數(shù)學(xué)人教A版必修4知識巧解學(xué)案1.2任意角的三角函數(shù)

皰工巧解牛知識?巧學(xué)一、任意角的三角函數(shù)1.如圖1-2-2，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y)，那么y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；叫做α的正切，記作tanα=(x≠0).像這種以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，所以三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù).圖1-2-22.利用角α的終邊上任意一點P的坐標來定義三角函數(shù).設(shè)α是一個任意角，α的終邊上一點P(除端點外)的坐標是(x，y)，它與原點的距離是r()，如圖1-2-3所示.圖1-2-3那么，比值叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=；比值叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=；比值叫做α的正切，記作tanα，即tanα=；比值叫做角α的余切，記作cotα=；比值叫做角α的正割，記作secα=；比值叫做角α的余割，記作cscα=.這些函數(shù)都是以角α為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).3.明確各個三角函數(shù)的記法的意義sinα、cosα、tanα等都表示一個整體，離開自變量α的sin、cos、tan等都是沒有意義的.sinα并不表示“sin”與“α”的乘積，就像函數(shù)“f(x)”不表示“f”與“x”的乘積一樣，sinα是一個比值，例如sin，它表示的正弦值，即.同理，cosα、tanα的意義也是一樣的.二、三角函數(shù)的定義域由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，它的定義域的每一個值應(yīng)使相應(yīng)的比值有意義，即使比值的分母不等于零.設(shè)點P(x,y)，當x=0時，角α的終邊落在y軸上，終邊落在y軸上的角的集合是{α|α=+kπ,k∈Z}；當y=0時，角α的終邊落在x軸上，終邊落在x軸上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}.由三個三角函數(shù)的定義可知它們的定義域是:三角函數(shù)定義域sinαRcosαRTanα{α|α≠+kπ,k∈Z}同理，角α的余切、角α的正割、角α的余割的定義域分別是:三角函數(shù)定義域cotα{α|α≠kπ,k∈Z}secα{α|α≠+kπ,k∈Z}cscα{α|α≠kπ,k∈Z}學(xué)法一得函數(shù)是由定義域及定義域到值域上的對應(yīng)關(guān)系構(gòu)成的，它的定義域是使函數(shù)有意義的自變量x的集合.三角函數(shù)的自變量的取值應(yīng)使比值有意義，可以此來確定它的定義域.三、任意角α的三角函數(shù)值與角α終邊上點P的位置無關(guān)如圖1-2-4，在角α的終邊上再作一點P′(x′,y′)，它與原點的距離為，分別過點P、P′作PA⊥x軸于點A，P′B⊥x軸于點B，顯然△OPA∽△OP′B，則由相似三角形的性質(zhì)可得，無論角α的終邊落在哪個象限，都有y與y′同號，x與x′同號，所以以上三式可化為，即對于確定的角α，這三個比值(如果有意義的話)都不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變.也就是說，三角函數(shù)是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).圖1-2-4學(xué)法一得用α的終邊同單位圓的交點來定義任意角的三角函數(shù)是用角α終邊上任一點來定義三角函數(shù)的特例.四、任意角的三角函數(shù)值的符號因為sinα=，由于r＞0恒成立，當點P(x，y)位于第一、二象限時，y＞0;位于第三、四象限時，y＜0.所以當α位于第一、二象限時，sinα＞0;當α位于第三、四象限時，sinα＜0；同理,當α位于第一、四象限時，cosα＞0;當α位于第二、三象限時，cosα＜0.當α位于第一、三象限時，tanα＞0;當α位于第二、四象限時，tanα＜0.關(guān)于這三種三角函數(shù)值在各個象限的符號可用圖1-2-5記憶.圖1-2-5記憶要訣三角函數(shù)在各象限的符號可用以下口訣記憶：“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”.其含義是在第一象限各三角函數(shù)皆為正，在第二象限正弦為正，在第三象限正余切為正，在第四象限余弦為正.還可簡記為“全、s、t、c”四字.五、終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等把角α推廣到一般形式，由任意角的三角函數(shù)的定義可知sin(α+k·360°)=sinαcos(α+k·360°)=cosαtan(α+k·360°)=tanα,其中k∈Z(公式一)這一組結(jié)論我們稱之為誘導(dǎo)公式一，其作用在于將絕對值較大的角化小.六、三角函數(shù)線1.由任意角的三角函數(shù)的定義可知sinα=，cosα=，tanα=，它們是三角函數(shù)的一種代數(shù)形式，由于角α的三角函數(shù)值與點P(x，y)的位置無關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，因此，可設(shè)法使點P(x，y)滿足，使點P的位置位于一個特殊點，此時sinα=y，cosα=x，使三角函數(shù)值變得更簡單.2.如圖1-2-6，設(shè)任意角α的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓相交于點P(x，y)，過點P作x軸的垂線，垂足為M，過點A(1，0)作單位圓的切線，設(shè)它與角α的終邊(α位于第一、四象限時)或其反向延長線(當α位于第二、三象限時)相交于點T(由于過切點的半徑垂直于圓的切線，所以AT平行于y軸).圖1-2-6則有向線段MP、OM、AT分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線.它們是三角函數(shù)的一種幾何表示形式，當角α的終邊位于四個象限內(nèi)時，三條有向線段中有兩條在圓內(nèi)，一條在圓外，由于它們使代數(shù)表示形式中的分母都變?yōu)榱?，所以形式更加簡單、形象、直觀.特別地，當角α的終邊落在x軸上時，正弦線、正切線變成一個點；當角α的終邊落在y軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在.3.用字母表示有向線段時，總是把起點的字母寫在前面，終點的字母寫在后面，有向線段的長度表示大小，符號表示方向.規(guī)定余弦線以原點為起點，正弦線和正切線均以此線段與坐標軸的公共點為起點.同坐標軸的正方向一致的有向線段為正值，反之為負值.這樣，可保證有向線段的取值同點P坐標的一致性.學(xué)法一得三角函數(shù)線是當點P為終邊上的特殊點時的三角函數(shù)的表示形式.三角函數(shù)線的方向和長短直觀反映了三角函數(shù)值的符號和絕對值的大小,從三角函數(shù)線的方向看出三角函數(shù)值的正負，其長度是三角函數(shù)值的絕對值.由此可知，三角函數(shù)線的形成反映了由一般到特殊的定義應(yīng)用過程.三角函數(shù)在各象限的符號也可以根據(jù)畫出的三角函數(shù)線的方向記憶.三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、求函數(shù)定義域及比較大小，同時它也是學(xué)習三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ).典題?熱題知識點一求特殊角的三角函數(shù)值例1求下列各角的三個三角函數(shù)值.(1)0；(2)π；(3)；(4).思路分析：求特殊角的三角函數(shù)值的關(guān)鍵是確定該角與單位圓的交點坐標.解：(1)因為當α=0時，x=1,y=0,所以sin0=y=0,cos0=x=1,tan0=.(2)因為α=π時，x=1,y=0，所以sinπ=y=0，cosπ=x=1，tanπ=.(3)因為α=時，x=0,y=1,所以sin=y=1,cos=x=0,tan不存在.(4)如圖1-2-7，在直角坐標系中，作∠AOB=,圖1-2-7過點B作BC⊥x軸于點C，則∠BOC=,易知∠AOB的終邊與單位圓的交點B(,).所以,,.知識點二確定角α終邊上一點的坐標，求α的各個三角函數(shù)值例2已知角α的終邊在直線y=3x上，用三角函數(shù)的定義求α的三個三角函數(shù)值.思路分析：可先利用方程在角α終邊上找到任意一點的坐標，再求解.解：設(shè)點P(a,3a)(a≠0)是角α終邊上一點，則.當a＞0時，r=，此時sinα，cosα=，tanα=；當a＜0時，r=，此時sinα=，cosα=，tanα=3.方法歸納由于任意角α的三角函數(shù)值僅與角α的大小有關(guān)，而與角α的終邊上點的坐標無關(guān),因此，若已知角α的終邊上任一異于原點的點的坐標，都可直接利用定義求值.知識點三化簡或證明三角恒等式例3求證:.思路分析：可利用任意角的三角函數(shù)的意義，將角α的三角函數(shù)用x、y、r(x2+y2=r2)表示出來，轉(zhuǎn)化為證明關(guān)于x、y或x、y、r的恒等式.證明：設(shè)點P(x,y)是角α終邊與單位圓的交點(x2+y2=1)，由三角函數(shù)的定義可知sinα=y，cosα=x.因為左邊右邊==0.所以原式成立.方法歸納三角恒等式的證明，若未給出特別說明，則認為是在兩邊都有意義的情況下進行的.證明恒等式常見的方法有：①比較法；②從一邊開始證明它等于另一邊；③證明左右兩邊等于同一式子；④先證明某一等式成立，再證明需要的式子成立等.知識點四任意角的三角函數(shù)值的符號例4若sin2α＞0，且cosα＜0，試確定角α所在的象限.思路分析：先由sin2α＞0，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義確定2α所在的象限，再進一步確定α所在的象限.解：∵sin2α＞0，∴2kπ＜2α＜2kπ+π,k∈Z.∴kπ＜α＜kπ+,k∈Z.∴角α位于一、三象限.又∵cosα＜0，∴α位于二、三象限或x軸的負半軸上.綜上可知，角α是第三象限角.例5已知角α的終邊經(jīng)過點P(x,6)，且cosα=，求tanα的值.思路分析：可先由任意角的三角函數(shù)的定義確定x的值，再由該定義確定tanα的值.解：∵P(x,6),∴，由cosα=,得x=±.又∵cosα=＜0，∴α位于二、三象限.又∵6＜0,∴α位于第三象限.∴x=.∴tanα=.方法歸納根據(jù)任意角α的不同三角函數(shù)值在各個象限的符號不同，可用來確定角α所在的象限，解決與角α所在的象限有關(guān)的三角函數(shù)的求值問題.知識點五終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等例6求值:(1)sin(1740°)·cos1470°+cos(660°)·sin750°+tan405°；(2)sin2+tan2()·tan.思路分析：利用誘導(dǎo)公式一，將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成0°到360°或0到2π內(nèi)的三角函數(shù)值，再求值.解：(1)原式=sin(60°5×360°)·cos(30°+4×360°)+cos(60°2×360°)·sin(30°+2×360°)+tan(45°+360°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=2.(2)原式=sin2(+4π)+tan2(2π)·tan(+2π)=sin2+tan2·tan=.方法歸納任意角的三角函數(shù)的定義是銳角的三角函數(shù)定義的推廣，它的函數(shù)值是一個與實數(shù)相對應(yīng)的比值.該實數(shù)值的大小與點P在終邊上的位置無關(guān)，僅與角α的大小有關(guān).利用該定義，可用來確定函數(shù)的定義域、各三角函數(shù)值在不同象限的符號、化簡任意角的三角函數(shù)值等，熟練掌握該定義是學(xué)好其他問題的關(guān)鍵.知識點六三角函數(shù)線例7作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線.(1)；(2)；(3)；(4).思路分析：作角α的三角函數(shù)線的關(guān)鍵是畫出單位圓和角α的終邊.解：圖1-2-8各個圓中的有向線段MP、OM、AT分別表示各個角的正弦線、余弦線、正切線.例8在單位圓中作出適合下列條件的角α的終邊.(1)sinα=；(2)cosα=；(3)tanα=1.思路分析：由三角函數(shù)線的定義,可知對于正弦函數(shù)sinα=，余弦函數(shù)cosα=，只需分別作直線y=，x=，它們與單位圓的交點同原點O的連線即為角α的終邊；對于正切函數(shù)tanα=1，只需在過點A(1，0)的圓的切線上截取AT=1，連結(jié)OT與單位圓相交于兩點，該直線即為所求.解：(1)(2)(3)圖1-2-9圖1-2-9中的OP、OQ即為所求角α的終邊.例9求函數(shù)的定義域.思路分析：由于題目只給出了解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，所以它的定義域應(yīng)是使這個式子有意義的實數(shù)的集合.解三角不等式時，可借助于單位圓中的三角函數(shù)線求解.解：要使有意義，必須滿足sinx≥0；要使lg(9x2)有意義，必須滿足9x2＞0；要使分母有意義，需滿足cosx＞0.所以要使函數(shù)f(x)有意義，則(k∈Z)(k∈Z)0≤x＜，即函數(shù)f(x)的定義域是x∈［0，］.方法歸納三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示形式.若已知角α的大小，則它的三角函數(shù)的大小可用它的三角函數(shù)線表示出來；反過來，若已知角α的三角函數(shù)值的大小，則可找到角α的終邊.利用三角函數(shù)線可以解簡單的三角不等式、求定義域、比較函數(shù)值的大小，同時它也是學(xué)習三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ).問題?探究交流討論探究問題若角α是銳角，則α、sinα、tanα的大小關(guān)系是怎樣的？探究過程：學(xué)生甲：三角函數(shù)線是單位圓中的有向線段，利用它們可以比較三角函數(shù)值的大小，利用這種方法可以比較sinα和tanα的大小關(guān)系，如圖1-2-10(1)，角α的正弦線MP和正切線AT的方向均與y軸的正向相同，則AT的長度大于MP的長度，則應(yīng)有sinα＜tanα.(1)學(xué)生乙：只利用三角函數(shù)線不能比較α和sinα的大小關(guān)系，但我可以構(gòu)造一個三角形和一個扇形，利用它們的面積來比較α、sinα的大小，如圖1-2-10(2)，扇形OAP的面積大于△OAP的面積，且S△OAP=OA·MP=MP=sinα，S扇形OAP=OA·=α.所以應(yīng)有sinα＜α，即sinα＜α.再結(jié)合同學(xué)甲的結(jié)論，則應(yīng)有sinα＜α＜tanα.(2)學(xué)生丙：受同學(xué)乙的啟發(fā)，我可以比較α和tanα的大小，如圖1-2-10(3)，在圖中，扇形OAP的面積小于Rt△OAT的面積，且S扇形OAP=OA·=α,S△OAT=OA·AT=AT=tanα,則有α＜tanα,即α＜tanα.(3)圖1-2-10探究結(jié)論：若角α是銳角，則α、sinα、tanα的大小關(guān)系是sinα＜α＜tanα.思想方法探究問題1單位圓與三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的直觀表示，它在證明三角函數(shù)問題中有什么作用？探究過程：利用單位圓和三角函數(shù)線可以將問題中各量用它的幾何形式直觀表示出來，然后再通過圖形分析即可解決問題.如三角中常見的不等式tanα＞α＞sinα(0＜α＜)，就可以利用單位圓與三角函數(shù)線非常方便地證明.探究結(jié)論：利用三角函數(shù)線，數(shù)形結(jié)合，使問題得以簡化.這個不等式既不是單純的三角不等式，又不是單純的代數(shù)不等式，而是“混合型”的不等式，證明的方法使用了面積關(guān)系，證題的基礎(chǔ)是弧度制與三角函數(shù)線.由此，三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的重要工具.問題2三角函數(shù)的化簡與證明是三角部分的重要問題，那么三角函數(shù)的化簡與證明有哪些常用方法？應(yīng)當注意些什么問題？探究過程：三角函數(shù)式的化簡實際上是一種不指定答案的恒等變形，體現(xiàn)了由繁到簡的最基本的數(shù)學(xué)解題原則.它不僅要求學(xué)生熟悉和靈活運用所學(xué)的三角公式，還需要熟悉和靈活運用這些公式的等價形式.同時，這類問題還具有較強的綜合性，對其他非三角知識的運用也具有較高的要求，因此在學(xué)習時要注意進行及時的總結(jié).①化簡三角函數(shù)時，在題設(shè)的要求下，首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，還要明確化簡的基本要求：盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)的種數(shù)，盡量化同角、化同名角等.其