2023年高考數(shù)學理一輪復習教學案第9章9.2兩條直線的位置關(guān)系

9.2兩條直線的位置關(guān)系【考試要求】1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．【知識梳理】1．兩條直線的位置關(guān)系平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系包括平行、相交、重合三種情況．(1)兩條直線平行對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)兩條直線垂直對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．三種距離公式(1)兩點間的距離公式①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②結(jié)論：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點到直線的距離點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【常用結(jié)論】1．直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五種常用對稱關(guān)系(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y)．(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(×)(2)若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交．(×)(3)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(×)(4)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離．(√)【教材題改編】1．點A(2,5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為()A．2eq\r(5) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\r(5) D.eq\f(2\r(5),5)答案C解析點A(2,5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為d＝eq\f(|2－10＋3|,\r(1＋4))＝eq\r(5).2．直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m等于()A．2 B．－3C．2或－3 D．－2或－3答案C解析直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則有eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2)(m≠0)，故m＝2或－3.3．直線l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋7＝0的交點的坐標為________．答案(－1,3)解析解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1＝0，,x－2y＋7＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，))所以兩條直線交點的坐標為(－1,3).題型一兩條直線的平行與垂直例1(1)(2022·漢中模擬)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，則“ea＝eq\f(1,e)”是“l(fā)1∥l2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析當l1∥l2時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＋2＝0，,2a－1≠0，))解得a＝－1或a＝2.而由ea＝eq\f(1,e)，解得a＝－1，所以“ea＝eq\f(1,e)”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件．(2)(2022·長春模擬)已知直線l經(jīng)過點(1，－1)，且與直線2x－y－5＝0垂直，則直線l的方程為()A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0答案C解析∵直線l與直線2x－y－5＝0垂直，∴設(shè)直線l的方程為x＋2y＋c＝0，∵直線l經(jīng)過點(1，－1)，∴1－2＋c＝0，即c＝1.直線l的方程為x＋2y＋1＝0.【備選】1．“m＝3”是“直線l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0與直線l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，∴“m＝3”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件．2．已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))答案D解析由題意得直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點．當直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行時，m＝eq\f(2,3)或m＝－eq\f(4,3)；當直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點時，m＝－eq\f(2,3).所以實數(shù)m的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).思維升華判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(1)斜率不存在的特殊情況．(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．跟蹤訓練1(1)(2022·洛陽模擬)數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△ABC的頂點A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為()A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0答案D解析由題設(shè)，可得kAB＝eq\f(2－0,1－2)＝－2，且AB的中點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))，∴AB垂直平分線的斜率k＝－eq\f(1,kAB)＝eq\f(1,2)，故AB的垂直平分線方程為y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＋1＝eq\f(x,2)＋eq\f(1,4)，∵AC＝BC，則△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分線上，∴△ABC的歐拉線的方程為2x－4y＋1＝0.(2)已知兩直線l1：x＋ysinα＋1＝0和l2：2xsinα＋y＋1＝0.若l1∥l2，則α＝________.答案kπ±eq\f(π,4)，k∈Z解析由A1B2－A2B1＝0，得1－2sin2α＝0，所以sinα＝±eq\f(\r(2),2).又A1C2－A2C1≠0，所以1－2sinα≠0，即sinα≠eq\f(1,2).所以α＝kπ±eq\f(π,4)，k∈Z.故當α＝kπ±eq\f(π,4)，k∈Z時，l1∥l2.題型二兩直線的交點與距離問題例2(1)兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0間的距離為d，則a，d的值分別為()A．a(chǎn)＝6，d＝eq\f(\r(6),3) B．a(chǎn)＝－6，d＝eq\f(\r(5),3)C．a(chǎn)＝6，d＝eq\f(\r(5),3) D．a(chǎn)＝－6，d＝eq\f(\r(6),3)答案B解析由題知2×3＝－a，解得a＝－6，又－6x＋3y－4＝0可化為2x－y＋eq\f(4,3)＝0，∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,3))),\r(5))＝eq\f(\r(5),3).(2)已知直線經(jīng)過點(1,2)，并且與點(2,3)和(0，－5)的距離相等，則此直線的方程為________________．答案4x－y－2＝0或x＝1解析若所求直線的斜率存在，則可設(shè)其方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由題設(shè)有eq\f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq\f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))，即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.此時直線方程為4x－y－2＝0.若所求直線的斜率不存在，則直線方程為x＝1，滿足題設(shè)條件．故所求直線的方程為4x－y－2＝0或x＝1.【備選】1．經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________．答案4x＋3y－6＝0解析由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0,2)．因為l⊥l3，所以直線l的斜率k＝－eq\f(4,3)，所以直線l的方程為y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.2．直線l1經(jīng)過點(3,0)，直線l2經(jīng)過點(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之間的距離，則d的取值范圍是________．答案(0,5]解析當直線l1，l2都與過(3,0)，(0,4)兩點的直線垂直時，dmax＝eq\r(32＋42)＝5；當直線l1和l2都經(jīng)過(3,0)，(0,4)兩點時，兩條直線重合．所以0<d≤5.思維升華利用距離公式應注意的點(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．跟蹤訓練2(1)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為()A.eq\f(9,5)B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10)D.eq\f(29,5)答案C解析因為eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值為eq\f(29,10).(2)點(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2答案B解析由y＝k(x＋1)可知直線過定點P(－1,0)，設(shè)A(0，－1)，當直線y＝k(x＋1)與AP垂直時，點A到直線y＝k(x＋1)的距離最大，即為|AP|＝eq\r(2).題型三對稱問題命題點1點關(guān)于點中心對稱例3過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________________．答案x＋4y－4＝0解析設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.命題點2點關(guān)于直線對稱例4若將一張坐標紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n＝________.答案eq\f(34,5)解析由題可知紙的折痕應是點(0,2)與點(4,0)連線的垂直平分線，即直線y＝2x－3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的垂直平分線，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).命題點3線關(guān)于線對稱例5直線2x－4y－1＝0關(guān)于x＋y＝0對稱的直線方程為()A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0答案A解析設(shè)直線2x－4y－1＝0上一點P(x0，y0)關(guān)于直線x＋y＝0對稱的點的坐標為P′(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0)＝1，,\f(x＋x0,2)＋\f(y＋y0,2)＝0，))整理可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－y，,y0＝－x，))∴－2y＋4x－1＝0，即直線2x－4y－1＝0關(guān)于x＋y＝0對稱的直線方程為4x－2y－1＝0.【備選】1.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點P是邊AB上異于A，B的一點．光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點P(如圖所示)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP的長度為()A．2B．1C.eq\f(8,3)D.eq\f(4,3)答案D解析以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，則直線BC的方程為x＋y－4＝0.設(shè)P(t,0)(0<t<4)，可得點P關(guān)于直線BC的對稱點P1的坐標為(4,4－t)，點P關(guān)于y軸的對稱點P2的坐標為(－t,0)，根據(jù)反射定律可知直線P1P2就是光線RQ所在的直線，由P1，P2兩點的坐標可得直線P1P2的方程為y＝eq\f(4－t,4＋t)·(x＋t)．設(shè)△ABC的重心為G，易知Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3))).因為重心Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))在光線RQ上，所以eq\f(4,3)＝eq\f(4－t,4＋t)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋t))，得t＝eq\f(4,3)(t＝0舍去)，即|AP|＝eq\f(4,3).2．已知三角形的一個頂點A(4，－1)，它的兩條角平分線所在的直線方程分別為l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，則BC邊所在直線的方程為________．答案2x－y＋3＝0解析易得A不在l1和l2上，因此l1，l2為∠B，∠C的平分線，所以點A關(guān)于l1，l2的對稱點在BC邊所在的直線上，設(shè)點A關(guān)于l1的對稱點為A1(x1，y1)，點A關(guān)于l2的對稱點為A2(x2，y2)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4＋x1,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，,\f(y1＋1,x1－4)·1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝3，))所以A1(0,3)，又易得點A關(guān)于l2的對稱點A2的坐標為(－2，－1)，所以BC邊所在直線的方程為eq\f(y－3,－1－3)＝eq\f(x－0,－2－0)，即2x－y＋3＝0.思維升華對稱問題的求解策略(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題．跟蹤訓練3已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點A的對稱直線l′的方程．解(1)設(shè)A′(x，y)，由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上．設(shè)對稱點M′(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)直線m與直線l的交點為N，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又m′經(jīng)過點N(4,3)，∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1,1)，Q(4,3)，則P，Q關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點P′，Q′均在直線l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.方法二∵l∥l′，∴設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)．∵點A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，∴由點到直線的距離公式，得eq\f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，解得C＝－9，∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.課時精練1．過點A(2,3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0答案A解析由題意可設(shè)所求直線方程為x－2y＋m＝0，將A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直線方程為x－2y＋4＝0.2．過直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點，且過原點的直線的方程為()A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0答案D解析方法一解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))可得直線l1和l2的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,7)，\f(3,7)))，又所求直線過原點，所以所求的直線方程為y＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0.方法二根據(jù)題意可設(shè)所求的直線方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因為此直線過原點，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－eq\f(4,5)，所以所求直線的方程為x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.3．(2022·漳州質(zhì)檢)已知a2－3a＋2＝0，則直線l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直線l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置關(guān)系為()A．垂直或平行 B．垂直或相交C．平行或相交 D．垂直或重合答案D解析因為a2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.當a＝1時，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，k1＝－eq\f(1,2)，k2＝2，所以k1·k2＝－1，則兩直線垂直；當a＝2時，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，則兩直線重合．4．點P(2,5)關(guān)于x＋y＋1＝0對稱的點的坐標為()A．(6,3) B．(3，－6)C．(－6，－3) D．(－6,3)答案C解析設(shè)點P(2,5)關(guān)于x＋y＋1＝0的對稱點為Q(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－5,a－2)·－1＝－1，,\f(a＋2,2)＋\f(b＋5,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝－3，))即P(2,5)關(guān)于x＋y＋1＝0對稱的點的坐標為(－6，－3)．5．已知直線l1：ax＋2y＋1＝0與直線l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1∥l2，則a的值為()A．1B．2C．6D．1或2答案C解析∵直線l1：ax＋2y＋1＝0與直線l2：(3－a)x－y＋a＝0的斜率都存在，且l1∥l2，∴k1＝k2，即－eq\f(a,2)＝3－a，解得a＝6.6．已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A(2,0)，B(－2，－4)，若直線l上存在點P使得|PA|＋|PB|最小，則點P的坐標為()A．(－2，－3) B．(－2,3)C．(2,3) D．(－2,2)答案B解析根據(jù)題意畫出大致圖象，如圖．設(shè)點A關(guān)于直線x－2y＋8＝0的對稱點為A1(m，n)．則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－2)·\f(1,2)＝－1，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝8.))故A1(－2,8)．此時直線A1B的方程為x＝－2.所以當點P是直線A1B與直線x－2y＋8＝0的交點時，|PA|＋|PB|最小，將x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故點P的坐標為(－2,3)．7．若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A．3eq\r(2)B．2eq\r(2)C．3eq\r(3)D．4eq\r(2)答案A解析∵l1∥l2，∴AB的中點M的軌跡是平行于l1，l2的直線，且到l1，l2的距離相等，易求得M所在直線的方程為x＋y－6＝0.∴中點M到原點的最小距離為原點到直線x＋y－6＝0的距離，即eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2).8．(2022·蘇州模擬)已知直線l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下結(jié)論不正確的是()A．不論a為何值時，l1與l2都互相垂直B．當a變化時，l1與l2分別經(jīng)過定點A(0,1)和B(－1,0)C．不論a為何值，l1與l2都關(guān)于直線x＋y＝0對稱D．如果l1與l2交于點M，O為坐標原點，則|MO|的最大值是eq\r(2)答案C解析對于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1與l2互相垂直恒成立，故A正確；對于B，直線l1：ax－y＋1＝0，當a變化時，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒過定點A(0,1)；l2：x＋ay＋1＝0，當a變化時，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒過定點B(－1,0)，故B正確；對于C，在l1上任取點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，ax＋1))，其關(guān)于直線x＋y＝0對稱的點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－ax－1，－x))，代入l2：x＋ay＋1＝0，則左邊不恒等于0，故C不正確；對于D，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，))即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a－1,a2＋1)，\f(－a＋1,a2＋1)))，所以|MO|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a－1,a2＋1)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a＋1,a2＋1)))2)＝eq\r(\f(2,a2＋1))≤eq\r(2)，所以|MO|的最大值是eq\r(2)，故D正確．9．(2022·邯鄲模擬)直線l1：x＋ay－2＝0(a∈R)與直線l2：y＝eq\f(3,4)x－1平行，則a＝________，l1與l2的距離為________．答案－eq\f(4,3)eq\f(2,5)解析由題可知直線l1的斜率為－eq\f(1,a)(a≠0)，直線l2的斜率為eq\f(3,4)，所以－eq\f(1,a)＝eq\f(3,4)，解得a＝－eq\f(4,3)，則直線l1：x－eq\f(4,3)y－2＝0，即3x－4y－6＝0，直線l2：y＝eq\f(3,4)x－1，即3x－4y－4＝0，所以它們之間的距離為d＝eq\f(|－6＋4|,\r(32＋－42))＝eq\f(2,5).10．直線3x－4y＋5＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線的方程為________．答案3x＋4y－11＝0解析直線3x－4y＋5＝0與x＝1的交點坐標為(1,2)，又直線3x－4y＋5＝0的斜率為eq\f(3,4)，所以關(guān)于直線x＝1對稱的直線的斜率為－eq\f(3,4)，故所求直線的方程為y－2＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－11＝0.11．已知直線l1：ax＋y＋3a－4＝0，則原點O到l1的距離的最大值是________．答案5解析直線l1：ax＋y＋3a－4＝0等價于a(x＋3)＋y－4＝0，則直線過定點A(－3,4)，當原點到l1的距離最大時，滿足OA⊥l1，此時原點到l1的距離的最大值為|OA|＝eq\r(－32＋42)＝5.12．已知l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1與l2之間的距離最大時，直線l1的方程是____________．答案x＋2y－3＝0解析當直線AB與l1，l2垂直時，l1，l2之間的距離最大．因為A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以兩平行直線的斜率k＝－eq\f(1,2)，所以直線l1的方程是y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.13．(2022·南通調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線y＝x＋eq\f(1,x)(x>0)上，則點P到直線3x－4y－2＝0的距離的最小值為()A.eq\f(4,5)B．1C.eq\f(6,5)D.eq\f(7,5)答案C解析設(shè)點P(x0，y0)，y＝f(x)＝x＋eq\f(1,x)(x>0)，則f′(x0)＝1－eq\f(1,x\o\al(2,0))，點P與直線3x－4y－2＝0的最小距離，即為f(x)在點P處的切線的斜率等于直線3x－4y－2＝0的斜率時的情況，即滿足1－eq\f(1,x\o\al(2,0))＝eq\f(3,4)，解得x0＝2，所以y0＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，所以點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))，所以點P到直線3x－4y－2＝0的距離的最小值為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2×3－4×\f(5,2)－2)),\r(42＋32))＝eq\f(6,5).14．已知m，n滿足m＋n＝1，則點(0,0)到直線mx－y＋2n＝0的距離的最大值為()A．0B．2eq\r(2)C.eq\r(2)D．1答案B解析方法一因為m＋n＝1，即n＝1－m，所以直線的方程mx－y＋2n＝0可化為mx－y＋2－2m＝0，即y－2＝m(x－2)，故直線mx－y＋2n＝