第32講正弦定理余弦定理的應(yīng)用

第31講正弦定理、余弦定理的應(yīng)用1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3．方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類似．區(qū)分兩種角(1)方位角：從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角．(2)方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．1、（2023年高考真題新高考Ⅱ卷）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，已知面積為，若D為BC中點(diǎn)，且．（1）若，求；（2）若，求b，c．【解析】（1）（方法一）由面積為，可知，又在中，有由，可得，故，代入可得在中，由余弦定理可得即，解得在中，故，有（方法二）D為BC中點(diǎn)，，則過(guò)A作，垂足為E，在中，，在中，由中線定理可得即，所以，由和，所以又，又，因，可得.1、為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁A，B(如圖)，要測(cè)量A，B兩點(diǎn)的距離，測(cè)量人員在岸邊定出基線BC，測(cè)得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為_(kāi)___________．A．20eq\r(2)m B．30eq\r(2)m C．40eq\r(2)m D．50eq\r(2)m【答案】：D【解析】：由正弦定理得，則AB＝50eq\r(2)(m)．2、已知△ABC的面積S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，則角C的大小為()A.135°B.45°C.60°D.120°【答案】B【解析】因?yàn)镾＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)＝eq\f(1,2)absinC，所以a2＋b2－c2＝2absinC，所以c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理，得sinC＝cosC，所以C＝45°.3、一塊形狀近似為三角形的草坪，若其中兩角的正切值分別為eq\f(1,4)與eq\f(3,5)，且最長(zhǎng)的邊為eq\r(17)m，則最短的邊為()A.eq\r(3)mB.2eq\r(3)mC.eq\r(2)mD.5m【答案】C【解析】記草坪為△ABC，tanA＝eq\f(1,4)，tanB＝eq\f(3,5).因?yàn)镃＝π－(A＋B)，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－eq\f(\f(1,4)＋\f(3,5),1－\f(1,4)×\f(3,5))＝－1.又因?yàn)?＜C＜π，所以C＝eq\f(3π,4)，所以邊AB最長(zhǎng)，即AB＝eq\r(17)m．又因?yàn)閠anA＜tanB，A，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以角A最小，BC邊為最短邊．由且A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得sinA＝eq\f(\r(17),17).又由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得BC＝AB·eq\f(sinA,sinC)＝eq\r(2)(m).4、（2022年河北省承德市高三模擬試卷）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且B為銳角，若＝，sinB＝，S△ABC＝，則b的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】由＝，可得＝，故a＝c，①由S△ABC＝acsinB＝且sinB＝得ac＝5，②聯(lián)立①，②得a＝5，且c＝2.由sinB＝且B為銳角知cosB＝，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.故答案為：.考向一利用正弦、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題例1、（2022年江蘇省鎮(zhèn)江市高三模擬試卷）云臺(tái)閣，位于鎮(zhèn)江西津渡景區(qū)，全全落于云臺(tái)山北峰，建筑形式具有宋?元古建特征.如圖，小明同學(xué)為測(cè)量云臺(tái)閣的高度，在云臺(tái)閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12，在它們的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）測(cè)得樓頂A，云臺(tái)閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測(cè)得閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺(tái)閣的高度為（）（，，精確到1）A.42 B.45 C.51 D.57【答案】D【解析】【詳解】因?yàn)?，所以在中，，故，在中，，則，所以由正弦定理得，故，所以在中，，故.故選：D.變式1、（2022年江蘇省徐州市高三模擬試卷）如圖，有一壁畫(huà)，最高點(diǎn)A處離地面12m，最低點(diǎn)B處離地面7m.若從離地高4m的C處觀賞它，若要視角最大，則離墻的距離為（）A. B.3m C.4m D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)離墻的距離為為，求得關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得取得最大值時(shí)的值.【詳解】設(shè)離墻的距離為為，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由于，所以當(dāng)最大時(shí)，最大，此時(shí).故選：D變式2、如圖，有一段河流，河的一側(cè)是以O(shè)為圓心，半徑為10eq\r(3)m的扇形區(qū)域OCD，河的另一側(cè)是一段筆直的河岸l，岸邊有一煙囪AB(不計(jì)B離河岸的距離)，且OB的連線恰好與河岸l垂直，設(shè)OB與圓弧的交點(diǎn)為E．經(jīng)測(cè)量，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面，在點(diǎn)C，點(diǎn)O和點(diǎn)E處測(cè)得煙囪AB的仰角分別為45°，30°和60°．(1)求煙囪AB的高度；(2)如果要在CE間修一條直路，求CE的長(zhǎng)．【解析】：(1)設(shè)AB的高度為h．在△CAB中，因?yàn)椤螦CB＝45°，所以CB＝h．在△OAB中，因?yàn)椤螦OB＝30°，∠AEB＝60°，所以O(shè)B＝eq\r(3)h，EB＝eq\f(\r(3),3)h．由題意得eq\r(3)h－eq\f(\r(3)h,3)＝10eq\r(3)，解得h＝15．故煙囪AB的高度為15m．(2)在△OBC中，cos∠COB＝eq\f(OC2＋OB2－BC2,2OC·OB)＝eq\f(300＋225×3－225,2×10\r(3)×15\r(3))＝eq\f(5,6)．所以在△OCE中，CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos∠COE＝300＋300－600×eq\f(5,6)＝100．故CE的長(zhǎng)為10m．方法總結(jié)：(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．考向二利用正弦、余弦定理解決范圍問(wèn)題例2、（2022年遼寧省大連市高三模擬試卷）在①，②，③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答．已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，__________，且．（1）求角C的值；（2）求a的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】選擇條件①．∵，∴由正弦定理，得．∵，∴，∴，∴，即，∴．∵，∴，∴．選擇條件②．由，得，∴．則由余弦定理，得．∵，∴．選擇條件③．∵，∴，結(jié)合，得．由正弦定理，得，即．則由余弦定理，得．∵，∴．【小問(wèn)2詳解】∵，∴．∵為銳角三角形，且，∴，∴．又，∴，∴．由正弦定理，得，∴，∴，∴，即a的取值范圍為．變式1、（2022年福建省福州四校聯(lián)盟高三模擬試卷）某景區(qū)的平面圖如圖所示，其中AB，AC為兩條公路，，M，N為公路上的兩個(gè)景點(diǎn)，測(cè)得，，為了拓展旅游業(yè)務(wù)，擬在景區(qū)內(nèi)建一個(gè)觀景臺(tái)P，為了獲得最佳觀景效果，要求P對(duì)M，N的視角.現(xiàn)需要從觀景臺(tái)P到M，N建造兩條觀光路線PM，PN.（1）求M，N兩地間的直線距離；（2）求觀光線路長(zhǎng)的取值范圍.【解析】【小問(wèn)1詳解】由余弦定理得.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由正弦定理得，，所以，所以，由于，所以.即長(zhǎng)的取值范圍是（單位：）.變式2、（2022年河北省衡水中學(xué)高三模擬試卷）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．（1）求；（2）若，為邊的中點(diǎn)，求的最小值．【解析】：（1）中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．利用正弦定理得：，整理得：，即，由于，所以：．（2）因?yàn)榈拿娣e為，解得；在中，,兩邊同平方得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為．變式3、（2022·江蘇宿遷·高三期末）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答.問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且__________.（1）求角；（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】：（1）選擇①：條件即，由正弦定理可知，，在中，，所以，所以，且，即，所以；選擇②：條件即，即，在中，，所以，則，所以，所以.選擇③：條件即，所以，在中，，所以.（2）由（1）知，，所以，由正弦定理可知，，由是銳角三角形得，所以.所以，所以，故的取值范圍為.方法總結(jié)：一邊一對(duì)角問(wèn)題求最值或范圍問(wèn)題，有兩種處理方法：(1)利用正弦定理轉(zhuǎn)化成角的函數(shù)．(2)利用余弦定理轉(zhuǎn)化成邊的函數(shù)．考向三利用正弦、余弦定理解決多邊形的問(wèn)題例3、（2022·江蘇常州·高三期末）已知在四邊形中，，，，且，．（1）求；（2）求．【解析】（1）在中，則，又在中，，故（2）設(shè)，，，，則，由即可知，即在中，，又，則有故在中，即，解之得，即的長(zhǎng)為7變式1、（2022年重慶市巴蜀中學(xué)高三模擬試卷）重慶奉節(jié)小寨天坑景區(qū)擁有世界上深度和容積最大的巖溶漏斗，吸引橙子輔導(dǎo)來(lái)此參觀留影.為了測(cè)量天坑邊上如圖1所示的，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在旁邊取兩點(diǎn)，測(cè)得米，，，（假設(shè)，，四點(diǎn)在同一平面上，則兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_____米.【解析】如圖所示：在中，，，，，由正弦定理得：，解得，在中，，，，，所以，在中，由余弦定理得，，所以所以兩點(diǎn)的距離為.故答案為：變式2、（2022·江蘇海安·高三期末）在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大?。唬?）求四邊形ABCD的面積．【解析】（1）由題意，設(shè)，則，，在中，由正弦定理有，即，解得.所以，因?yàn)椋?（2）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，在中，由余弦定理有，即，解得，四邊形ABCD的面積.變式3、（2022·湖北·高三期末）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足．（1）求角A；（2）如圖，若，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，設(shè)，求平面四邊形面積的最大值及相應(yīng)的值．【解析】（1）∵，由正弦定理知，，由余弦定理知，.（2）由（1）以及，得是等邊三角形．設(shè)，則．余弦定理可得：，則．故四邊形面積．∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，S取得最大值為，故平面四邊形面積的最大值為，此時(shí)1、（2022·湖北襄陽(yáng)·高三期末）在中，，，則角的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，則.故選：A.2、（2022·江蘇如東·高三期末）某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)學(xué)生為了測(cè)量該校操場(chǎng)旗桿的高AB，先在旗桿底端的正西方點(diǎn)C處測(cè)得桿頂?shù)难鼋菫?5°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)20m到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得桿頂?shù)难鼋菫?0°，則旗桿的高為（）A．20m B．10m C．m D．m【答案】B【解析】如圖示，AB表示旗桿，由題意可知：，所以設(shè)，則，在中，,即，解得，（舍去），故選：B.3、（2022年福建省龍巖市高三模擬試卷）如圖，中，角的平分線交邊于點(diǎn)，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，根據(jù)正弦定理得，由，所以，所以，所以，則，所以，在中，由余弦定理得，所以．故選：D．4、（2022年湖北省黃岡市高三模擬試卷）在銳角三角形中，已知，，分別是角，，的對(duì)邊，且，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又為銳角三角形，，，且，即，，即，，．故選:C．5、（2022年福建省福州延安中學(xué)高三模擬試卷）給出以下三個(gè)條件：①且；②，；③；請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)將下面的題目補(bǔ)充完整，并求解．在銳角△ABC中，，____．（1）求角B；（2）求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．【解析】【小問(wèn)1詳解】選①，∵且，∴，即，∵，∴（沒(méi)有注明角的范圍的扣1分）選②，，∵，∴，∵，∴．（沒(méi)有注明角的范圍的扣1分）選③，∵，∴由