高等代數(shù)之二次型習(xí)題課件

二次型習(xí)題2.證明：秩等于r的對(duì)稱(chēng)矩陣可以表成r個(gè)秩等于1的對(duì)稱(chēng)矩陣之和.證:由題設(shè)又因?yàn)?，存在可逆矩陣C使

高等代數(shù)之二次型習(xí)題于是高等代數(shù)之二次型習(xí)題3.設(shè)A是一個(gè)n級(jí)矩陣，證明：A是反對(duì)稱(chēng)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一個(gè)n維向量X，有X’AX=0；2)如果A是對(duì)稱(chēng)矩陣，且對(duì)任一個(gè)n維向量X有X’AX=0，那么A=0.證:1）必要性

高等代數(shù)之二次型習(xí)題充分性

取

取從而可知A反對(duì)稱(chēng).高等代數(shù)之二次型習(xí)題2）

則由1）知

從而反對(duì)稱(chēng)，高等代數(shù)之二次型習(xí)題4.如果把實(shí)n級(jí)對(duì)稱(chēng)矩陣按合同分類(lèi)，即兩個(gè)實(shí)n級(jí)對(duì)稱(chēng)矩陣屬于同一類(lèi)當(dāng)且僅當(dāng)它們合同，問(wèn)共有幾類(lèi)？解:實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A與B合同充要條件是存在可逆矩陣T與C使高等代數(shù)之二次型習(xí)題考慮對(duì)角矩陣D的相應(yīng)二次型的合同分類(lèi)情況，共計(jì)r+1個(gè)合同類(lèi).但秩r又分別取n，n-1，…，2,1,0，.故共有高等代數(shù)之二次型習(xí)題.5.證明：一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必要條件是，它的秩等于2且符號(hào)差等于0，或者秩等于1.證:

必要性

設(shè)1)若上式右邊的兩個(gè)一次式系數(shù)成比例，即高等代數(shù)之二次型習(xí)題.二次型化為秩為1.2)若上式右邊的兩個(gè)一次式系數(shù)不成比例，設(shè)高等代數(shù)之二次型習(xí)題.二次型化為高等代數(shù)之二次型習(xí)題.二次型化為秩為2，且符號(hào)差為0.充分性1）秩為1，則可經(jīng)線性替換X=CY，二次型化為

高等代數(shù)之二次型習(xí)題.2）秩為2，且符號(hào)差為0，則可經(jīng)線性替換X=CY，二次型化為可表成兩個(gè)一次齊次式的乘積.總之，高等代數(shù)之二次型習(xí)題.6.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.證明：當(dāng)實(shí)數(shù)t充分大之后，tE+A是正定矩陣.證:它的k級(jí)順序主子式高等代數(shù)之二次型習(xí)題.當(dāng)t充分大時(shí)，為嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)的行列式，且高等代數(shù)之二次型習(xí)題.8.設(shè)A為一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且|A|<0,證明：必存在實(shí)n維向量證:

假設(shè)任意實(shí)n維向量X，有所有主子式大于或等于0，

故|A|≥0這與|A|<0矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立.高等代數(shù)之二次型習(xí)題.2.設(shè)實(shí)二次型證明：的秩等于矩陣的秩.證:高等代數(shù)之二次型習(xí)題可知，f的矩陣為高等代數(shù)之二次型習(xí)題.3.設(shè)A是n級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：存在一正實(shí)數(shù)c使對(duì)任一實(shí)n維向量X