燃料最優(yōu)控制問(wèn)題探究

#/7R(u)=1u(t)丨+九(t)u(t)(24)2對(duì)最優(yōu)控制u(t)取極小值。其中，u(t)與九(t)的關(guān)系如下圖1所示。2圖1u*(t)與九(t)的關(guān)系圖2即CCu*(t)=+1,九(t)<—12u*(t)=0,—1<九(t)<+12<u*(t)=—1,九(t)>+1(25)20<u*(t)<+1,九(t)=—12—1<u*(t)<0,九(t)=+12由式(25)可知，最優(yōu)控制軌線的完全確定，取決于九(t)的性質(zhì)。根據(jù)九(t)性22質(zhì)的不同，燃料最優(yōu)控制問(wèn)題可以分為正常與奇異兩種情況。(1)正常情況若在時(shí)間區(qū)間「0,t］上,I九(t)1=1只在有限點(diǎn)上成立，則最優(yōu)控制u*(t)可取f2-1,0,+1三個(gè)值，且在這三個(gè)值上轉(zhuǎn)換。(2)奇異情況若在時(shí)間區(qū)間「0,t］上，至少存在一段時(shí)間間隔［t,t］u「0,t］，在其上有f12f丨九(t)I=1，則屬于奇異情況。此時(shí)，最優(yōu)控制軌線u*(t)由正?；《魏推娈惢《?兩部分組成。實(shí)踐——有限推力軌道轉(zhuǎn)移燃料最優(yōu)控制有限推力下最小燃料消耗軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題的最優(yōu)控制問(wèn)題模型可描述如下minJ=_m(t)oJfIudtf0X=f(x)+(T/m)工uf0maxiii=1m=_utiuimaxx(0)=x0,m(0)=m0,h(x(t))=0fIul<1式中，T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力的最大幅值，控制u=(u,u,u)為推力在軌道坐標(biāo)max123系中方向分量。衛(wèi)星的軌道運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的狀態(tài)常用一種稱為MEE的軌道根數(shù)x=I"PeehhL"|T和質(zhì)量m來(lái)表示。xyxy對(duì)于軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)，要求初始軌道和目標(biāo)軌道是不同的，因而最優(yōu)控制是非空的。問(wèn)題滿足的初值邊界條件用MEE可描述為Co,mo空的。問(wèn)題滿足的初值邊界條件用MEE可描述為Co,mo)=(Po,eo,eo,ho,ho,Lo,mo)eR7yxyx而終端邊界條件則為h(x)=(P一Pf,e一ef,e一ef,hxxyyx為使問(wèn)題便于解決，作以下假設(shè)_hf,h_hf,L_Lf)=0xyy(27)(28)(1)系統(tǒng)模型的狀態(tài)始終滿足路徑約束(29)A={x,m)IP>0,1(e,e)l<1,m>m}(29)xye即衛(wèi)星在橢圓域內(nèi)飛行，在地心坐標(biāo)系下位置向量幅值始終大于地球半徑，m為e無(wú)燃料的衛(wèi)星質(zhì)量。最終飛行時(shí)間t要嚴(yán)格大于最短軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間t。ffmin衛(wèi)星在終端時(shí)質(zhì)量滿足mf>m且是自由的。e問(wèn)題滿足可控性條件，在滿足假設(shè)(1)~(3)及非空最優(yōu)控制約束的條件下，存在時(shí)間固定時(shí)的燃料最優(yōu)可行解。解燃料最優(yōu)的性能指標(biāo)取為L(zhǎng)agrange型，應(yīng)用極小值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為函數(shù)為H=(p-UTp)IuI+H+(T/m)￡uH(30)0maxm0maxiii=1式中，p為大于0式中，p為大于0的常數(shù)，通常取為1；03為Hamiltonian提升；p,p分別為狀態(tài)x,m對(duì)應(yīng)的協(xié)狀態(tài)。m根據(jù)極小值原理可知(p(t),p(t))不同時(shí)為0時(shí)，應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等m式，令H=(H,H,H)，取p=1，則式(30)有TOC\o"1-5"\h\z1230H>(1-UTp)IuI+H-fxIHIguI(31)maxm0m則當(dāng)u=-TH,T>0時(shí)式(31)取等號(hào)。因此令z=(x,m,p,p)，當(dāng)H=(H,H,H)m123不為0時(shí)，最小H函數(shù)的解可寫成u=-T(z)H/IHI,T(z)e[0,1](32)定義切換函數(shù)S(t,z)=1-UTp-(T/m)IHI(33)maxmmax00<=z(t(,t(,t00<=z(t(,t(,tSS34H/IHI,

u(t)=\-TH/IHI,其中Te[0,l],而當(dāng)H=0時(shí)，則有u(t)eS(0,l),l-UTp<0maxm<u(t)eB(0,1),1-UTp=0(35)maxmu(t)=0,1-UTp>0maxm由上述分析可知，最優(yōu)控制函數(shù)是由Bang-Bang弧和奇異子弧所組成。上述問(wèn)題中當(dāng)H豐0,S(t,z)=0時(shí)的奇異控制無(wú)法確定，即使假設(shè)H豐0,S(t,z)H0