計(jì)數(shù)原理(排列組合)

計(jì)數(shù)原理（排列組合）類型一：分類記數(shù)原理1．某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的電腦軟件和電腦元件，根據(jù)需要，軟件至少買3個(gè)，元件至少買2個(gè)，則不同的選購(gòu)方法有（）A.5B.6C.7D.8【變式1】三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)是多少?【變式2】在所有兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)?【變式3】在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A、B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種?！咀兪?】在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法?類型二：分步記數(shù)原理2．(1)四名運(yùn)動(dòng)員爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍，不同的結(jié)果最多有多少種？2)四名運(yùn)動(dòng)員參加三項(xiàng)比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，不同的報(bào)名方法有多少種？解析:(1)共有4X4X4=64種不同結(jié)果.共有3X3X3X3=81種不同結(jié)果.【變式1】從－1，0，1，2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有 個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共有 個(gè).(用數(shù)字作答)【答案】18，6；【變式2】從集合｛1,2,3,???，10｝中,選出由5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11,這樣的子集共有多少個(gè)?【答案】32；類型三：解排列(組合)數(shù)形式的方程3．一條鐵路原有m個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增加n(nM1,nWN*)個(gè)車站，因車票視為相同的車票)，問原來這條鐵路有幾個(gè)車站?現(xiàn)在又有幾個(gè)車站?解析：由題設(shè)憨-&七，即?(?s+2m-l)=lx58=2x29?若n=1,則2m—1+n=58,m=29；若n=2,則2m—1+n=29,m=14；若n=58,則2m—1+n=1,m=—28，不合題意，舍去.若n=29,則2m—1+n=2,m=—13，不合題意，舍去；所以原有14個(gè)車站，現(xiàn)有16個(gè)車站或者原有29個(gè)車站，現(xiàn)有30個(gè)車站.【變式1】解方程：(1)cx2x=C5x_5；(2)A4 =140A3.16 16 2x+1 x類型四：排列組合常見問題及基本方法1．明確任務(wù)，分析是分類還是分步，是排列還是組合從1、2、3、……、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，求這樣的不同等差數(shù)列有多少個(gè)。解析：設(shè)a，b，c成等差，則2b=a+c，可知b由a,c決定，又???2b是偶數(shù)，???a,c同奇或同偶，即從1,3,5,,19或2,4,6,……,20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列,就可確定等差數(shù)列,因而不同等差數(shù)列有2A2=180(個(gè))10用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),分別求出下列各類數(shù)的個(gè)數(shù)：(1)奇數(shù)；(2)5的倍數(shù)；(3)比20300大的數(shù)；(4)不含數(shù)字0,且1,2不相鄰的數(shù)?！咀兪?】從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有 。(A)240(D)60(B)180(C)120【答案】（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有C1種方法；（二）從剩下的十只手套中6任選一只，有C1種方法；（三）從除前所涉及10的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有C18種方法；（四）由于選取與順序無關(guān)，因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次；因而共*2402【變式2】身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為?【答案】每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有C2C2C2二90。6422．特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮6．六人站成一排，求(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)解析：(1)先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類。第一類：乙在排頭，有A5種站法；5第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有皿⑷種站法共a5+皿⑷種站法。4 4 4 5 4 4 4⑵第一類：甲在排尾，乙在排頭，有A4種方4法；第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有A4C143種方法；A4A243第三類：甲不在排尾，乙在排頭，有A4A4A243共種。ZVA4+2A4C1+A4A2二3124 4 3 4 3舉一反三：【變式1】對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能？【答案】本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次測(cè)試的次品有C1種可能；第二步:4前四次有一件正品有C1種可能；第三步：前四次有A4種可能；???共有C1C1A4種可能。3．4捆綁與插空3．4捆綁與插空4647．共8人排成一隊(duì)甲乙必須相鄰；(2)甲乙不相鄰；(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰；(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰；(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰4．間接計(jì)數(shù)法8．從10人中選4人參加一個(gè)會(huì)議，其中甲、乙、丙三人中至少有1人參加的與會(huì)方法有多少種？解析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。方法一：排除法從10人中任選4人參加會(huì)議的方法有咒種，其中甲、乙、丙都不參加會(huì)議的方法有㈡種，故甲、乙、丙三人中至少1人參加會(huì)議的方法共有方（種）方法二：分類法甲、乙、丙三人中至少有1人參加會(huì)議可分為三類：三人中只有1人參加會(huì)議，只有二人參加會(huì)議、三人都參加會(huì)議三類情況，而每一類中情況還需分步，先取三

人中參加會(huì)議的人，再?gòu)钠溆?人中取參加會(huì)議的人選，因此甲、乙、丙三人中至少1人參加會(huì)議的方法共有g(shù) （種）。舉一反三：【變式1】正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少四面體？答案】所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，5．擋板法共的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，5．擋板法共八C4-12二5889．10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問有多少種不同的分配方法？解析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于種分配方式。因而共C?七=36^?【變式】15個(gè)相同的球，放入標(biāo)有1,2,3，4的四個(gè)盒子內(nèi)，求分別滿足下列條件的放法種數(shù)：(1)每個(gè)盒子放入的球數(shù)不小于盒子的號(hào)15個(gè)球隨意放入四個(gè)盒，使得每個(gè)盒子不空?！敬鸢浮?1)先在2號(hào)盒子放入1球，在3號(hào)盒子放入2球，在4號(hào)盒子放入3球，共用去6個(gè)球，還剩下9個(gè)球，相同的球，可以用擋板法，在8個(gè)空中插入3塊擋板，共有C3二”8(2)C3二3642146．順序問題10．六人排成一排，要求甲在乙的前面(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法？如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢？解析：(1)實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱，具有相同的排法數(shù)。因而有竺_360；（2）先考慮六人全排列A6；26其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序位站，由于三人所占位置相同的情況下，共有A3種變化，3??A66_120A33【變式1】5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法？【答案】男生從左至右按從高到矮的順序，有生_3024A55若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種，綜上，有6048種?！咀兪?】有4名男生、5名女生，全體排成一行，甲、乙、丙三人從左到右順序保C1C3CC1C3C1A44C2C3A5455【變式1】電梯有7位乘客,在10層樓房的每一層停留,如果三位乘客從同一層出去,另外兩位在同一層出去,■=J最后兩人各從不同持一定，有多少種不同的排法?【答案】共有A9 種排法.石=60480種排法37．排列組合綜合應(yīng)用11.從0,1,2,……,9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？解析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。種；（1） 兩個(gè)選出的偶數(shù)含0,則有種；（2） 兩個(gè)選出的偶數(shù)字不含0,則有種，因而共C1C3C1A4+C2C3A54 5 4 4 4 5 5的樓層出去,有多少種不同的下樓方法？答案】