，故答案為：1．23．（2021?石家莊期末）【示范高中】設(shè)，，若對任意，都有，則．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，，當(dāng)時，，而不可能在，上恒成立，必有，對于，，在，，在，，；若，則對于，在，，在，，；而為一次函數(shù)，則必有，且，變形可得：，又由，，則，；故；故答案為：．24．已知函數(shù)，，，當(dāng)時，，則實數(shù)的取值范圍為．【解答】解：設(shè)，，則在上為增函數(shù)，且（1），若當(dāng)時，則滿足當(dāng)時，，當(dāng)時，，即必需過點點，則（1），即，此時函數(shù)與滿足如圖所示：此時，則滿足函數(shù)的另外一個零點，即，故答案為：25．（2021春?迎澤區(qū)校級月考）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【解答】解：不等式在上恒成立，等價于或在上恒成立，令，，（1）當(dāng)時，，而在上不恒成立，故，（2）當(dāng)時，為增函數(shù)，且經(jīng)過點，令可得，，故在上單調(diào)遞增，令，解得．（3）當(dāng)時，為減函數(shù)，故在恒成立，故只需在上恒成立即可．令可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，故在處取得最大值，令，解得．綜上，的取值范圍是，．故答案為：，．26．（2021?廈門一模）關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是或．【解答】解：，則，令，則，時，，時，時，函數(shù)取得最大值，，，；時，則，在上不恒成立，不合題意；時，或，，綜上，或．27．（2021?杭州期末）已知不等式對恒成立，則的值為．【解答】解：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又對恒成立，①若，與均為定義域上的增函數(shù)，在上，可均大于0，不滿足題意；②若，則對不恒成立，不滿足題意；．作圖如下：由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)方程為的曲線與方程為的直線相交于點，即滿足時，對恒成立，解方程得，解得．故答案為：．28．（2021?西湖區(qū)校級期中）對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．【解答】解：因為對任意的，不等式恒成立，所以對任意的，不等式恒成立，令，，則在上單調(diào)遞增．①當(dāng)時，（a），即恒成立，則恒成立，所以，解得；②當(dāng)時，不等式恒成立，符合題意；③當(dāng)時，（a），即可恒成立，所以恒成立，因為在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，（a），解得．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．29．（2021春?寧鄉(xiāng)市校級月考）對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的值是．【解答】解：對任意的，不等式恒成立，對任意的，不等式恒