高三數(shù)學(xué)三角函數(shù)專題最后

專題一三角函數(shù)專題【命題趨向】該專題的內(nèi)容包括三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平面向量、簡單的三角恒等變換、解三角形．高考在該部分的選擇和填空題，一般有兩個試題。一個試題是，如果在解答題部分沒有涉及到正、余弦定理的考查，會有一個與正余弦定理有關(guān)的題目，如果在解答題中涉及到了正、余弦定理，可能是一個和解答題相互補(bǔ)充的三角函數(shù)圖象、性質(zhì)、恒等變換的題目；一個試題是以考查平面向量為主的試題，這個試題的主要命題方向是（1）以平面向量基本定理、共線向量定理為主，（2）以數(shù)量積的運(yùn)算為主；三角函數(shù)解答題的主要命題方向有三個：（1）以三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為主體的解答題，往往和平面向量相結(jié)合；（2）以三角形中的三角恒等變換為主題，綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)等；（3）以實(shí)際應(yīng)用題的形式考查正余弦定理、三角函數(shù)知識的實(shí)際應(yīng)用．【考點(diǎn)透析】該專題的主要考點(diǎn)是：三角函數(shù)的概念和性質(zhì)（單調(diào)性，周期性，奇偶性，最值），三角函數(shù)的圖象，三角恒等變換（主要是求值），三角函數(shù)模型的應(yīng)用，正余弦定理及其應(yīng)用，平面向量的基本問題及其應(yīng)用．【例題解析】題型1三角函數(shù)的最值：最值是三角函數(shù)最為重要的內(nèi)容之一，其主要方法是利用正余弦函數(shù)的有界性，通過三角換元或者是其它的三角恒等變換轉(zhuǎn)化問題．例1若是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．分析：三角形的最小內(nèi)角是不大于的，而，換元解決．點(diǎn)評：涉及到與的問題時，通常用換元解決．例2．已知函數(shù)．，且．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時的值．分析：待定系數(shù)求，；然后用倍角公式和降冪公式轉(zhuǎn)化問題．點(diǎn)評：結(jié)論是三角函數(shù)中的一個重要公式，它在解決三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值、周期以及化簡求值恒等式的證明中有著廣泛應(yīng)用，是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的工具，是聯(lián)系三角函數(shù)問題間的一條紐帶，是三角函數(shù)部分高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容．題型2三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)圖象從“形”上反應(yīng)了三角函數(shù)的性質(zhì)，一直是高考所重點(diǎn)考查的問題之一．例3．為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位分析：先統(tǒng)一函數(shù)名稱，在根據(jù)平移的法則解決．例4函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是分析：分段去絕對值后，結(jié)合選擇支分析判斷．點(diǎn)評：本題綜合考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)不注意正切函數(shù)的定義域或是函數(shù)分段不準(zhǔn)確時，就會解錯這個題目．題型3用三角恒等變換求值：其主要方法是通過和與差的，二倍角的三角變換公式解決．例5已知，則的值是A． B． C． D．分析：所求的，將已知條件分拆整合后解決．點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正余弦、誘導(dǎo)公式等三角函數(shù)的知識，考查分拆與整合的數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算能力．解題的關(guān)鍵是對的分拆與整合．例6若則=A． B． C． D．分析：可以結(jié)合已知和求解多方位地尋找解題的思路．點(diǎn)評：本題考查利用三角恒等變換求值的能力，試題的根源是考生所常見的“已知，求的值（人教A版必修4第三章復(fù)習(xí)題B組最后一題第一問）”之類的題目，背景是熟悉的，但要解決這個問題還需要考生具有相當(dāng)?shù)闹R遷移能力．題型4正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用：這類問題通常是有實(shí)際背景的應(yīng)用問題，主要表現(xiàn)在航海和測量上，解決的主要方法是利用正余弦定理建立數(shù)學(xué)模型．例7．在一個特定時段內(nèi)，以點(diǎn)為中心的海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)正北海里處有一個雷達(dá)觀測站．某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)北偏東且與點(diǎn)相距海里的位置，經(jīng)過分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)北偏東(其中，)且與點(diǎn)相距海里的位置．（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由．分析：根據(jù)方位角畫出圖形，如圖．第一問實(shí)際上就是求的長，在中用余弦定理即可解決；第二問本質(zhì)上求是求點(diǎn)到直線的距離，即可以用平面解析幾何的方法，也可以通過解三角形解決．點(diǎn)評：本題以教材上所常用的航海問題為背景，考查利用正余弦定理解決實(shí)際問題的能力，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)坐標(biāo)方位畫出正確的解題圖．本題容易出現(xiàn)兩個方面的錯誤，一是對方位角的認(rèn)識模糊，畫圖錯誤；二是由于運(yùn)算相對繁瑣，在運(yùn)算上出錯．題型5三角函數(shù)與平面向量的結(jié)合：三角函數(shù)與平面向量的關(guān)系最為密切，這二者的結(jié)合有的是利用平面向量去解決三角函數(shù)問題，有的是利用三角函數(shù)去解決平面向量問題，更多的時候是平面向量只起襯托作用，三角函數(shù)的基本問題才是考查的重點(diǎn)．例8已知向量，（），令，且的周期為．(1)求的值；(2)寫出在上的單調(diào)遞增區(qū)間．分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式將函數(shù)的解析式求出來，再根據(jù)的周期為就可以具體確定這個函數(shù)的解析式，下面只要根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識解決即可．點(diǎn)評：本題以平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為入口，但本質(zhì)上是考查的三角函數(shù)的性質(zhì)，這是近年來高考命題的一個熱點(diǎn)．例9已知向量，，．（1）求的值;（2）若，，且，求．題型6三角形中的三角恒等變換：這是一類重要的恒等變換，其中心點(diǎn)是三角形的內(nèi)角和是，有的時候還可以和正余弦定理相結(jié)合，利用這兩個定理實(shí)現(xiàn)邊與角的互化，然后在利用三角變換的公式進(jìn)行恒等變換，是近年來高考的一個熱點(diǎn)題型．例10．三角形的三內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，設(shè)向量，若，（1）求角的大小；（2）求的取值范圍．分析：根據(jù)兩個平面向量平行的條件將向量的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，結(jié)合余弦定理解決第一問，第一問解決后，第二問中的角就不是獨(dú)立關(guān)系了，可以用其中的一個表達(dá)另一個，就把所要解決的問題歸結(jié)為一個角的三角函數(shù)問題．點(diǎn)評：本題從平面向量的平行關(guān)系入手，實(shí)質(zhì)考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等變換，解決三角形中的三角恒等變換要注意三角形內(nèi)角和定理和角的范圍對結(jié)果的影響．題型7用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)問題：導(dǎo)數(shù)是我們在中學(xué)里引進(jìn)的一個研究函數(shù)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)探討三角函數(shù)問題有它極大的優(yōu)越性，特別是單調(diào)性和最值．例12.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．分析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在大于等于零恒成立．點(diǎn)評：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想意識．本題如將化為的形式，則與有關(guān)，討論起來極不方便，而借助于導(dǎo)數(shù)問題就很容易解決．題型8三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用：將三角函數(shù)和其它的知識點(diǎn)相結(jié)合而產(chǎn)生一些綜合性的試題，解決這類問題往往要綜合運(yùn)用我們的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想，全方位的多方向進(jìn)行思考．例13.設(shè)二次函數(shù)，已知不論，為何實(shí)數(shù)，恒有和．（1）求證：；（2）求證：；（3）若函數(shù)的最大值為，求，的值．分析：由三角函數(shù)的有界性可以得出，再結(jié)合有界性探求．點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是，由利用正余弦函數(shù)的有界性得出，從而，使問題解決，這里正余弦函數(shù)的有界性在起了重要作用．專題一三角函數(shù)專題訓(xùn)練1.【2022重慶】已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且圖像上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為.（=1\*ROMANI）求和的值；（=2\*ROMANII）若，求的值.附：若的圖像與直線相切，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列．(1)求和的值；(2)ABC中a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊．若是函數(shù)圖象的一個對稱中心，且a=4，求ABC面積的最大值．2.(2022天津理)已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值．3.(2022四川理)已知函數(shù)+,.（1）求的最小正周期和最小值;（2）已知求證：.4.(2022廣東理)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))的值；(2)若cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3))).5.(2022湖南理)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，g(x)＝2sin2eq\f(x,2).(1)若α是第一象限角，且f(α)＝eq\f(3\r(3),5).求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．6.【2022湖北】某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：）隨時間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系；.（1）求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；（2）若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11，則在哪段時間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？7.(2022安徽理)設(shè)函數(shù).（=1\*ROMANI）求函數(shù)的最小正周期；（=2\*ROMANII）設(shè)函數(shù)對任意，有，且當(dāng)時，，求函數(shù)在上的解析式.8．(2022安徽理)已知函數(shù)f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期為π.(1)求ω的值；(2)討論f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的單調(diào)性．9.(2022廣東理)已知函數(shù)（其中）的最小正周期為.（1）求的值；（2）設(shè)，，，求的值.10.【2022山東卷】已知向量，，設(shè)函數(shù)，且的圖象過點(diǎn)和點(diǎn).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）將的圖象向左平移（）個單位后得到函數(shù)的圖象.若的圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為1，求的單調(diào)增區(qū)間.附：(2022山東理)已知向量，函數(shù)的最大值為6．（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.求在上的值域．11.(2022湖北理)已知向量=，=，設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，其中為常數(shù)，且.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.12.(2022四川理)函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如下圖所示，為圖象的最高點(diǎn)，，為圖象與軸的交點(diǎn)，且為正三角形.（Ⅰ）求的值及函數(shù)的值域；（Ⅱ）若，且，求的值.13.(2022四川理)（本小題滿分12分）（Ⅰ）①證明兩角和的余弦公式；②由推導(dǎo)兩角和的正弦公式．（Ⅱ）已知△ABC的面積，·，且，求．14.(2022陜西理)敘述并證明余弦定理．15.(2022山東理)在△中，內(nèi)角的對邊分別為．已知．（1）求的值；（2）若，求△的面積．16.(2022江西理)在中，角的對邊分別為.已知，.（1）求證：；（2）若，求的面積.附.【2022浙江】在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，（=1\*ROMANI）求角的大小；（=2\*ROMANII）若，求的面積.17.(2022重慶理)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2.(1)求C；(2)設(shè)cosAcosB＝eq\f(3\r(2),5)，eq\f(cos(α＋A)cos(α＋B),cosα)＝eq\f(\r(2),5)，求tanα的值．18.(2022江蘇理)在中，已知.

（1）求證：；

（2）若，求A的值.19.(2022浙江理)在中，角所對的邊分別為，已知且.（1）當(dāng)時，求的值；(2)若角為銳角，求p的取值范圍20.(2022江蘇)如下圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑。一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到?，F(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為。在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到。假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為，山路長為，經(jīng)測量，，。（1）求索道的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？21.(2022陜西理)DBCA北北60°60°45°如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距DBCA北北60°60°45°17．（本題滿分12分）若的圖像與直線相切，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列．(1)求和的值；(2)ABC中a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊．若是函數(shù)圖象的一個對稱中心，且a=4，求ABC面積的最大值．試題解析：（1）=……3分由題意，函數(shù)的周期為，且最大（或最小）值為，而,所以，……6分18．(本小題滿分12分)某高校在2022年自主招生考試成績中20．(2022重慶理)（本小題滿分12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2.(1)求C；(2)設(shè)cosAcosB＝eq\f(3\r(2),5)，eq\f(cos(α＋A)cos(α＋B),cosα)＝eq\f(\r(2),5)，求tanα的值．解(1)因?yàn)閍2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，由余弦定理有cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\r(2)ab,2ab)＝－eq\f(\r(2),2).又0<C<π，故C＝eq\f(3π,4).(2)由題意得eq\f((sinαsinA－cosαcosA)(sinαsinB－cosαcosB),cosα)＝eq\f(\r(2),5).因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝eq\f(\r(2),5)，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝eq\f(\r(2),5)，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝eq\f(\r(2),5).①因?yàn)镃＝eq\f(3π,4)，A＋B＝eq\f(π,4)，所以sin(A＋B)＝eq\f(\r(2),2)，因?yàn)閏os(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即eq\f(3\r(2),5)－sinAsinB＝eq\f(\r(2),2)，解得sinAsinB＝eq\f(3\r(2),5)－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.16．(2022陜西理)（本小題滿分12分）已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(1,2)))，b＝(eq\r(3)sinx，cos2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解(1)∵f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinxcosx－eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).∴f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，故當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)即x＝eq\f(π,3)時，f(x)max＝1；當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)即x＝0時，f(x)min＝－eq\f(1,2).17．(2022湖南理)（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，g(x)＝2sin2eq\f(x,2).(1)若α是第一象限角，且f(α)＝eq\f(3\r(3),5).求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)sinx，g(x)＝2sin2eq\f(x,2)＝1－cosx.(1)由f(α)＝eq\f(3\r(3),5)，得sinα＝eq\f(3,5)，又α是第一象限角，所以cosα>0.從而g(α)＝1－cosα＝1－eq\r(1－sin2α)＝1－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)f(x)≥g(x)等價于eq\r(3)sinx≥1－cosx，即eq\r(3)sinx＋cosx≥1.于是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≥eq\f(1,2).從而2kπ＋eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為{x|2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．16．(2022安徽理)（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期為π.(1)求ω的值；(2)討論f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的單調(diào)性．解(1)f(x)＝4coswx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(wx＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)sinωx·cosωx＋2eq\r(2)cos2ωx＝eq\r(2)(sin2ωx＋cos2ωx)＋eq\r(2)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq\r(2).因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，且ω>0.從而有eq\f(2π,2ω)＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\r(2).若0≤x≤eq\f(π,2)，則eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4).當(dāng)eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2).即0≤x≤eq\f(π,8)時，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，即eq\f(π,8)≤x≤eq\f(π,2)時，f(x)單調(diào)遞減．綜上可知，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減．16．(2022廣東理)（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))的值；(2)若cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3))).解(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)－\f(π,12)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\r(2)coseq\f(π,4)＝1.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)－\f(π,12)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝cos2θ－sin2θ，又cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴sinθ＝－eq\f(4,5)，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(7,25)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝cos2θ－sin2θ＝－eq\f(7,25)＋eq\f(24,25)＝eq\f(17,25).20.(2022江蘇)如下圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑。一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到?，F(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為。在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到。假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為，山路長為，經(jīng)測量，，。（1）求索道的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？6.解：（1）在中，，，，，，，，．答:索道的長為．（2）設(shè)乙出發(fā)到點(diǎn)，則甲出發(fā)到點(diǎn)，，，在中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，最?。穑阂页霭l(fā)分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短．（3）甲走完長為的山路，共需分鐘，設(shè)乙總用時為，乙步行的速度為，則，由題，在中，由正弦定理求得，，，，，，，，答：為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制到內(nèi)．30.【2022高考湖北理第17題】某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：）隨時間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系；.（1）求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；（2）若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11，則在哪段時間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？35.【2022高考山東卷第16題】已知向量，，設(shè)函數(shù)，且的圖象過點(diǎn)和點(diǎn).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）將的圖象向左平移（）個單位后得到函數(shù)的圖象.若的圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為1，求的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（I）.（II）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】試題分析：（1）由題意知.根據(jù)的圖象過點(diǎn)和，得到，解得.（2）由（1）知：.由題意知：，36.【2022高考陜西第16題】的內(nèi)角所對的邊分別為.（1）若成等差數(shù)列，證明：；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值.時等號成立），即得，所以的最小值為42.【2022高考浙江理第18題】在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，（=1\*ROMANI）求角的大??；（=2\*ROMANII）若，求的面積.（=2\*ROMANII）由，，得，由，得，從而，故43.【2022高考重慶理科第17題】已知函數(shù)43.【2022高考重慶理科第17題】已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且圖像上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為.（=1\*ROMANI）求和的值；（=2\*ROMANII）若，求的值.試題解析：解：（=1\*ROMANI）因的圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為，所以的最小正周期，從而.專題一三角函數(shù)專題【命題趨向】該專題的內(nèi)容包括三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平面向量、簡單的三角恒等變換、解三角形．高考在該部分的選擇和填空題，一般有兩個試題。一個試題是，如果在解答題部分沒有涉及到正、余弦定理的考查，會有一個與正余弦定理有關(guān)的題目，如果在解答題中涉及到了正、余弦定理，可能是一個和解答題相互補(bǔ)充的三角函數(shù)圖象、性質(zhì)、恒等變換的題目；一個試題是以考查平面向量為主的試題，這個試題的主要命題方向是（1）以平面向量基本定理、共線向量定理為主，（2）以數(shù)量積的運(yùn)算為主；三角函數(shù)解答題的主要命題方向有三個：（1）以三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為主體的解答題，往往和平面向量相結(jié)合；（2）以三角形中的三角恒等變換為主題，綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)等；（3）以實(shí)際應(yīng)用題的形式考查正余弦定理、三角函數(shù)知識的實(shí)際應(yīng)用．【考點(diǎn)透析】該專題的主要考點(diǎn)是：三角函數(shù)的概念和性質(zhì)（單調(diào)性，周期性，奇偶性，最值），三角函數(shù)的圖象，三角恒等變換（主要是求值），三角函數(shù)模型的應(yīng)用，正余弦定理及其應(yīng)用，平面向量的基本問題及其應(yīng)用．【例題解析】題型1三角函數(shù)的最值：最值是三角函數(shù)最為重要的內(nèi)容之一，其主要方法是利用正余弦函數(shù)的有界性，通過三角換元或者是其它的三角恒等變換轉(zhuǎn)化問題．例1若是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．分析：三角形的最小內(nèi)角是不大于的，而，換元解決．解析：由，令而，得．又，得，得，有．選擇答案D．點(diǎn)評：涉及到與的問題時，通常用換元解決．解法二：，當(dāng)時，，選D。例2．已知函數(shù)．，且．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時的值．分析：待定系數(shù)求，；然后用倍角公式和降冪公式轉(zhuǎn)化問題．解析：函數(shù)可化為． （1）由，可得，，所以，．（2），故當(dāng)即時，函數(shù)取得最大值為．點(diǎn)評：結(jié)論是三角函數(shù)中的一個重要公式，它在解決三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值、周期以及化簡求值恒等式的證明中有著廣泛應(yīng)用，是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的工具，是聯(lián)系三角函數(shù)問題間的一條紐帶，是三角函數(shù)部分高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容．題型2三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)圖象從“形”上反應(yīng)了三角函數(shù)的性質(zhì)，一直是高考所重點(diǎn)考查的問題之一．例3．為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位分析：先統(tǒng)一函數(shù)名稱，在根據(jù)平移的法則解決．解析：函數(shù)，故要將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位，選擇答案A．例4函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是20220318分析20220318解析：函數(shù)．結(jié)合選擇支和一些特殊點(diǎn)，選擇答案D．點(diǎn)評：本題綜合考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)不注意正切函數(shù)的定義域或是函數(shù)分段不準(zhǔn)確時，就會解錯這個題目．題型3用三角恒等變換求值：其主要方法是通過和與差的，二倍角的三角變換公式解決．例5已知，則的值是A． B． C． D．分析：所求的，將已知條件分拆整合后解決．解析：C．，所以．點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正余弦、誘導(dǎo)公式等三角函數(shù)的知識，考查分拆與整合的數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算能力．解題的關(guān)鍵是對的分拆與整合．例6若則=A． B． C． D．分析：可以結(jié)合已知和求解多方位地尋找解題的思路．方法一：，其中，即，再由知道，所以，所以．方法二：將已知式兩端平方得方法三：令，和已知式平方相加得，故，即，故．方法四：我們可以認(rèn)為點(diǎn)在直線上，而點(diǎn)又在單位圓上，解方程組可得，從而．這個解法和用方程組求解實(shí)質(zhì)上是一致的．方法五：只能是第三象限角，排除C．D．，這時直接從選擇支入手驗(yàn)證，由于計(jì)算麻煩，我們假定，不難由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，檢驗(yàn)符合已知條件，故選B．點(diǎn)評：本題考查利用三角恒等變換求值的能力，試題的根源是考生所常見的“已知，求的值（人教A版必修4第三章復(fù)習(xí)題B組最后一題第一問）”之類的題目，背景是熟悉的，但要解決這個問題還需要考生具有相當(dāng)?shù)闹R遷移能力．題型4正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用：這類問題通常是有實(shí)際背景的應(yīng)用問題，主要表現(xiàn)在航海和測量上，解決的主要方法是利用正余弦定理建立數(shù)學(xué)模型．例7．在一個特定時段內(nèi)，以點(diǎn)為中心的海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)正北海里處有一個雷達(dá)觀測站．某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)北偏東且與點(diǎn)相距海里的位置，經(jīng)過分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)北偏東(其中，)且與點(diǎn)相距海里的位置．（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由．分析：根據(jù)方位角畫出圖形，如圖．第一問實(shí)際上就是求的長，在中用余弦定理即可解決；第二問本質(zhì)上求是求點(diǎn)到直線的距離，即可以用平面解析幾何的方法，也可以通過解三角形解決．解析：（1）如圖，，，由于，所以由余弦定理得所以船的行駛速度為（海里/小時）．（2）方法一：如上面的圖所示，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，與軸的交點(diǎn)為．由題設(shè)有，，，所以過點(diǎn)的直線的斜率，直線的方程為．又點(diǎn)到直線的距離，所以船會進(jìn)入警戒水域．解法二：如圖所示，設(shè)直線與的延長線相交于點(diǎn)．在中，由余弦定理得，==．從而在中，由正弦定理得，．由于，所以點(diǎn)位于點(diǎn)和點(diǎn)之間，且．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為點(diǎn)到直線的距離．在中，所以船會進(jìn)入警戒水域．點(diǎn)評：本題以教材上所常用的航海問題為背景，考查利用正余弦定理解決實(shí)際問題的能力，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)坐標(biāo)方位畫出正確的解題圖．本題容易出現(xiàn)兩個方面的錯誤，一是對方位角的認(rèn)識模糊，畫圖錯誤；二是由于運(yùn)算相對繁瑣，在運(yùn)算上出錯．題型5三角函數(shù)與平面向量的結(jié)合：三角函數(shù)與平面向量的關(guān)系最為密切，這二者的結(jié)合有的是利用平面向量去解決三角函數(shù)問題，有的是利用三角函數(shù)去解決平面向量問題，更多的時候是平面向量只起襯托作用，三角函數(shù)的基本問題才是考查的重點(diǎn)．例8已知向量，（），令，且的周期為．(1)求的值；(2)寫出在上的單調(diào)遞增區(qū)間．分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式將函數(shù)的解析式求出來，再根據(jù)的周期為就可以具體確定這個函數(shù)的解析式，下面只要根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識解決即可．解析：(1)，∵的周期為．∴，，．(2)由于，當(dāng)（）時，單增，即（），∵∴在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．點(diǎn)評：本題以平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為入口，但本質(zhì)上是考查的三角函數(shù)的性質(zhì)，這是近年來高考命題的一個熱點(diǎn)．例9已知向量，，．（1）求的值;（2）若，，且，求．解析：（1），，．，，即，．（2），，，，．題型6三角形中的三角恒等變換：這是一類重要的恒等變換，其中心點(diǎn)是三角形的內(nèi)角和是，有的時候還可以和正余弦定理相結(jié)合，利用這兩個定理實(shí)現(xiàn)邊與角的互化，然后在利用三角變換的公式進(jìn)行恒等變換，是近年來高考的一個熱點(diǎn)題型．例10．三角形的三內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，設(shè)向量，若，（1）求角的大??；（2）求的取值范圍．分析：根據(jù)兩個平面向量平行的條件將向量的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，結(jié)合余弦定理解決第一問，第一問解決后，第二問中的角就不是獨(dú)立關(guān)系了，可以用其中的一個表達(dá)另一個，就把所要解決的問題歸結(jié)為一個角的三角函數(shù)問題．解析：（1），． 由余弦定理，得． （2）， 點(diǎn)評：本題從平面向量的平行關(guān)系入手，實(shí)質(zhì)考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等變換，解決三角形中的三角恒等變換要注意三角形內(nèi)角和定理和角的范圍對結(jié)果的影響．題型7用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)問題：導(dǎo)數(shù)是我們在中學(xué)里引進(jìn)的一個研究函數(shù)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)探討三角函數(shù)問題有它極大的優(yōu)越性，特別是單調(diào)性和最值．例12.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．分析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在大于等于零恒成立．解析：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則等價于不等式在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，從而在區(qū)間上恒成立，而函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，所以為所求．點(diǎn)評：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想意識．本題如將化為的形式，則與有關(guān)，討論起來極不方便，而借助于導(dǎo)數(shù)問題就很容易解決．題型8三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用：將三角函數(shù)和其它的知識點(diǎn)相結(jié)合而產(chǎn)生一些綜合性的試題，解決這類問題往往要綜合運(yùn)用我們的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想，全方位的多方向進(jìn)行思考．例13.設(shè)二次函數(shù)，已知不論，為何實(shí)數(shù)，恒有和．（1）求證：；（2）求證：；（3）若函數(shù)的最大值為，求，的值．分析：由三角函數(shù)的有界性可以得出，再結(jié)合有界性探求．解析：（1）因?yàn)榍液愠闪?，所以，又因?yàn)榍液愠闪ⅲ?，從而知，，即．?）由且恒成立得，即，將代如得，即．（3），因?yàn)?，所以?dāng)時，由，解得，．點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是，由利用正余弦函數(shù)的有界性得出，從而，使問題解決，這里正余弦函數(shù)的有界性在起了重要作用．20．(2022重慶理)（本小題滿分12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2.(1)求C；(2)設(shè)cosAcosB＝eq\f(3\r(2),5)，eq\f(cos(α＋A)cos(α＋B),cosα)＝eq\f(\r(2),5)，求tanα的值．解(1)因?yàn)閍2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，由余弦定理有cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\r(2)ab,2ab)＝－eq\f(\r(2),2).又0<C<π，故C＝eq\f(3π,4).(2)由題意得eq\f((sinαsinA－cosαcosA)(sinαsinB－cosαcosB),cosα)＝eq\f(\r(2),5).因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝eq\f(\r(2),5)，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝eq\f(\r(2),5)，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝eq\f(\r(2),5).①因?yàn)镃＝eq\f(3π,4)，A＋B＝eq\f(π,4)，所以sin(A＋B)＝eq\f(\r(2),2)，因?yàn)閏os(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即eq\f(3\r(2),5)－sinAsinB＝eq\f(\r(2),2)，解得sinAsinB＝eq\f(3\r(2),5)－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.16．(2022陜西理)（本小題滿分12分）已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(1,2)))，b＝(eq\r(3)sinx，cos2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解(1)∵f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinxcosx－eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).∴f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，故當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)即x＝eq\f(π,3)時，f(x)max＝1；當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)即x＝0時，f(x)min＝－eq\f(1,2).17．(2022湖南理)（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，g(x)＝2sin2eq\f(x,2).(1)若α是第一象限角，且f(α)＝eq\f(3\r(3),5).求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)sinx，g(x)＝2sin2eq\f(x,2)＝1－cosx.(1)由f(α)＝eq\f(3\r(3),5)，得sinα＝eq\f(3,5)，又α是第一象限角，所以cosα>0.從而g(α)＝1－cosα＝1－eq\r(1－sin2α)＝1－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)f(x)≥g(x)等價于eq\r(3)sinx≥1－cosx，即eq\r(3)sinx＋cosx≥1.于是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≥eq\f(1,2).從而2kπ＋eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為{x|2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．16．(2022安徽理)（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期為π.(1)求ω的值；(2)討論f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的單調(diào)性．解(1)f(x)＝4coswx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(wx＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)sinωx·cosωx＋2eq\r(2)cos2ωx＝eq\r(2)(sin2ωx＋cos2ωx)＋eq\r(2)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq\r(2).因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，且ω>0.從而有eq\f(2π,2ω)＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\r(2).若0≤x≤eq\f(π,2)，則eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4).當(dāng)eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2).即0≤x≤eq\f(π,8)時，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，即eq\f(π,8)≤x≤eq\f(π,2)時，f(x)單調(diào)遞減．綜上可知，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減．16．(2022廣東理)（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))的值；(2)若cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3))).解(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)－\f(π,12)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\r(2)coseq\f(π,4)＝1.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)－\f(π,12)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝cos2θ－sin2θ，又cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴sinθ＝－eq\f(4,5)，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(7,25)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝cos2θ－sin2θ＝－eq\f(7,25)＋eq\f(24,25)＝eq\f(17,25).【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】一、選擇題1．若，且，則的取值范圍是（） A． B． C． D．2．設(shè)是銳角，且，，則 （） A． B． C． D．3．若，與的夾角為，則 （） A． B． C． D．4．若為的內(nèi)心，且滿足，則的形狀為 （） A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形5．在中，若，則是 （） A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形6．已知向量、、，則直線與直線的夾角的取值范圍是 （） A． B． C． D．二、填空題7．的化簡結(jié)果是__________．8．若向量與的夾角為，則稱為它們的向量積，其長度為，已知，，且，則_______________．9．一貨輪航行到某處，測得燈塔在貨輪的北偏東，與燈塔相距海里，隨后貨輪按北偏西的方向航行分鐘后，又得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為每小時海里．三、解答題10．已知：，．（1）求的值；（2）求的值．11．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求使函數(shù)取得最大值的的集合．