修訂版高中數(shù)學導數(shù)及其應用【精】

快樂快樂高中數(shù)學導數(shù)及其應用、知識網(wǎng)絡二、高考考點1導數(shù)定義的認知與應用；2求導公式與運算法則的運用；3導數(shù)的幾何意義；4導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性上的應用；5導數(shù)在尋求函數(shù)的極值或最值的應用;6導數(shù)在解決實際問題中的應用。三、知識要點（一）導數(shù)1導數(shù)的概念II導數(shù)的定義（i）設函數(shù)在點10及其附近有定義，當自變量在處有增量4（△可正可負），則函數(shù)相應地有增量⑷=義工口+故）一?。üた冢?，這兩個增量的比Ay_+Ax）-/（x0）以 瓜 ，叫做函數(shù)丁=汽電在點工0到工口+m這間的平均變化率。如果Ay瓜-0時，瓜有極限，則說函數(shù)y=f（?在點工口處可導，并把這個極限叫做在點工0處的導數(shù)（或變化率），記作“兩媽如If，即“兩）=11m型=11m妝+㈤—國）A；r->0AxQxtU Axo（ii）如果函數(shù)f（的在開區(qū)間（“力）內(nèi)每一點都可導，則說r（丸在開區(qū)間（區(qū)8）內(nèi)可導，此時，對于開區(qū)間（區(qū)&）內(nèi)每一個確定的值工口,都對應著一個確定的導數(shù)尸（1°）,這樣在開區(qū)間（區(qū)S）內(nèi)構成一個新的函數(shù)，我們把這個新函數(shù)叫做廣母）在開區(qū)間（“力）內(nèi)的導函數(shù)（簡稱導數(shù)），記作尸（工）或『‘，即y=/V）=hm竺=Hm汽犬+m）T⑴gtuAxjlxtrAxo認知：（I）函數(shù)f"）的導數(shù)尸（工）是以為自變量的函數(shù)，而函數(shù)”的在點小處的導數(shù)尸（工口）是一個數(shù)值；〃犬）在點工。處的導數(shù)廠‘工口）是""的導函數(shù)“工）當工=工0時的函數(shù)值。（II）求函數(shù)/⑵在點工口處的導數(shù)的三部曲：①求函數(shù)的增量切=義工口+效）一了（"口）；Ay_/（^o+Ax）-/（xQ）②求平均變化率加 也 ；limJ=/"（x0）③求極限g'M上述三部曲可簡記為一差、二比、三極限。（）導數(shù)的幾何意義：函數(shù)廣電在點工口處的導數(shù)尸（工°），是曲線尸汽電在點pgJ"）處的切線的斜率。（）函數(shù)的可導與連續(xù)的關系函數(shù)的可導與連續(xù)既有聯(lián)系又有區(qū)別：（I）若函數(shù)/（句在點工口處可導，則/⑷在點工口處連續(xù)；若函數(shù)在開區(qū)間（“田）內(nèi)可導，則廣（分在開區(qū)間（“田）內(nèi)連續(xù)（可導一定連續(xù)）。11m汽殉+弱-?。?*犯）事實上，若函數(shù)在點10處可導，則有*3 以 止匕時，事實上，若函數(shù)lim/(x0+力x)=lim[(/(x0+Zx)-f(x0))+f(x0)]=lim[〃兩+垓K兩),Ax+/(x0)]?xtu Ax」KT■口 X 』￥T■口 ■口=/\xo)xO+/(xo)=1A工0)r+Ar=r 11m/W=M而） ”冶r記0 則有皿立 即八,在點口處連續(xù)。（II）若函數(shù)/"）在點工口處連續(xù)，但F"）在點工口處不一定可導（連續(xù)不一定可導）。反例："工）=因在點工=口處連續(xù)，但在點工=口處無導數(shù)。?$、、 Ay=/,（O+Ax）-1f（口）=|Ax|,過~=事實上，在點工口處的增量 瓜瓜

當加下口時，當加工口時，歿=1 hm^=l當加下口時，當加工口時，Ax 才tci+Ax,^=-1 bm^=-lAx xf)+Axhm包由此可知，X力工不存在，故在點元=口處不可導。2求導公式與求導運算法則(I基本函數(shù)的導數(shù)(求導公式)公式 常數(shù)的導數(shù)：二'=口hm包由此可知，X力工不存在，故在點元=口處不可導。2求導公式與求導運算法則(I基本函數(shù)的導數(shù)(求導公式)公式 常數(shù)的導數(shù)：二'=口l為常數(shù))，即常數(shù)的導數(shù)等于公式 冪函數(shù)的導數(shù)：W="ISE②。公式 F弦函數(shù)的導數(shù)：61n寸=切"。公式 余弦函數(shù)的導數(shù)：3")'=F"公式 對數(shù)函數(shù)的導數(shù)：(InX)'=—x；公式指數(shù)函數(shù)的導數(shù):(I)(I)()可導函數(shù)四則運算的求導法則設區(qū)y為可導函數(shù)，則有法則法則v)法則v)r=urv+V（-）=-2—0）法則v尸 。3復合函數(shù)的導數(shù)（）復合函數(shù)的求導法則設,=儀工）復合成以為自變量的函數(shù)尸力以切，則復合函數(shù)丁=力以疝對自變量的導數(shù)尸；，等于已知函數(shù)對中間變量在=以工）的導數(shù)工，乘以中間變量對自變量的導數(shù)”；，即『〔=『；U。引申：設y=r@）,"飆謨"則復合成函數(shù)卜力港⑴）］,則有月=『；山；H（）認知（I）認知復合函數(shù)的復合關系循著“由表及里”的順序，即從外向內(nèi)分析：首先由最外層的主體函數(shù)結構設出廣川），由第一層中間變量”內(nèi)⑴的函數(shù)結構設出"=爐式嗎，由第二層中間變量”=3<Q的函數(shù)結構設出,=/式用，由此一層一層分析，一直到最里層的中間變量/為自變量的簡單函數(shù)'=且（為為止。于是所給函數(shù)便“分解”為若干相互聯(lián)系的簡單函數(shù)的鏈條：y=」3）◎=弼（切D=的（兄），.…A=g（x）;（II）運用上述法則求復合函數(shù)導數(shù)的解題思路①分解：分析所給函數(shù)的復合關系，適當選定中間變量，將所給函數(shù)“分解”為相互聯(lián)系的若干簡單函數(shù)；②求導：明確每一步是哪一變量對哪一變量求導之后，運用上述求導法則和基本公式求；③還原:將上述求導后所得結果中的中間變量還原為自變量的函數(shù)，并作以適當化簡或整理。二、導數(shù)的應用1函數(shù)的單調(diào)性（）導數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設函數(shù)丁=〃犬）在某個區(qū)間內(nèi)可導，則若尸⑴:口即工）為增函數(shù)；若廣⑺〈口則了⑺為減函數(shù)；若在某個區(qū)間內(nèi)恒有1n工）=口，則在這一區(qū)間上為常函數(shù)。（）利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的步驟（I）確定函數(shù)/（的的定義域；（II）求導數(shù)尸,琦；（III）令尸⑴,0，解出相應的的范圍當尸（工）>口時，1f（內(nèi)在相應區(qū)間上為增函數(shù)；當尸（工）,0時在相應區(qū)間上為減函數(shù)。（）強調(diào)與認知（I）利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要確定函數(shù)的定義域，并且解決問題的過程中始終立足于定義域。若由不等式尸口確定的的取值集合為A由尸⑺'0確定的的取值范圍為，則應用總工以君工白；（I）在某一區(qū)間內(nèi)尸S>>0（或尸6），口）是函數(shù)勾在這一區(qū)間上為增（或減）函數(shù)的充分（不必要）條件。因此方程/’（QnO的根不一定是增、減區(qū)間的分界點，并且在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除去確定了'an0的根之外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導點，它們也可能是增、減區(qū)間的分界點。舉例：（）⑷="是上的可導函數(shù)，也是上的單調(diào)函數(shù)，但是當 時，尸。（）在點 處連續(xù)，點 處不可導，但廣（“）在（8,）內(nèi)遞減，在（，+8）內(nèi)遞增。2函數(shù)的極值()函數(shù)的極值的定義設函數(shù)〃犬)在點工口附近有定義，如果對工。附近的所有點，都有八工)，Na)，則說『SC是函數(shù)〃"的一個極大值，記作姝梃="兩)；如果對工口附近的所有點，都有，則說了6°)是函數(shù)f(目的一個極小值，記作收?小值=汽兩)。極大值與極小值統(tǒng)稱極值認知：由函數(shù)的極值定義可知：(I)函數(shù)的極值點是區(qū)間［/到內(nèi)部的點，并且函數(shù)的極值只有在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點處取得；(II)極值是一個局部性概念；一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有多個極大值和極小值，并且在某一點的極小值有可能大于另一點處的極大值；(III)當函數(shù)電在區(qū)間［風切上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)在［風句內(nèi)的極大值點，極小值點交替出現(xiàn)。()函數(shù)的極值的判定設函數(shù)汽電可導，且在點工口處連續(xù)，判定了‘工口)是極大(小)值的方法是(I)如果在點工口附近的左側尸⑴>口，右側尸⑴‘口，則為極大值；(I)如果在點工口附近的左側尸⑺<0,右側八工):0,則/6°)為極小值；注意：導數(shù)為的不一定是極值點，我們不難從函數(shù)/(藥=^的導數(shù)研究中悟出這一點。()探求函數(shù)極值的步驟：(I)求導數(shù)尸(工);(I)求方程尸(工)=口的實根及尸〔工)不存在的點；考察尸6）在上述方程的根以及尸（工）不存在的點左右兩側的符號：若左正右負，則f"）在這一點取得極大值，若左負右正，則f"）在這一點取得極小值。3函數(shù)的最大值與最小值（）定理若函數(shù)”藥在閉區(qū)間上連續(xù)，則勾在［烏句上必有最大值和最小值；在開區(qū)間（鼻句內(nèi)連續(xù)的函數(shù)句不一定有最大值與最小值。認知：（I）函數(shù)的最值（最大值與最小值）是函數(shù)的整體性概念：最大值是函數(shù)在整個定義區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個定義區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。（II）函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的（具有相對性），極值只能在區(qū)間內(nèi)點取得；函數(shù)的最大值與最小值是比較整個定義區(qū)間上的函數(shù)值得出的（具有絕對性）,最大（?。┲悼赡苁悄硞€極大（?。┲担部赡苁菂^(qū)間端點處的函數(shù)值。（III）若廣⑵在開區(qū)間（風魴內(nèi)可導，且有唯一的極大（?。┲?，則這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?。（）探求步驟：設函數(shù)”電在應切上連續(xù)，在（"力）內(nèi)可導，則探求函數(shù)〃電在以切上的最大值與最小值的步驟如下：（）求〃"）在"內(nèi)的極值；（）求"制在定義區(qū)間端點處的函數(shù)值廣⑷,出；（ ）將廣熾）的各極值與,手/比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求最小值。引申：若函數(shù)在［風句上連續(xù)，則廣（分的極值或最值也可能在不可導的點處取得。對此，如果僅僅是求函數(shù)的最值，則可將上述步驟簡化：（）求出的導數(shù)為的點及導數(shù)不存在的點（這兩種點稱為可疑點）；

（ ）計算并比較f"）在上述可疑點處的函數(shù)值與區(qū)間端點處的函數(shù)值，從中獲得所求最大值與最小值。（）最值理論的應用解決有關函數(shù)最值的實際問題，導數(shù)的理論是有力的工具，基本解題思路為：（）認知、立式：分析、認知實際問題中各個變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立適當?shù)暮瘮?shù)關系；（ ）探求最值：立足函數(shù)的定義域，探求函數(shù)的最值；（ ）檢驗、作答：利用實際意義檢查（）的結果，并回答所提出的問題，特殊地，如果所得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點工口滿足尸（工口）=口，并且在點風處有極大（?。┲?，而所給實際問題又必有最大（小）值，那么上述極大（小）值便是最大（小）值。四、經(jīng)典例題例、設函數(shù)孔勾在點工口處可導，且“工口”工，試求1mlf值一遍-f（而）TOC\o"1-5"\h\z（）…Ax ；1ml汽兩+Ax）一汽兩一（）a 限 ；1ml汽2工一兩）一/（2兩-工）（）f ”/ ；11m汽演+3一〃兩-J?。ǎ┤O M （總S為常數(shù)）解:/f解:/f(x0)=hm注意到/⑷+兩）一/（曲）Axf(x.)=lim汽電一汽飛)當工口Q KT?X-Xo當工口lim° ——""=—lim"°— —~=—ff^')=-A由tu 及 -Ax()義麗+瓜)-〃/-端 [/(的+色工)一/(兩)]+[/(曲)一了(麗一色工)]hni =lim 」*t口 力工 』*T。 /工f(x0+Ax)-f(^) f(x0-Ax)-f(x0)=hm +hm Ax 』#t。-Ax()令工f="，則當工―工口時電—口,f(2x-^)-f(2x0-x) /(x0+2Z?)-/(^)+/(x0)-/(x0lim =lim .… “% … 迎??/(x0+2h)~/(x0)f(x0-k)-〃甌)=uni -nm 履tci h m h=211m汽兩+%-汽兩)+11mfW-楨一汽兩)At。 2h At。-h=2尸8)+尸&)=3尸也”M1ml汽麗+心處一〃曲-Mx)()… Ax/(x0+aAx)-/(x0)-[/(x0-bAx)-/(x0)]=um kXT口 Ax=q11m義麗+^A/每)+411m -義工o)型-*0 0Ax 型t口 -bAx/11m汽兩+血)-汽兩)+匕11m八兩一如)-義工o)取Td Mm_bM=歹'(工口)+b尸(工口)=S+的廣(工口)=S+冷工/Xx0)=limn曲+竭一〃麗)點評：注意 …小 的本質(zhì)，在這一定義中，自變量在工口處的增量故的形式是多種多樣的，但是，不論出選擇哪一種形式，相應的明也必須選擇相應的形式，這種步調(diào)的一致是求值成功的保障。若自變量在工口處的增量為一如瓜，則相應的母=義工口一如的一義工口)，

”?\v 犬口—松犬）—?。_）?。▋桑?hm 于是有 心一泌找 ；1n兩）=lim汽電一W若令工=工廠3，則又有 ……例、2￡-3/?（）已知1ra=2/⑶一，求理一11m八地方一2（）已知加="（1”:求^ —解：（）令工-3=故,則工=位+3,且當工―三時，MtO注意到這里/⑶"又中）7Qlim由tU〃升聞T⑶

Axr2x-3f(x)lim tx-3=limSlKT■口6+2Ax-3/(3+Ax)

Ax』xtuAx mtuAx=2-3/f(3)=8.JQ)=2*/(sinx)-2hm z =lim ： ： xt三cosx -(sinx-l)(smx+1),22??二11mH皿)-網(wǎng))二^-m三sinx-1 1+sinx.hm-.1xt三1+sinxx—>—<=>sinx—>1注意到2

TOC\o"1-5"\h\z/(sinx)-/(I)hm =hm =/ =3xt■三 SitiX-1finmlsmx-1...由已知得2 ②11m〃叱卜J/TO-rt= =-fxt±cosx 1+1 2 2...由①、②得2例3求下列函數(shù)的導數(shù)y=e7!+y=e7!+x2cqsx-Ix()“(1+療川+23；2x3- 瓜-1(4"x瓜解：()==(x2cosx')(-(7x)f=ex+2xcosx-x2sinx-7()好。+4/)。+2M=1+加+收+狀.廣。+2爐+4N+舐5y=4x+12戶+4口產(chǎn)3 _1 _3 2 3_3y=(2x^- +x-1-x^y=3x^+-x亨-尸(i+?)+(i-1—>jx 1+ (1--t/x)”，一2v口"K—y_」1-X (1-x)2 (1-.I?xM冽‘廣樸...當工對時，"STx...當工＜口時，,|2x,x>o；2x,x<0.點評：為避免直接運用求導法則帶來的不必要的繁雜運算，首先對函數(shù)式進行化簡或化整為零，而后再實施求導運算，特別是積、商的形式可以變?yōu)榇鷶?shù)和的形式，或根式可轉(zhuǎn)化為方冪的形式時，“先變后求”的手法顯然更為靈巧。例、在曲線Cy=d- -x+6上，求斜率最小的切線所對應的切點，并證明曲線關于該點對稱。解：（）y*e當工=2當工=2時，取得最小值T7上工—2n-4.y=2^—6-2^—2+6=—12又當工_』時，『...斜率最小的切線對應的切點為（2 ）2（）證明：設網(wǎng)工口,『口）為曲線上任意一點，則點關于點的對稱點的坐標為

且有此=君-鬲-兩+6 ①...將工二4-兩代入^=爐-才-犬+6的解析式得?—飛了一6（4—兩產(chǎn)一（4一兩）+6=-Xq+6君+x0-30=-（君-6君-x0+6）-24=-24-7o,...點鼠4a-九）坐標為方程y=/-加-丈+6的解.2eC注意到，的任意性，由此斷定曲線關于點成中心對稱。fcl」『=/（工）與『=■/（?￡也依（HK口）-+4-^/W>0口sdrEYM例、已知曲線J八、…八'' '，其中' ，且均為可導函數(shù)，求證：兩曲線在公共點處相切。證明：注意到兩曲線在公共點處相切當且僅當它們在公共點處的切線重合，設上述兩曲線的公共點為*'6。^"，則有TOC\o"1-5"\h\z『口=『（％）『口=/（x0）sinax0, ,?『（工o）=fSo）sm"口?? ,?sm^0=l? ,ax^= +—（此wE）, 2? ,冗現(xiàn)5=—（2無笈+—）（kgZ）?a2??于是，對于巧T⑴有F'T⑺； ①對于為=義工）知奴有樹=尸⑴……⑸3"對于為=義工）知奴有樹=尸⑴……⑸3"...由①得由②得對fj=...由①得由②得,區(qū)卜一%=fg)sinax0+af(x0)cosa^=廣（工口）血（比R+―）+期定0）匕口式2北方+—）...* *.”,即兩曲線在公共點處的切線斜率相等，...兩曲線在公共點處的切線重合...兩曲線在公共點處相切。例67 1f（x）=k2x^--x3-k??+2x+-（）是否存在這樣的值，使函數(shù) 3 2在區(qū)間（，2）上遞減，在（2,+8）上遞增，若存在，求出這樣的值；（2）若產(chǎn)醫(yī)）="2+工恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定厘的取值范圍，并求出這三個單調(diào)區(qū)間。解：（）“電=爐爐-加-而+2由題意，當工川⑵時尸⑴＜口，當e（2,+8）時尸⑴:口...由函數(shù)八工）的連續(xù)性可知尸⑵=口，即嵬產(chǎn)一"伙+2=口整理得1亦-%-3=0k=-驗證：k=-(I)當驗證：k=-(I)當2時，尸⑺=#-2/-工+2=(x+W-1)(工-2)...若1*2,則尸⑴＜口；若工＞2,則尸⑴＞口，符合題意;

TOC\o"1-5"\h\z3 q 3兒=—一 /'(x)=一x3-2x2+—x+2(II)當8時， 16 49f7-呵“ 7+呵、=—(犬一 )(丈一2)(X- )16 9 9,顯然不合題意。k=L于是綜上可知，存在 工使〃的在(1)上遞減，在(2+8)上遞增。若心口則尸⑶＞口金的，此時汽電只有一個增區(qū)間S+8)，與題設矛盾;若"口則尸⑴=1,此時汽電只有一個增區(qū)間5+8)，與題設矛盾;若廿＜口fl(x)=3a(x2+^-')=3a(x+^L=')(x-則 若心口則尸⑶＞口金的，此時汽電只有一個增區(qū)間S+8)，與題設矛盾;若"口則尸⑴=1,此時汽電只有一個增區(qū)間5+8)，與題設矛盾;若廿＜口fl(x)=3a(x2+^-')=3a(x+^L=')(x-則 出 7-%并且當%時，尸⑴*尸⑴>0???綜合可知，當仃＜口時，**恰有三個單調(diào)區(qū)間:(-電亍減區(qū)間'卜兌,+時;增區(qū)間點評：對于()，由已知條件得了＜2)="，并由此獲得的可能取值，進而再利用已知條件對所得值逐一驗證，這是開放性問題中尋求待定系數(shù)之值的基本策略。例7已知函數(shù)/⑴+菽,當且僅當"T"］時，取得極值，并且極大值比極小值大()求常數(shù)見&的值；()求其力的極值。解：()=W+ ,令尸(工)=口得方程5—++匕=口,:*"在工=T"i處取得極值T或工=1為上述方程的根，5(—I)4+3(3(―1)2+S=口故有5⑴*+3厘①口+3=口故有...5+必+匕=口，即匕=一3"5 ①?f⑦=5八3后-"??=5(r-1)+3儀#-1)=。+l)(x-l)(5x2+3a+5)又...，⑵僅當。士1時取得極值，...方程尸(工)=口的根只有工=-1或工=1,...方程51+3厘+5=口無實根，,A=02-4x5x^+5)<0即加+5〉。,>_5而當馬時，5黜+為+$>口恒成立，:.廣⑺的正負情況只取決于"7的取值情況當變化時，尸⑺與,③的變化情況如下表：X(一蟲-1]-1(-U)1+8/V)++/W/極大值極小值/...汽電在工=-1處取得極大值f（T），在工=1處取得極小值了⑴。由題意得“T）一加”整理得= ②于是將①，②聯(lián)立，解得"=T力=一2（）由（）知，F(xiàn)MNYf+i了⑴報丈值=f（T）=3/⑺極小電=川）=一1點評：循著求函數(shù)極值的步驟，利用題設條件與尸（工）的關系，立足研究尸（工）=口的根的情況，乃是解決此類含參問題的一般方法，這一解法體現(xiàn)了方程思想和分類討論的數(shù)學方法，突出了“導數(shù)尸6°）=口”與“r（幻在工口處取得極值”的必要關系。例8（）已知/母）二厘#—6厘步:+儀―1^左工2）的最大值為3最小值為2求區(qū)S的值；-<ff2<1 1f⑺=分--ZffiX2+^（-l<x<0（）設3，函數(shù) 2 的最大值為，最小值為，，求常數(shù)風甩的值。解：（）這里厘‘口，不然與題設矛盾f'（_x）=3ax2-12ax=3點式x-4）令"工”口，解得工=口或（舍去）（I）若心口，則當力時，尸⑴下口，〃犬）在（T口）內(nèi)遞增；當^（口⑵時，尸⑴^,汽電在電工）內(nèi)遞減又義肉連續(xù)，故當工=口時，汽肉取得最大值,⑻...由已知得f⑼=2J而《1”口+“⑵-6。+3.(-1)...此時『(藥的最小值為『◎)...由〃2)79得_1金+3=-290厘=2(II)若"<口，則運用類似的方法可得當1=口時汽電有最小值，故有f(0')=—29：^：-b=-29；又汽-1)=-7"理六2)=-16"加〉孔-1)^又...當工=2時，,因有最大值，...由已知得一 = =于是綜合(1)(11)得所求*=之力=$或。=-2/=-29()f—碗m,令尸⑺=口得忒…)=口X]=0rx2=m(—<m<X)解得 §當工在LU]上變化時，D與,⑺的變化情況如下表:X也㈱）m（褐1）/W極大值H、1極小值yy?-——+內(nèi)2，*]...當工=口時，汽商取得極大值網(wǎng)；當工=加時，八?取得極小值2由上述表格中展示的汽電的單調(diào)性知『⑼>」（T）J⑨>久啕力6、久臉，?。┳畲笾翟诖ㄒ虎胖?，,⑺的最小值在和和"和，’酒）之中，3 2/W-川）="一L；黃施C1,7（0）-/（1）>o考察差式 2 3 ,即八口）7⑴,故汽電的最大值為八°）由此得re）=iQ甩=i.1./（一1）一/（?。┒ǘ?-刎-2）=—（*—2）0+1產(chǎn)TOC\o"1-5"\h\z考察差式 2 22T、m,S,:N的最小值為八f3 乖 乖—一圾=- 陽=由此得2 2，解得3/=—,甩=1于是綜合以上所述得到所求 3 。五、高考真題（一）選擇題用工00=smx加工）=以工）萬（工）二工3…加式工）=笈⑴ 說管、|設 , , ,, ,則力期⑺=（）。Sm工 一班工 cosx -C0SXA B 、 、八J_L，口f（工）=二口占工分析：由題意得' ,力⑺=一必工=-cosx,sinx,Z⑸=sinx=^j(x)：.f式/)(mw%具有周期性，且周期為,...%演琦7m=郎工，應選。TOC\o"1-5"\h\z2函數(shù)/")=**+X+1有極值的充要條件為( )心口 嫣口 ^<0 a<0A 、 C D分析：/w=w+1，當心口時，尸⑶;口且尸⑴工口;當口M口時，令尸⑴=口得3+1=口有解，因此F(電才有極值，故應選C3設/(電，冢電分別是定義在上的奇導數(shù)和偶導數(shù)，當工'O時，/‘'S'''?'g'' ,^且g''0，則不等式應⑴'口的解集是( )A(3)U(3+8) 、(，)U(0)、(8,3U(3+8) 、(8,)U(0)分析：為便于描述，設"⑴nF")綱，則b⑴為奇導數(shù)，當I口時，POO,且產(chǎn)㈠E??.根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性知，""),口的解集為(8, )U(,),應選。二、填空題過原點作曲線丁=夢的切線，則切點坐標為，切線的斜率為。分析：設切點為（”"），則以為切點的切線方程為丁一中"兩）...由曲線過原點得=*"（口一兩），.小=1,???切點為&*），切線斜率為電。點評：設出目標（之一）迂回作戰(zhàn)，則從切線過原點切入，解題思路反而簡明得多。曲線丁=戶在點（風標乂"*口）處的切線與軸，直線工=厘所圍成的三角形面積為，，則厘。分析：y=/???曲線尸爐在點（烏力（"口）處的切線方程為廣黯=/（""）即尸勿"一謂咚口）切線與軸交點3 ,又直線工=厘與切線交點縱坐標為序,_11,?3_15=—.一團?0=一???上述三角形面積 23 6,由此解得時=1即胃=±11.1,y=2-—x2 y=—x3-2曲線2與4 在交點處的切線夾角是（以弧度數(shù)作答）分析：設兩切線的夾角為日，將兩曲線方程聯(lián)立，解得交點坐標為（2'0又切4=一？ 為『廣區(qū)'1^=3^又 ,即兩曲線在點處的切線斜率分別為2

tand=3+2tand=1—3x（—2）,I,, 州&=— —4，應填4。（三）解答題已知厘wK，討論導數(shù)/⑺"（/+.+l+1）的極值點的個數(shù)。解析：先將?、徘髮В?工"口即/+g+5+勿+1=口。當入口時，/⑺=口有兩根，于是歡有兩極值點。當AW口時，廣⑺之。，『⑺為增函數(shù)，/⑺沒極值點。本題考查導數(shù)的應用以及二次方程根、“A”等知識。解答：『3"以M+盆+”1）+叫2工+」）= +俗+2）工+（2值+1）］令八工”口，得―+。+加+勿+1=口當也=0+2＞一4（加+1）=.-4厘=加4一4）:口1當即“丁口或厘＞4時，方程尸〔Q=口有兩個不同的實根工1、門不防設勺沁，于是廣⑴"氣"再）（"/），從而有下表：XS/)勺（勺，工G叼（心，十03）/V)了⑺/f"l）為極大值\/（心）為極小值/即此時一工）有兩個極值點;2當屋口即”晅爆=4時，方程爐+S+乃犬+3+1）=口有兩個相同的實根工1=13,于是“和叫”寸，故當工5時，尸⑴＞°;當工＞4時，尸⑺＞口，因此汽工）無極值；3當以工口即口＜厘＜4時，"+（"2）工+（須+1）＞口，而廣?=回爐+3+方+（〃+1）］:口而 ，故代工）為增函數(shù)。此時義工）無極值；...當厘＞4或qc0時，鵬巧有兩個極值點；當°乂空乂4時，式工）無極值點。一狽一6已知函數(shù) 1+匕的圖象在點必Tf（T））處的切線方程為工+孫+$=口。（I）求函數(shù)F=/6）的解析式；（II）求函數(shù)F=/6）的單調(diào)區(qū)間。解析：（）由題一"（一琰在切線上，求得『㈠，再由苑T〃t））在函數(shù)圖象上和產(chǎn)（-1）=-12得兩個關于見6的方程。（）令尸⑶=口，求出極值點，尸⑴:口求增區(qū)間，尸⑴＜口求減區(qū)間。此題考查了導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解答（I）由函數(shù)/⑺的圖象在點題一5一琰處的切線方程為工+*屋口知：-1+2/（-1）+5=0，即汽一1）=一2,

'■■/⑸=心+；；肅一"n~V)="?-a-6 =—2I1+占0(1+占)+2]—0—6),a(l+b)-2(a+6)即'.一(1+8)解得"即'.一(1+8)解得"2^=33寸+1不口―2?=-1舍去）y1/、 2工一日/w=-^―-所以所求函數(shù)解析式 工+3n、-27?+12x4-6f⑷ 『口浮—(x+9令-21口+12r+6=口解得西=?2后向=3+2括當工C的或"3+2后時，尸⑴＜口當-2^<.<3+2^時，尸⑴>口所以小在S"2問和0+2國⑹內(nèi)是減函數(shù)，在07居+班）內(nèi)是增函數(shù)。已知工=1是函數(shù)加AW一吼+1）#+/+1的一個極值點，其中想甩E^CCI(I)求咱與網(wǎng)的關系表達式;(II)求汽電的單調(diào)區(qū)間;(I)求咱與網(wǎng)的關系表達式;(II)求汽電的單調(diào)區(qū)間;(ill)當時，函數(shù)y=f?）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于，求附的(ill)取值范圍。解析：（）本小題主要考查了導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法以及函數(shù)與方程的思想，第小題要根據(jù)r（I）的符號，分類討論的單調(diào)區(qū)間；第小題是二次三項式在一個區(qū)間上恒成立的問題，用區(qū)間端點處函數(shù)值的符號來表示二次三項式在一個區(qū)間上的符號，體現(xiàn)出將一般性問題特殊化的數(shù)學思想。解答：（［）:"工）=3京-6g+1"+*，工=1是函數(shù)了⑴的一個極值點/（1）=刎一60+1）+胃=0，??用=3*+6.? ;（［［）?.?川道=樂/T伽+必甩=:W-岫+必―+1（”1）即一…? ?2f（（xy-0 x1=l,x2=l+—令了〔工…，得 施'2 1 八'與‘''的變化如下表：XS1+-)渭1-2?！埂梗┦?。什的/V)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減因此，式”）的單調(diào)遞減區(qū)間是‘網(wǎng)"黑）和°'+8）;義內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間是2(1+-4)m(III)由(II)ff(x)=3mx2一鼠濯+1)工+甩=3mx2-6(m+l)x+3m+6(III)由(II)日科必-2（琪+1）工+"口，"引-1J）即令雙方=9-咖+1）工+工（濯＜口）,工式-1』令且山＜0;目(五)=般/-2(m+l)x+2>0,且山＜0=>-- <034--<0即的取值范圍是3A-r2-7/W=--已知函數(shù) 2-x 。(I)求〃力的單調(diào)區(qū)間和值域；(II)設近1,函數(shù)目⑶二步一3/"2s”[0,1],若對于任意工1W1口J，總存在曲七卬]，使得目⑶=/5)成立，求值的取值范圍。解析：本題考查導數(shù)的綜合運用，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題能力，考查思維及推理能力以及運算能力，本題入手點容易，(I)中對分式函數(shù)定區(qū)間內(nèi)單調(diào)性與值域問題，往往以導數(shù)為工具，(11)是三次函數(shù)問題，因而導數(shù)法也是首選，若式工0)=/(工1)成立，則二次函數(shù)值域必滿足,(力心虱為關系，從而達到求解目的。解：(I)由 □一1) 得或2。_7...工￡[口』 ...~2(舍去)則工，廣⑺,汽電變化情況表為：(吟J121)/V)/W_72\-4/-3

因而當2因而當2時八,為減函數(shù)；當2 時,㈤為增函數(shù);當工七［0」］時，廣、焉的值域為17（II）且3=既3）因此應1,當工三色1）時式幻<父1一冷<口因此當犬￡（"）時式期為減函數(shù)，從而當犬可口』時有式犬”［@QIg（D］又初二1"/位⑼=一勿，即當^叩］時有冢標［T"獷廠知任給工皿口』，『5）wi-引，存在工口毛［口」使得g（曲）=/（再）則1，用口1-"-山一知TOC\o"1-5"\h\zJ1—213—3l22至—4 CD"［-2a>-3 ②j5 Ja<-- a<—由（）得"之1或3，由（）得2又口之1\<a<-故厘的取值范圍為 2?！附颽>0 丁田丁（￡）= —2點E）彥*已知"一"，函數(shù)』"'" '（）當工為何值時，^取得最小值？證明你的結論；（）設在［一1』上是單調(diào)函數(shù)，求厘的取值范圍。解析：本題考查導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力，本題（I）常規(guī)題型，方法求尸（工）,解尸（工）=口的根，列表，確定單調(diào)性，并判斷極值點，對（I）由（I）〃犬）在（工卜工g上單調(diào)，而再=".Ji+m1，因此只要

為="1+Jl為="1+Jl+/3>1即滿足題設條件，從中解出〃的范圍。解答：（1f(x)=(x2- +(2x-20M=[x2+2(1-a)x-2a]-令尸⑴=口則［/+空-耽-勿":口從而+2(1從而+2(1-d)x-=0，其中1 2工]=L3-1—Jl+M1-1+，其中1 2當工變化時八工），f（“）的變化情況如下表（-8,勺）L?—1—J1十0”5,叼）金一1+J1十值*（心，十8）/V)/W/極大值\極小值/:.江力在勺處取得極大值，心處取得極小值當心口時工10T，心之口，且〃對在氏，工。為減函數(shù)，在（5+8）為增函數(shù)而當工＜口時廣元）二寺-旬心口，當…時/⑴=口.:當工="1+J1+M時/⑷取最小值；（II）當此口時〃"在［一1』上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是電之1' :即"1+J1+J之1，解得"Y綜上，〃犬）在LU］上為單調(diào)函數(shù)的充要條件為W［；收）即/的取值范圍為） 。，門=W,,f（X'）=X2k-臼已知厘￡代，函數(shù)八.(i)當厘=2時，求使^叵)=犬成立的工成立的工的集合;(II)求函數(shù)(電在區(qū)間上的最小值。答案：(［){,,1+0}1-(2, 當值XI時；0, 當IcsM時，m=iA(a-2),當2<a<^;a-\7當豈>LTOC\o"1-5"\h\z1 3解答：,. /(x)=x2|x-2\(I)由題意，''' 1 1當xc2時八"="(2-為=工解得r=口或1=1,當工22時興為二爐(”2)=犬，解得了=1+"綜上，所求解集為{ ，+II設此最小值為①當^-1時，在區(qū)間［,］上，『⑴"-翁，fe(x)=3x2-2ax=3武犬--a)>0,xs(1,2因為 3 ),則“的是區(qū)間［i］上的增函數(shù)，所以施=MD=i—2②U2時，在區(qū)間［1 ］/⑴=/卜一的°,由/⑷=口知溺=/@=口;③當值>2時，在區(qū)間［,］上，"琦=加一聲/f(x)=2ax-3x2=3x(ja-x)如果”23在區(qū)間（，）內(nèi)，尸⑺>°從而汽電在區(qū)間［,］上為增函數(shù)，由此得而二?、?51；2TOC\o"1-5"\h\z1<-a<2如果2<fl<3則3 。ic工一厘 L當3時，尸⑺>口，從而〃"為區(qū)間［,耳］上的增函數(shù)；2…c2 乙當3 時，尸（犬）父°，從而汽電為區(qū)間［號,］上的減函數(shù)因此，當2cse3時，圾=〃1）="1或風=r⑵=恤-2）。7當2"“用時，故那=4（1）;7w當「"時—c4（"2）,故端=一綜上所述所求函數(shù)的最小值［一④ 當厘W1時；0, 當1c厘工2時；7=14（a-2）,當2c值至可時；a-1,當0>二L 37I設函數(shù)y⑴”3尸十（1—沙%”初口 求〃期的最小值II設正數(shù)小外…%0滿足小+如+的+~+%=1 ,證明Pl1^2Pl+P210§2P2+”叫處+???+田/10g2P2?之一超。解析:本題考查數(shù)學歸納法及導數(shù)應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。（I）已知函數(shù)為超越函數(shù)，若求其最小值，則采用導數(shù)法，求出產(chǎn)（?=1咤口犬-1口第*',解1 1 1 門人產(chǎn):、 口X=一 工<一 X了一 尹.、 J一）n得2,再判斷2與2時『IQ的符號，確定2為極小值點，也

是函數(shù)的最小值，對（II）直接利用數(shù)學歸納法證明，但由至*=丸+1過渡是難點。解答：(I)函數(shù)f()的定義域為(，)f'(x)=(xlog2x)'+[(l-x)log2(l-x)]=log2x-log2(l-x)+----=log2x-log2(1-x)In2In2/1W=0得x令 2/1W=0得x令 20<x<-當2時，f'1-<X<1當2時，f'在區(qū)間是減函數(shù);4,1）日十的拂.?.f在區(qū)間上是增函數(shù)。時取得最小值且最小值為1時取得最小值且最小值為X——...f()在2II用數(shù)學歸納法證明（）當 時，由（I）知命題成立;假定當 時命題成立，即若正數(shù)7v…’中"滿足死+%+…+%=1則01限小+巧1暇巧+…+%1嗎均“無時，若正數(shù)的隊…卻滿足小+%+…+用=]令30+%+…+令30+%+…+力的_P1—% _%--，的=一，…叫= X X X則的，的，…與為正數(shù)，且的+的+…+如則的，的，…與為正數(shù)，且的+的+…+如=1由歸納假定知獷限的+以效+…+如也如"無Pl1 0+%1◎比%%%且%=血1嗚%+的1嗚矽+-+%電%+1嗎為內(nèi)-曾+犬儂尸①同理，由三'+1+號+3+…+號目=＞犬可得^+1log2^+1+...+^log2^21—x6 +dx 01-x ②綜合①、②兩式A1oS2Pi+^210§2A+-"+2[x+（1—x—（ +xx+g—x （1—x2—（+1即當 時1命題也成立。根據(jù)（）、（可知對一切正整數(shù)命題成立。函數(shù)在區(qū)間口+⑹內(nèi)可導，導函數(shù)尸⑴是減函數(shù)，且“工”口,設工口”,+8）,y=kx+m是曲線在點時汽犯?處的切線方程，并設函數(shù)g（x）=此犬+圾（I）用M、門”、產(chǎn)”表示m（II）證明：當犬￡電+電時虱心式心x2+1>ax+b>—x3「口（III）若關于x的不等式 2 在LU，招”上恒成立，其中、為實數(shù)，求的取值范圍及與所滿足的關系。解答：（）y=，⑺在點（工°'/（工口）處的切線方程為,一式飛）二八%）"一兩）叩y=八%）Y+」&）-兩產(chǎn)（而）即因而叩=/5）-小，&）;（I證明：令血⑴寸⑺T⑶，則獷⑴=尸（初一/⑴/每）=0：：：: ，因為“工）遞減，所以短⑴遞增因此，當工,工口時，血Q）>°；當工,工口時，hn,所以工。是現(xiàn)乃唯一的極值點，且是極小值點，可知/X）的最小值為因此/g即且⑺"⑴;(Ill)解法一：是不等式成立的必要條件，以下設此條件成立。,+\>ax+b,即“一"+(1-功之0對任意成立的充要條件是1a<2(1-^，3-/?=-x3 =*、另一方面，由于 2滿足前述題設中關于丁一了I用的條件，3孑 3-ax+b>—x3 fnAly=—#利用II的結果可知， 2 的充要條件是：過點I'，與曲線之相切的直線的斜率不大于”,二該切線的方程為：片儂尸工+S,,.3| 1b>-xs 口于是2 的充要條件是“一◎如X1+\>ax+b>-x^ 龍E⑴4W)綜上，不等式 2 對任意犬成立的充要條件是顯然，存在區(qū)》使①式成立的充要條件是:2-42^^2+42有解，解不等式②得4 4因此，③式即為匕的取值范圍，①式即為實數(shù)”與匕所滿足的關系。(III)解法二：0-i-^>0是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立。,+l>ax+b,即/-蘇+。一出川對任意^^用)成立的充要條件是a<2(1-^3- 3-0(x)=ax+b-—x3 ax+b>—x3 「門、令 之，于是2對任意'+叼成立的充要條件是0(x)>0得工當口<工時，0,⑺工口；當工下不時，0⑺〉口，所以，當工=不時，取最小取最小值。因此0（力之口成立的充要條件是0"）之°,即"之殿）”TOC\o"1-5"\h\zx2+1>ax+b>—x^ 「門、綜上，不等式 2對任意x￡L'十叼成立的充要條件是3九々"足①J. 1顯然，存在、使①式成立的充要條件是：不等式（四）°±2°-句。TOC\o"1-5"\h\z匕旦4三三月有解，解不等式②得 4 4因此，③式即為的取值范圍，①式即為實數(shù)與所滿足的關系。點評：本題考查導數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運用數(shù)形結合的思想判斷函數(shù)之間的關系，考查考生的學習能力，抽象思維能力，以及綜合運用數(shù)學基本關系解決問題的能力。對（I）,曲線y=廣（電在點（工工口））處切線斜率為口），切線方程?。ぁ。‥0）=丁工演乂太一瓦）為 ,即八八工0）?工”尸區(qū)■），因而中=汽工。）一工廠尸氏J；對（］［）即證明g⑺7⑺之口在時恒成立，構造函數(shù)血⑴= ⑴則短⑴=百口）一尸⑴..目（工）=八工6 ?尸5）.=????也⑴7g）7⑺則產(chǎn)（工?！?1?? ,則由廣⑴遞減?短⑴遞增，則當工滔時訓工）"'（工。）=口，當工