安徽省馬鞍山市高三數(shù)學(xué)第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷（理科）（三模）

2021年安徽省馬鞍山市高考數(shù)學(xué)第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷（理科）（三模）一、選擇題（共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）.1．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{3，4}，P＝{x∈R|x＜0或x＞3}，則（M∪N）∩（?RP）＝（）A．{1，2，3} B．（2，3） C．{2} D．{x∈R|0≤x≤3}2．若復(fù)數(shù)（1+i）（a﹣i）（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）3．雷達(dá)圖也稱(chēng)為網(wǎng)絡(luò)圖、蜘蛛圖，是一種能夠直觀地展示多維度的類(lèi)目數(shù)據(jù)對(duì)比情況的統(tǒng)計(jì)圖．如圖是小明、小張和小陳三位同學(xué)在高一一學(xué)年六科平均成績(jī)雷達(dá)圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．綜合六科來(lái)看，小明的成績(jī)最好，最均衡 B．三人中，小陳的每門(mén)學(xué)科的平均成績(jī)都是最低的 C．六門(mén)學(xué)科中，小張存在偏科情況 D．小陳在英語(yǔ)學(xué)科有較強(qiáng)的學(xué)科優(yōu)勢(shì)4．已知等差數(shù)列{an}中，a2+a14＝18，a2＝3，則a10＝（）A．10 B．11 C．12 D．135．已知命題p：“?x∈R，x2﹣x+1＜0”，則￢p為（）A．?x∈R，x2﹣x+1≥0 B．?x?R，x2﹣x+1≥0 C．?x∈R，x2﹣x+1≥0 D．?x∈R，x2﹣x+1＜06．的常數(shù)項(xiàng)為25，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣27．函數(shù)f（x）的部分圖象如圖，則它的解析式可能是（）A． B． C． D．8．函數(shù)的部分圖象如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則φ的值為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線C的漸近線上，?，且PF1與x軸垂直，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．10．國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）是由國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主辦的國(guó)際數(shù)學(xué)界最重要的會(huì)議，每四年舉辦一次，至今共舉辦了十三屆，第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)于2021年上海舉行，華東師大向全世界發(fā)出了數(shù)學(xué)教育理論發(fā)展與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)分享的邀約，如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)ICME﹣7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的．其中已知：OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝A5A6＝A6A7＝A7A8＝?＝1，A1，A2，A3，?，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)和面積依次從小到大組成的數(shù)列分別為{ln}，{Sn}，則關(guān)于此兩個(gè)數(shù)列敘述錯(cuò)誤的是（）A．{Sn2}是等差數(shù)列 B． C． D．ln﹣1＝2Sn+2Sn+111．如圖，E是正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱D1D的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱C1B1上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題中：①若過(guò)CF的平面與直線EB垂直，則F為C1B1的中點(diǎn)；②存在F使得D1F∥BE；③存在F使得△BEF的主視圖和側(cè)視圖的面積相等；④四面體EBFC的體積為定值．其中正確的是（）A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④12．已知x∈（0，+∞），不等式ax+eαx≥lnx+x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A． B． C．0 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)函數(shù)則＝．14．在△ABC中，，O為△ABC的外心，若，則的值為．15．某動(dòng)漫公司推出漫畫(huà)角色盲盒周邊售賣(mài)，每個(gè)盲盒中等可能的放入該公司的3款經(jīng)典動(dòng)漫角色玩偶中的一個(gè)．小明購(gòu)買(mǎi)了4個(gè)盲盒，則他能集齊3個(gè)不同動(dòng)漫角色的概率是．16．如圖，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面相切．橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2.過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于點(diǎn)M，N．由球和圓的幾何性質(zhì)可知，PN＝PF1，PM＝PF2.已知兩球半徑分為別1和3，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步：。第17～21顆為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．如圖，在△ABC中，，D為AC邊上一點(diǎn)且AB⊥BD，BD＝2．（1）若，求△BCD的面積；（2）求的取值范圍．18．如圖多面體ABCDEF中，面FAB⊥面ABCD，△FAB為等邊三角形，四邊形ABCD為正方形，EF∥BC，且EF＝BC＝3，H，G分別為CE，CD的中點(diǎn)．（1）求二面角C﹣FH﹣G的余弦值；（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點(diǎn)為P，寫(xiě)出的值（不需要說(shuō)明理由，保留作圖痕跡）．19．某校組織200名學(xué)生參加某學(xué)科競(jìng)賽．這200名學(xué)生的成績(jī)頻率分布表如表：分組[20，40]（40，60]（60，80]（80，100]（100，120]（120，140]頻率（1）求樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為本次學(xué)科競(jìng)賽成績(jī)Z近似服從正態(tài)分布N（μ2），其中μ取樣本平均值．分?jǐn)?shù)不小于97.5分可晉級(jí)下一輪比賽，試估算晉級(jí)人數(shù)（結(jié)果四舍五入，取整數(shù)）；（3）本次學(xué)科競(jìng)賽的試題由25道選擇題構(gòu)成，每題6個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)正確答案，答對(duì)得6分，不答得1.5分，答錯(cuò)不得分．學(xué)生甲能正確解答其中的15道題，剩余10道題每道題作答的概率為，作答的情況下他從6個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)的選擇其中一個(gè)作答．求甲的得分X的期望值．附：若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6828，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．20．已知函數(shù)f（x）＝a（1﹣x）ex，其中a∈R且a≠0．（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出其單調(diào)性；（2）若a＝1，，x0是F（x）的極大值點(diǎn)，求證：．21．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝x﹣2與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．（1）求△FAB的面積；（2）過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P作圓M：（x﹣3）2+y2＝4的兩條斜率都存在的切線，分別與拋物線C交于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)D，E．證明：直線DE與圓M相切．四、選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M（0，﹣1），若曲線C1，C2相交于A，B兩點(diǎn)，求|MA|+|MB|的值．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|2x+3|．（1）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤8；（2）已知關(guān)于x的不等式f（x）+|x+a|≤x+5，在x∈[﹣1，1]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案一、選擇題（共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）.1．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{3，4}，P＝{x∈R|x＜0或x＞3}，則（M∪N）∩（?RP）＝（）A．{1，2，3} B．（2，3） C．{2} D．{x∈R|0≤x≤3}解：∵集合M＝{1，2，3}，N＝{3，4}，P＝{x∈R|x＜0或x＞3}，∴M∪N＝{1，2，3，4}，?RP＝{x|0≤x≤3}，∴（M∪N）∩（?RP）＝{1，2，3}．故選：A．2．若復(fù)數(shù)（1+i）（a﹣i）（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）解：復(fù)數(shù)（1+i）（a﹣i）＝a+1+（a﹣1）i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，∴a+1＜0，a﹣1＜0，解得：a＜﹣1．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1），故選：B．3．雷達(dá)圖也稱(chēng)為網(wǎng)絡(luò)圖、蜘蛛圖，是一種能夠直觀地展示多維度的類(lèi)目數(shù)據(jù)對(duì)比情況的統(tǒng)計(jì)圖．如圖是小明、小張和小陳三位同學(xué)在高一一學(xué)年六科平均成績(jī)雷達(dá)圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．綜合六科來(lái)看，小明的成績(jī)最好，最均衡 B．三人中，小陳的每門(mén)學(xué)科的平均成績(jī)都是最低的 C．六門(mén)學(xué)科中，小張存在偏科情況 D．小陳在英語(yǔ)學(xué)科有較強(qiáng)的學(xué)科優(yōu)勢(shì)解：對(duì)于A，小明各科成績(jī)都處于較高分?jǐn)?shù)段且圖形最均衡，由此可知小明成績(jī)最好，最均衡，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，小陳的英語(yǔ)平均成績(jī)是三人中最高的，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，小張數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)闈M(mǎn)分，化學(xué)接近滿(mǎn)分，但物理和英語(yǔ)成績(jī)均為三人中最低，可知小張存在偏科情況，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，小陳的英語(yǔ)平均成績(jī)是三人中最高且接近滿(mǎn)分，所以小陳在英語(yǔ)學(xué)科有較強(qiáng)的學(xué)科優(yōu)勢(shì)，故選項(xiàng)D正確．故選：B．4．已知等差數(shù)列{an}中，a2+a14＝18，a2＝3，則a10＝（）A．10 B．11 C．12 D．13解：在等差數(shù)列{an}中，由a2+a14＝18，得2a8＝a2+a14＝18，則a8＝9，又a2＝3，∴，∴a10＝a8+2d＝9+2×1＝11．故選：B．5．已知命題p：“?x∈R，x2﹣x+1＜0”，則￢p為（）A．?x∈R，x2﹣x+1≥0 B．?x?R，x2﹣x+1≥0 C．?x∈R，x2﹣x+1≥0 D．?x∈R，x2﹣x+1＜0解：由特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題，可得命題p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，則￢p是?x∈R，x2﹣x+1≥0．故選：C．6．的常數(shù)項(xiàng)為25，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2解：（2x﹣1）6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1＝（﹣1）r?26﹣r??x6﹣r，所以的常數(shù)項(xiàng)為（﹣1）5?2?a+（﹣1）6?20＝﹣12a+1＝25，解得a＝﹣2．故選：D．7．函數(shù)f（x）的部分圖象如圖，則它的解析式可能是（）A． B． C． D．解：由圖知，f（0）＝0，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝＝1≠0，即選項(xiàng)A不符合題意；當(dāng)﹣π＜x＜﹣1時(shí)，f（x）＞0，此時(shí)sinx＜0，x+1＜0，∴y＝＞0，y＝＜0，即選項(xiàng)B符合題意，選項(xiàng)C不符合題意；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）先為正，后為負(fù)，此時(shí)|sinx|≥0，x+1＞0，∴y＝≥0，與圖象不符，即選項(xiàng)D不符合題意，故選：B．8．函數(shù)的部分圖象如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則φ的值為（）A． B． C． D．解：由題意得x＝0時(shí)y＝cosφ＝，得cosφ＝，因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝±，由“五點(diǎn)法”畫(huà)圖知，應(yīng)取φ＝﹣．故選：C．9．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線C的漸近線上，?，且PF1與x軸垂直，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．解：雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線C的漸近線上，?，不妨設(shè)P在第二象限，則P（﹣c，），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），因?yàn)?，所以（0，﹣）?（2c，﹣）＝＝3c2，b2＝3a2，所以c2＝4a2，可得離心率為：e＝2．故選：C．10．國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）是由國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主辦的國(guó)際數(shù)學(xué)界最重要的會(huì)議，每四年舉辦一次，至今共舉辦了十三屆，第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)于2021年上海舉行，華東師大向全世界發(fā)出了數(shù)學(xué)教育理論發(fā)展與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)分享的邀約，如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)ICME﹣7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的．其中已知：OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝A5A6＝A6A7＝A7A8＝?＝1，A1，A2，A3，?，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)和面積依次從小到大組成的數(shù)列分別為{ln}，{Sn}，則關(guān)于此兩個(gè)數(shù)列敘述錯(cuò)誤的是（）A．{Sn2}是等差數(shù)列 B． C． D．ln﹣1＝2Sn+2Sn+1解：由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝A5A6＝A6A7＝A7A8＝?＝1，得OA2＝，，?，故，∴l(xiāng)n＝OAn+AnAn+1+OAn+1＝，①Sn＝＝，對(duì)于A，Sn2＝，∴{Sn2}是等差數(shù)列，所以A正確；對(duì)于B，由①可知，B正確；對(duì)于C，ln﹣ln﹣1＝﹣（）＝，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，ln﹣1＝，2Sn+2Sn+1＝＝ln﹣1，所以D正確．故選：C．11．如圖，E是正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱D1D的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱C1B1上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題中：①若過(guò)CF的平面與直線EB垂直，則F為C1B1的中點(diǎn)；②存在F使得D1F∥BE；③存在F使得△BEF的主視圖和側(cè)視圖的面積相等；④四面體EBFC的體積為定值．其中正確的是（）A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④解：當(dāng)F為B1C1中點(diǎn)時(shí)，將CF平移至EM，則M為A1D1的四等分點(diǎn)，即，過(guò)M作MN⊥AD，不妨設(shè)AD＝4，則MN＝4，BN＝5，BD＝，∴在Rt△BDE中，，同理BM＝，ME＝，∴BE2+ME2＝BM2，∴ME⊥BE，∴CF⊥BE，∵AC⊥BE，∴BE⊥面ACF，故①正確；過(guò)D1作D1Q∥BE，可得Q為BB1中點(diǎn)，∴不存在F使得D1F∥BE，故②錯(cuò)誤；當(dāng)F與B1重合時(shí)，，側(cè)視圖，（P為CC1中點(diǎn)），∴，故③正確；∵C1B1∥BC，所以C1B1∥平面EBC，∴B1C1上任一點(diǎn)到平面EBC的距離都相等，設(shè)F到面BEC的距離為h，且S△EBC為定值，∴也為定值，故④正確．故選：D．12．已知x∈（0，+∞），不等式ax+eαx≥lnx+x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A． B． C．0 D．1解：不等式ax+eαx≥lnx+x等價(jià)于不等式eαx+lneax≥lnx+x，令函數(shù)f（x）＝lnx+x，原問(wèn)題等價(jià)于g（eax）≥g（x）在（0，+∞）恒成立．∵，∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，故只需eax≥x在（0，+∞）恒成立即可．即ax≥lnx?a≥，令f（x）＝（x＞0），則f，可得函數(shù)f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，∴f（x）的最大值為f（e）＝，∴，故選：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)函數(shù)則＝﹣2．解：由函數(shù)可得f（）+f（log23）＝（1+log2）+（1﹣2）＝（1﹣1）+（1﹣3）＝﹣2，故答案為：﹣2．14．在△ABC中，，O為△ABC的外心，若，則的值為2．解：在△ABC中，，，可知與，在上的投影相同，并且，O為△ABC的外心，所以AB＝AC，三角形是正三角形，設(shè)外接圓的半徑為R，則，解得R＝，所以三角形的高為＝，則三角形的邊長(zhǎng)為2，所以＝2×＝2．故答案為：2．15．某動(dòng)漫公司推出漫畫(huà)角色盲盒周邊售賣(mài)，每個(gè)盲盒中等可能的放入該公司的3款經(jīng)典動(dòng)漫角色玩偶中的一個(gè)．小明購(gòu)買(mǎi)了4個(gè)盲盒，則他能集齊3個(gè)不同動(dòng)漫角色的概率是．解：某動(dòng)漫公司推出漫畫(huà)角色盲盒周邊售賣(mài)，每個(gè)盲盒中等可能的放入該公司的3款經(jīng)典動(dòng)漫角色玩偶中的一個(gè)．小明購(gòu)買(mǎi)了4個(gè)盲盒，基本事件總數(shù)n＝34＝81，他能集齊3個(gè)不同動(dòng)漫角色包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝36，∴他能集齊3個(gè)不同動(dòng)漫角色的概率P＝＝＝．故答案為：．16．如圖，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面相切．橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2.過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于點(diǎn)M，N．由球和圓的幾何性質(zhì)可知，PN＝PF1，PM＝PF2.已知兩球半徑分為別1和3，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為．解：作出圓錐的軸截面如圖所示，圓錐面與兩球O1，O2相切與B，A兩點(diǎn)，則O1B⊥AB，O2A⊥AB，過(guò)O1作O1D⊥O2A，垂足為D，連接O1F2，O2F1，設(shè)F1F2∩OO1＝C，兩球的球心距離為d，在Rt△O1O2D中，DO2＝3﹣1＝2，∴，∴，∵△F1O2C∽△F2O1C，∴，∵CO2＝d﹣CO1，∴，解得，∴，∴，由已知條件PN＝PF1，PM＝PF2知，PM+PN＝PF1+PF2＝2a，即軸截面中AB＝2a，又F1F2＝2c，∴，∴，即兩球球心距離為．故答案為：．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步：。第17～21顆為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．如圖，在△ABC中，，D為AC邊上一點(diǎn)且AB⊥BD，BD＝2．（1）若，求△BCD的面積；（2）求的取值范圍．解：（1）∵，且AB⊥BD，∴∠CBD＝，在△BCD中，由余弦定理知，CD2＝BC2+BD2﹣2BC?BD?cos∠CBD，∴2＝BC2+4﹣2BC?2?cos，即BC2﹣2BC+2＝0，解得BC＝±1，由圖知，∠BDC＞∠C，∴BC＞BD＝2，∴BC＝+1，∴△BCD的面積S＝BC?BD?sin∠CBD＝?（+1）?2?sin＝．（2）在△ABD中，由正弦定理知，＝＝＝＝sinA，在△BCD中，由正弦定理知，＝，即＝，∴CD＝，又A+C＝π﹣∠ABC＝，∴＝sinA+sinC＝sinA+sin（﹣A）＝sinA+cosA﹣sinA＝sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，故的取值范圍為（，1]．18．如圖多面體ABCDEF中，面FAB⊥面ABCD，△FAB為等邊三角形，四邊形ABCD為正方形，EF∥BC，且EF＝BC＝3，H，G分別為CE，CD的中點(diǎn)．（1）求二面角C﹣FH﹣G的余弦值；（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點(diǎn)為P，寫(xiě)出的值（不需要說(shuō)明理由，保留作圖痕跡）．解：（1）取AB、FB的中點(diǎn)，分別記為O、K，連接AK，OF，OG∵△FAB為等邊三角形，四邊形ABCD為正方形，∴FO⊥AB，BC⊥AB，∵平面FAB⊥面ABCD，且平面FAB∩面ABCD＝AB，F(xiàn)O?平面FAB，BC?平面ABCD，∴FO⊥平面ABCD，BC⊥平面FBA，又OG∥BC，∴OG⊥平面FBA，故OB、OG、OF兩兩相互垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OG、OF所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則F（0，0，），G（0，2，0），C（1，2，0），E（0，3，），H（，，），K（，0，），，．又AK⊥FB，AK⊥BC，且FB∩BC＝B，∴AK⊥平面FBC，故平面FHCB的一個(gè)法向量為＝（），設(shè)平面FHG的一個(gè)法向量為，由，取z＝2，得．由圖可知，二面角C﹣FH﹣G為銳二面角，記為θ，則cosθ＝|cos＜＞|＝||＝||＝；（2）延長(zhǎng)FH交BC的延長(zhǎng)線于T，連接TG并延長(zhǎng)交AB于P，交DA的延長(zhǎng)線于Q，則TQ為平面FHG與平面ABCD的交線，由比例關(guān)系可得＝．19．某校組織200名學(xué)生參加某學(xué)科競(jìng)賽．這200名學(xué)生的成績(jī)頻率分布表如表：分組[20，40]（40，60]（60，80]（80，100]（100，120]（120，140]頻率（1）求樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為本次學(xué)科競(jìng)賽成績(jī)Z近似服從正態(tài)分布N（μ2），其中μ取樣本平均值．分?jǐn)?shù)不小于97.5分可晉級(jí)下一輪比賽，試估算晉級(jí)人數(shù)（結(jié)果四舍五入，取整數(shù)）；（3）本次學(xué)科競(jìng)賽的試題由25道選擇題構(gòu)成，每題6個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)正確答案，答對(duì)得6分，不答得1.5分，答錯(cuò)不得分．學(xué)生甲能正確解答其中的15道題，剩余10道題每道題作答的概率為，作答的情況下他從6個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)的選擇其中一個(gè)作答．求甲的得分X的期望值．附：若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6828，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．解：（1）樣本平均數(shù)＝30×0.01+50×0.09+70×0.365+90×0.43+110×0.083+130×0.02＝81．（2）由（1）知Z～N2），∴P（Z＞97.5）＝＝0.1587，∴在這200名學(xué)生中，晉級(jí)人數(shù)為200×≈32．（3）設(shè)甲剩余10道題中答一題的得分為Y，則Y的分布列為：Y60P故Y的期望E（Y）＝6×+0××＝，故甲的得分X的期望值為E（X）＝E（90+10Y）＝90+10×＝．20．已知函數(shù)f（x）＝a（1﹣x）ex，其中a∈R且a≠0．（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出其單調(diào)性；（2）若a＝1，，x0是F（x）的極大值點(diǎn)，求證：．解：（1）∵f（x）＝a（1﹣x）ex，∴f′（x）＝﹣axex，a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，故f（x）在（﹣∞，0）遞增，在（0，+∞）遞減，a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；綜上：a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，0）遞增，在（0，+∞）遞減，a＜0時(shí)，f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；（2）證明：a＝1時(shí)，F(xiàn)（x）＝x2﹣x3+（1﹣x）ex，∴F′（x）＝x（2﹣x﹣ex），令h（x）＝2﹣x﹣ex，則h′（x）＝﹣1﹣ex＜0，h（x）在R遞減，而h（0）＝1＞0，h（1）＝1﹣e＜0，故存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，則＝2﹣x0，故x∈（﹣∞，0）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，x∈（0，x0）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增，x∈（x0，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，∴x0是F（x）的極大值點(diǎn)，∴F（x0）＝﹣+（1﹣x0）＝﹣+2﹣3x0+2，x0∈（0，1），令G（x）＝﹣x3+2x2﹣3x+2，x∈（0，1），則G′（x）＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＜0，故G（x）在（0，1）遞減，而G（0）＝2，G（1）＝，故F（x0）∈（，2）．21．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝x﹣2與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．（1）求△FAB的面積；（2）過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P作圓M：（x﹣3）2+y2＝4的兩條斜率都存在的切線，分別與拋物線C交于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)D，E．證明：直線DE與圓M相切．解：（1）由拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F（1，0），可得F到直線y＝x﹣2的距離d＝＝，由，可得x2﹣8x+4＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝8，