專(zhuān)題28圓的方程及直線圓的位置關(guān)系（教師版）

專(zhuān)題28圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布圓錐曲線近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)乙（文科），第11題,5分直線與圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程2023年全國(guó)乙（文科），第13題,5分根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的定義2023年全國(guó)乙（理科），第3題,5分2023年全國(guó)乙（文科），第3題,5分通過(guò)三視圖求幾何體的表面積2023年全國(guó)乙（理科），第5題,5分2023年全國(guó)乙（文科），第7題,5分根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓的圓心和半徑幾何概型2023年全國(guó)乙（理科），第11題,5分2023年全國(guó)乙（文科），第12題,5分直線與雙曲線的位置關(guān)系，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)2023年全國(guó)乙（理科），第12題,5分直線與圓的位置關(guān)系向量的數(shù)量積2023年全國(guó)乙（理科），第20題,12分2023年全國(guó)乙（文科），第21題,12分1、根據(jù)離心率求橢圓方程；2、橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題；2023年全國(guó)甲（文科），第7題,5分橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問(wèn)題2023年全國(guó)甲（理科），第8題,5分2023年全國(guó)甲（文科），第9題,5分雙曲線的漸近線、離心率、圓的中點(diǎn)弦2023年全國(guó)甲（理科），第12題,5分橢圓的定義、焦點(diǎn)三角形2023年全國(guó)甲（理科），第20題,12分2023年全國(guó)甲（文科），第20題,12分1、根據(jù)直線與拋物線相交所得弦長(zhǎng)求拋物線方程；2、拋物線中的三角形面積問(wèn)題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)內(nèi)容為高考?？純?nèi)容，?？歼x填題；2.考查圓的方程，判斷圓心與半徑；3.考查直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系；4.考查與圓相關(guān)的最值問(wèn)題【備考策略】1.理解確定圓的幾何要素,在平面直角坐標(biāo)系中,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.3.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系,能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系.4.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.5.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.【命題預(yù)測(cè)】1.考查圓的方程，判斷圓心與半徑；2.考查直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系；3.考查與圓相關(guān)的最值問(wèn)題知識(shí)講解一、圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程圓心:,半徑:一般方程,即x+D22+y+E22=D2+圓心:,半徑:1.幾種特殊位置的圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法圓心在原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)圓心在軸上圓心在軸上與軸相切與軸相切2.以為直徑端點(diǎn)的圓的方程為.二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:1.若點(diǎn)在圓外,則>;

2.若點(diǎn)在圓上,則=;

3.若點(diǎn)在圓內(nèi),則<.

求圓的方程的兩種方法(1)幾何法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心的坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫(xiě)出方程.(2)待定系數(shù)法:①若已知條件與圓心和半徑有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出的值;②選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組,進(jìn)而求出的值.求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí),根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法:①直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.②定義法:根據(jù)圓與直線的定義列出方程.③幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)列出方程.④相關(guān)點(diǎn)代入法:找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.把有關(guān)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題,充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,其中以下幾類(lèi)轉(zhuǎn)化較為常見(jiàn):(1)形如的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.(2)形如的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.(3)形如的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方的最值問(wèn)題.求解形如(其中均為動(dòng)點(diǎn))且與圓有關(guān)的折線段的最值問(wèn)題的基本思路:(1)“動(dòng)化定”,把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離;(2)“曲化直”,即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和,一般要通過(guò)對(duì)稱(chēng)性解決.利用已知或隱含的不等關(guān)系,先構(gòu)建以待求量為元的不等式,再借助基本不等式求最值.三、判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法1.三種位置關(guān)系:相交、相切、相離.

2.兩種研究方法(1)Δ>0?(2)d<r圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓,圓.位置關(guān)系幾何法:圓心距與的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離無(wú)解

外切一組實(shí)數(shù)解

相交兩組不同的實(shí)數(shù)解

內(nèi)切一組實(shí)數(shù)解

內(nèi)含無(wú)解

1.與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(1)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為;(2)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為;(3)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為.2.直線被圓截得的弦長(zhǎng)弦心距,弦長(zhǎng)的一半及圓的半徑構(gòu)成一直角三角形,且有.3.兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程設(shè)圓,①圓.②若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直線的方程由①②得到,即(D1D2)x+(E1E2)y+(F1F2)=0.4.常用的圓系方程(1)圓心為定點(diǎn)的同心圓系方程為,其中為定值,是參數(shù).(2)半徑為定值的圓系方程為,其中為參數(shù),是定值.(3)過(guò)圓與直線的交點(diǎn)的圓系方程為.(4)過(guò)圓與圓交點(diǎn)的圓系方程為,此圓系中不含圓.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1)幾何法:利用與的關(guān)系.(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系適用于動(dòng)直線問(wèn)題.圓的切線方程的求法(1)幾何法:設(shè)切線方程為,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離,然后令,進(jìn)而求出.(2)代數(shù)法:設(shè)切線方程為,與圓的方程組成方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程,然后令其根的判別式,進(jìn)而求得.注意:若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn)),則過(guò)該點(diǎn)的切線只有一條;若點(diǎn)在圓外,則過(guò)該點(diǎn)的切線有兩條(若通過(guò)上述方法只求出一個(gè),則說(shuō)明另一條切線的斜率一定不存在,此時(shí)另一條切線的方程為).求解圓的弦長(zhǎng)的3種方法1.幾何法:根據(jù)半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形,求解.2.公式法:根據(jù)公式求解.3.距離法:聯(lián)立直線與圓的方程,解方程組求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求解.幾何法判斷圓與圓的位置的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng).(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距和,的值.(3)比較,,的大小,寫(xiě)出結(jié)論.若兩圓相交,則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去項(xiàng)得到.同時(shí)與兩個(gè)圓相切的直線稱(chēng)為兩圓的公切線.當(dāng)兩圓的位置關(guān)系不同時(shí),公切線的條數(shù)也不同.具體情況如下表:位置關(guān)系切線條數(shù)外離4外切3相交2內(nèi)切1內(nèi)含0考點(diǎn)一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程1．圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而即可得到該圓的方程.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解之得則圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的圓心坐標(biāo)為則該圓的方程為.2．與圓同圓心，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同圓心,可設(shè)圓的一般式方程為,代入點(diǎn)即可求解.【詳解】設(shè)所求圓的方程為，由該圓過(guò)點(diǎn)，得m＝4，所以所求圓的方程為.3．（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】[方法一]：三點(diǎn)共圓∵點(diǎn)M在直線上，∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線y=3x4與直線的交點(diǎn)(1,1).,的方程為.1．若圓與圓C關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對(duì)稱(chēng)性得出的圓C圓心坐標(biāo)，進(jìn)而寫(xiě)出方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，所以圓C的方程為即.2．若方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用配方法，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，則.3．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．【答案】或或或．【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心）設(shè)（1）若圓過(guò)三點(diǎn)，圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過(guò)三點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解．考點(diǎn)二、與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題1．若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且過(guò)點(diǎn)C（－a，a）的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用對(duì)稱(chēng)求得，再根據(jù)題意給出的幾何特征建立方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】設(shè)圓的圓心關(guān)于直線y＝x－1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，則由題意可得，計(jì)算可得，由題知它是圓的圓心，所以a＝2.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有，化簡(jiǎn)得.2．（2023年河北省模擬數(shù)學(xué)試題）點(diǎn)A是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)P的軌跡方程為.【答案】【分析】設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用x，y表示出，再根據(jù)點(diǎn)A在圓上，即可得到答案．【詳解】設(shè)，又點(diǎn)，則，所以，，又點(diǎn)A在圓上，則，即，所以線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為．3．已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.【答案】【分析】設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，由題意可得，可得點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支．根據(jù)，，求得的值，可得點(diǎn)的軌跡方程．【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，則由題意可得，，相減可得，故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，由題意可得，，，故點(diǎn)的軌跡方程為．4．（20232024學(xué)年湖北省模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知圓O的直徑，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡與圓O的相交弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由距離公式化簡(jiǎn)整理可得點(diǎn)M的軌跡，兩圓相減得公共弦直線方程，利用幾何關(guān)系即可求出弦長(zhǎng).【詳解】由題意，以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以直線AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)，，明顯，圓O的半徑為2，其方程為：①，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由，從而有，化簡(jiǎn)得：，即②，由可得相交弦的方程為：，圓心到距離，所以公共弦長(zhǎng)為.1．（2023年廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，得出點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程，即可得到線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得，點(diǎn)在圓上，則，即.2．已知兩條直線，，有一動(dòng)圓（圓心和半徑都在變動(dòng)）與都相交，并且被截在圓內(nèi)的兩條線段的長(zhǎng)度分別是定值26，24，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式與圓內(nèi)弦長(zhǎng)與半徑關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為，則到的距離，到的距離，因?yàn)楸唤卦趫A內(nèi)的兩條線段的長(zhǎng)度分別是定值26，24，，化簡(jiǎn)后得，相減得，將，代入后化簡(jiǎn)可得.3．（2023年山東省模擬數(shù)學(xué)試題）兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意建立坐標(biāo)系，由題意可得點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而可得M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)．【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)點(diǎn)，由，得，化簡(jiǎn)并整理得：，于是得點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其周長(zhǎng)為，所以M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.4．已知點(diǎn)是圓上的定點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，、為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程．(2)若，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合相關(guān)點(diǎn)法即可求解，（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可由點(diǎn)點(diǎn)距離求解.【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，點(diǎn)坐標(biāo)為∵點(diǎn)在圓上，∴．故線段中點(diǎn)的軌跡方程為．（2）設(shè)的中點(diǎn)為，在中，，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，所以，所以．故線段中點(diǎn)的軌跡方程為．考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的最值問(wèn)題1．若x，y滿足，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．無(wú)法確定【答案】C【分析】由為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，結(jié)合圓的性質(zhì)即得.【詳解】由，可得，表示以為圓心，以為半徑的圓，設(shè)原點(diǎn)，，則（為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方）的最小值是．2．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，根據(jù)可知，當(dāng)直線時(shí)，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識(shí)即可求出直線的方程．【詳解】圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)最?。嗉?，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））已知圓，過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)的連線垂直時(shí)，所求的弦長(zhǎng)最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.4．（2018年全國(guó)卷Ⅲ理數(shù)高考試題）直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．5．若圓）與圓交于A、B兩點(diǎn)，則tan∠ANB的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析出AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性確定時(shí)，最大，此時(shí)最大，最大值為.【詳解】可化為，故圓N的圓心為，半徑為，由題意可知：AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，所以且，故，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，在△NAB中，，又，在上單調(diào)遞減，故為銳角，且當(dāng)時(shí)，最大，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，且最大值為.1．已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】A【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)x、y的參數(shù)方程，利用輔助角公式及正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】由，令，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.2．已知圓的方程為，點(diǎn)在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】將轉(zhuǎn)化為，利用圓心到直線的距離求得的取值范圍求得的最小值.【詳解】.故【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的線性運(yùn)算，考查點(diǎn)到直線距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.3．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長(zhǎng)，根據(jù)弦長(zhǎng)最小值得出【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長(zhǎng)為，則當(dāng)時(shí)，取得最小值為，解得.4．已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則三角形面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫(xiě)出的坐標(biāo)，利用列式得關(guān)于的等式，可得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，寫(xiě)出直線的方程，計(jì)算和點(diǎn)距離直線的最小距離，代入三角形面積公式計(jì)算.【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)距離直線距離最大時(shí)，面積最大，已知直線的方程為：，，點(diǎn)距離直線的最小距離為：，所以面積的最小值為.5．已知圓：與圓：相外切，則的最大值為（）A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由兩圓外切可得，要使取得最大值，則，同號(hào)，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，由圓C1與圓C2相外切，得即，∴；要使取得最大值，則，同號(hào)，不妨取，，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴ab的最大值為2．考點(diǎn)四、直線與圓的位置關(guān)系1．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.2．若直線?與圓?相交于?兩點(diǎn)，且?(其中?為原點(diǎn))，則?的值為（

）A．?或? B．? C．?或? D．?【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由可知，圓心到直線的距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得.3．（2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬數(shù)學(xué)試題）已知拋物線上三點(diǎn)，直線是圓的兩條切線，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先利用點(diǎn)求拋物線方程，利用相切關(guān)系求切線AB，AC，再分別聯(lián)立直線和拋物線求出點(diǎn)，即求出直線方程.【詳解】在拋物線上，故，即，拋物線方程為，設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線的方程為：，即，則圓心到切線的距離，解得，如圖，直線，直線.聯(lián)立，得，故，由得，故，聯(lián)立，得，故，由得，故，故，又由在拋物線上可知，直線的斜率為，故直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的切線的方程的求法：（1）幾何法：設(shè)直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑構(gòu)建關(guān)系求出參數(shù)，即得方程；（2）代數(shù)法：設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與圓的方程，使判別式等于零解出參數(shù)，即可得方程.4．若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線和曲線方程在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合分析即可.【詳解】由題意，直線的方程可化為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，，可化為其表示以為圓心，半徑為2的圓的一部分，如圖.當(dāng)與該曲線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，解得.設(shè)，則.由圖可得，若要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則.1．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切可知，再使用點(diǎn)斜式即可.【詳解】直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則,故直線的方程為，即.2．設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且，則（

）A．3 B．1 C．3或1 D．3或1【答案】C【分析】化出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，利用垂徑定理列方程求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，直線的一般方程為則由已知得，解得或.3．（2023屆廣東省二模數(shù)學(xué)試題）若斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0 C．2 D．0或2【答案】D【分析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在切點(diǎn)處的切線方程，再根據(jù)直線與圓相切和圓心到直線距離的關(guān)系列式求解即可．【詳解】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，由，則，則，，即切點(diǎn)為，所以直線為，又直線與圓都相切，則有，解得或．4．已知直線l：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意直線l過(guò)圓心，則，當(dāng)OC垂直直線l時(shí)，取得最小值得出答案.【詳解】圓的圓心，滿足，所以直線l過(guò)圓心，所以，當(dāng)OC垂直直線l時(shí)，取得最小值，所以的最小值為所以的得最小值為，故的最小值為．考點(diǎn)五、圓與圓的位置關(guān)系1．已知兩圓分別為圓和圓，這兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】B【分析】先求出兩圓圓心和半徑，再由兩圓圓心之間的距離和兩圓半徑和及半徑差比較大小即可求解.【詳解】由題意得，圓圓心，半徑為7；圓，圓心，半徑為4，兩圓心之間的距離為，因?yàn)?，故這兩圓的位置關(guān)系是相交.2．設(shè)圓，圓，則圓，的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【分析】先根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷出兩圓的位置關(guān)系，從而得解．【詳解】由題意，得圓，圓心，圓，圓心，∴，∴與相交，有2條公切線．3．已知圓，，則這兩圓的公共弦長(zhǎng)為（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】先求出兩圓的公共弦所在直線的方程，用垂徑定理求弦長(zhǎng).【詳解】由題意知，，將兩圓的方程相減，得，所以?xún)蓤A的公共弦所在直線的方程為.又因?yàn)閳A的圓心為，半徑，所以圓的圓心到直線的距離.所以這兩圓的公共弦的弦長(zhǎng)為.1．（2023屆廣西階段性聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．相離【答案】A【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.【詳解】由與圓，可得圓心，半徑，則，且，所以，所以?xún)蓤A相交.2．已知圓：與圓：，若圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a等于（

）A．14 B．34 C．14或45 D．34或14【答案】D【分析】根據(jù)兩圓內(nèi)切或外切可得圓心距，從而可求實(shí)數(shù)a.【詳解】圓：的圓心為,圓：的圓心為,，因?yàn)閳A與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故圓與圓相內(nèi)切或外切，故或，從而或，所以或，解得：或所以實(shí)數(shù)a等于34或14.3．已知圓與圓的公共弦所在直線恒過(guò)點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在直線方程，然后k取特值解方程組可得交點(diǎn).【詳解】由，兩式相減得公共弦所在直線方程為：，分別取，得，解得，即.4．設(shè)與相交于兩點(diǎn)，則．【答案】【分析】先求出兩圓的公共弦所在的直線方程，然后求出其中一個(gè)圓心到該直線的距離，再根據(jù)弦長(zhǎng)、半徑以及弦心距三者之間的關(guān)系求得答案.【詳解】將和兩式相減：得過(guò)兩點(diǎn)的直線方程：，則圓心到的距離為，所以.考點(diǎn)六、圓在情景中的應(yīng)用1．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足，則r的取值為（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在【答案】C【分析】直接設(shè)點(diǎn)P，根據(jù)可以求得點(diǎn)P的軌跡為圓，根據(jù)題意兩圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，可得或．【詳解】設(shè)點(diǎn)P∵即整理得：∴點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，半徑的圓，∵圓的為圓心，半徑的圓由題意可得：或∴或.2．19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫(huà)法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展.提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱(chēng)為蒙日?qǐng)A，且該圓的半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的平方和的算術(shù)平方根.若圓上有且只有一個(gè)點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，進(jìn)而得該圓與已知圓相切，再根據(jù)圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，因?yàn)閳A上有且只有一個(gè)點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，所以該圓與已知圓相切，又兩圓圓心間距離為，所以或（無(wú)解，舍去），解得.1．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．內(nèi)切 D．外切【答案】A【分析】首先求得點(diǎn)的軌跡，再利用圓心距與半徑的關(guān)系，即可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】由條件可知，，化簡(jiǎn)為：，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以?xún)蓤A相交.2．19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫(huà)法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱(chēng)為蒙日?qǐng)A，且該圓的半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的平方和的算術(shù)平方根．若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意求出蒙日?qǐng)A方程，再由兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑，所以蒙日?qǐng)A方程為，因?yàn)閳A與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以?xún)蓤A相切，所以，解得.【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過(guò)點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為.【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【分析】方法一：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組，求出答案；方法二：求出線段AB的垂直平分線方程，聯(lián)立x－2y－3＝0求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出半徑，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化為一般方程.【詳解】方法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意得:,解得：故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二：線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，直線的斜率為，所以線段AB的垂直平分線的斜率為2，所以線段AB的垂直平分線方程為，即2x＋y＋4＝0，由幾何性質(zhì)可知：線段AB的垂直平分線與的交點(diǎn)為圓心，聯(lián)立，得交點(diǎn)坐標(biāo)，又點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離，即半徑為，所以圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.2．（2023年四川省模擬數(shù)學(xué)試題）自引圓的割線ABC，則弦中點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】（）【分析】設(shè)，根據(jù)⊥，利用斜率列出方程，再考慮的取值范圍.【詳解】設(shè)，則⊥，當(dāng)時(shí)，有，即，整理得①，當(dāng)時(shí)，此時(shí)割線ABC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，代入①式，也成立，故弦中點(diǎn)P的軌跡方程為（在圓內(nèi)部分），聯(lián)立，解得，故軌跡方程為（）3．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】討論直線斜率，由相切關(guān)系及點(diǎn)線距離公式求斜率，進(jìn)而寫(xiě)出切線方程.【詳解】由圓心為，半徑為，斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，則，可得，所以，即，斜率不存在時(shí)，顯然不與圓相切；綜上，切線方程為.4．（2022年北京市高考數(shù)學(xué)試題）若直線是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對(duì)稱(chēng)軸，則直線過(guò)圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解．【詳解】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱(chēng)軸，所以圓心在直線上，即，解得．5．圓的圓心和半徑分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心為，半徑為.6．已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由表示圓可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C外可得，求解即可【詳解】由題意，表示圓故，即或點(diǎn)A（1，2）在圓C：外故，即故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或即7．若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)曲線方程，判斷曲線的形狀，明確的幾何意義，結(jié)合圖像解答.【詳解】，表示以為圓心，3為半徑的圓.表示以圓上的任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)間距離，的最大值即為8．已知直線：恒過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】寫(xiě)出直線的定點(diǎn)坐標(biāo)并判斷與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定最小時(shí)直線與直線的位置關(guān)系，即可得結(jié)果.【詳解】由恒過(guò)，又，即在圓C內(nèi)，要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長(zhǎng)最短，由，圓的半徑為5，所以.9．（2020年北京市高考數(shù)學(xué)試題）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設(shè)圓心，則，化簡(jiǎn)得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取得等號(hào)，【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.10．（2023屆廣東省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知圓關(guān)于直線（，）對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【分析】由題可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】圓的圓心為，依題意，點(diǎn)在直線上，因此，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為9.11．直線分別與x軸，y軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓，則面積的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意首先求得的長(zhǎng)度，然后確定圓上的點(diǎn)到直線的距離，最后確定三角形面積的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)?，所?圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為：，所以.12．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））若過(guò)點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.13．已知直線與圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)，圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相離 C．外切 D．相交【答案】D【分析】由直線過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)弦最短時(shí)直線垂直，根據(jù)斜率乘積為求出，進(jìn)而求出圓的方程，再根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定答案.【詳解】易知直線過(guò)定點(diǎn)，弦最短時(shí)直線垂直，又，所以，解得，此時(shí)圓的方程是.兩圓圓心之間的距離，又，所以這兩圓相交.14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓．已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足，則r的取值可以為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)P的軌跡方程，由點(diǎn)P是圓C：上有且僅有的一點(diǎn)，可得兩圓相切，進(jìn)而可求得r的值．【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由，得，整理得，又點(diǎn)是圓：上有且僅有的一點(diǎn)，所以?xún)蓤A相切.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，兩圓的圓心距為3，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，得，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，，得．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查阿波羅尼斯圓，考查兩圓相切的應(yīng)用，判斷圓與圓的位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系：（1）外離；（2）外切；（3）相交；（4）內(nèi)切；（5）內(nèi)含，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和邏輯推理能力，屬于中檔題．【能力提升】1．求過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算出兩圓的交點(diǎn)所在直線，進(jìn)而求出線段的垂直平分線，與聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓的一般方程.【詳解】與相減得：，將代入得：，即，設(shè)兩圓和的交點(diǎn)為，則，，則，不妨設(shè)，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€的斜率為1，所以線段的垂直平分線的斜率為1，所以線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得：，故圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓的方程為，整理得：.2．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，△的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將△的面積表示出來(lái)即可求出最大值.【詳解】因?yàn)橹本€直線恒過(guò)點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，圓的圓心，所以△的面積的最大值為：.3．已知為正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的周長(zhǎng)為.【答案】【分析】首先根據(jù)條件確定P點(diǎn)所處的平面，再建立坐標(biāo)系求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，據(jù)此求出軌跡的長(zhǎng).【詳解】由可知，正方體表面上到點(diǎn)A距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為，所以P點(diǎn)只可能在面，面，面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P在面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖示，建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，由得：，即，即P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的軌跡是以E（4,0）為圓心，以為半徑的一段圓弧，因?yàn)?故,所以P點(diǎn)在面ABCD內(nèi)的軌跡的長(zhǎng)即為同理，P點(diǎn)在面內(nèi)情況亦為；P點(diǎn)在面上時(shí)，因?yàn)椋?所以，所以此時(shí)P點(diǎn)軌跡為以B為圓心，2為半徑的圓弧，其長(zhǎng)為，綜上述，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的周長(zhǎng)為.4．（2024屆河北省調(diào)研監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）過(guò)圓：上一點(diǎn)作圓：的兩切線，切點(diǎn)分別為，，設(shè)兩切線的夾角為，當(dāng)取最小值時(shí)，.【答案】/【分析】易得，從而可得，求出取得最小值時(shí)，的值即可.【詳解】由題意可得，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，當(dāng)取最小值時(shí)，則取得最小值，，此時(shí)，又為銳角，所以，所以，即當(dāng)取最小值時(shí)，.5．（2023屆湖北省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）若兩條直線與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則.【答案】8【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等，得到等量關(guān)系求解即可.【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由圓的切線的性質(zhì)將所求轉(zhuǎn)化為求的最小值是解決本題的關(guān)鍵.6．直線被圓O；截得的弦長(zhǎng)最短，則實(shí)數(shù)m=.【答案】1【分析】求出直線MN過(guò)定點(diǎn)A（1,1），進(jìn)而判斷點(diǎn)A在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，|MN|取最小值，利用兩直線斜率之積為1計(jì)算即可.【詳解】直線MN的方程可化為，由，得，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)A（1，1），因?yàn)?，即點(diǎn)A在圓內(nèi).當(dāng)時(shí)，|MN|取最小值，由，得，∴.7．已知拋物線，圓，直線與交于A、B兩點(diǎn)，與交于M、N兩點(diǎn)，若，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線方程和拋物線方程，設(shè)，，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理可求出k，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可求．【詳解】由得，，設(shè)，，∵，∴，∵過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(1，0)，故AB為焦點(diǎn)弦，∴，∴，∴，解得，由圓關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)可知，k＝1和k＝－1時(shí)相同，故不妨取k＝1，l為y＝x－1，即x－y－1＝0，圓心(2，1)到l的距離，∴﹒8．已知圓的面積被直線平分，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】B【分析】由圓的面積被直線平分，可得圓心在直線上，求出，進(jìn)而利用圓心距與半徑和以及半徑差的關(guān)系可得圓與圓的位置關(guān)系．【詳解】因?yàn)閳A的面積被直線平分，所以圓的圓心在直線上，所以，解得，所以圓的圓心為，半徑為．因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以，故，所以圓與圓的位置關(guān)系是相交．9．已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作C的切線，兩切線交于點(diǎn)N．若動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先判斷出四點(diǎn)在以為直徑的圓上，求出該圓方程，進(jìn)而求得方程，由點(diǎn)在直線上得出點(diǎn)軌跡為，又在圓上，進(jìn)而將的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑，即可求解.【詳解】易得圓心，半徑為4，如圖，連接，則，則四點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)，則該圓的圓心為，半徑為，圓的方程為，又該圓和圓的交點(diǎn)弦即為，故，整理得，又點(diǎn)在直線上，故，即點(diǎn)軌跡為，又在圓上，故的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.10．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)，，圓，在圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)題意可得兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，根據(jù)圓心距大于或等于半徑之差的絕對(duì)值小于或等于半徑之和，解不等式即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以即，所以，可得圓心，半徑，由圓可得圓心，半徑，因?yàn)樵趫A上存在點(diǎn)滿足，所以圓與圓有公共點(diǎn)，所以，整理可得：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.11．已知：，直線：，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)為，，當(dāng)四邊形的面積取最小值時(shí)，直線AB的方程為．【答案】【分析】易知四邊形MACB的面積為，然后由最小，可得直線的方程，與的方程聯(lián)立，得到點(diǎn)坐標(biāo)及的值，進(jìn)而得到以為直徑的圓的方程，與的方程作差可得直線的方程.【詳解】：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，半徑．因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e，要使四邊形面積最小，則需最小，此時(shí)與直線垂直，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得．則,則以為直徑的圓的方程為，與的方程作差可得直線的方程為．12．（2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為.13．平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足且k不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)阿氏圓.已知圓上的動(dòng)點(diǎn)P滿足：其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)直線上任取一點(diǎn)Q，作圓的切線，切點(diǎn)分別為M，N，求四邊形面積的最小值；(2)在（1）的條件下，證明：直線MN恒過(guò)一定點(diǎn)并寫(xiě)出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)4；(2)證明見(jiàn)解析，.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求出點(diǎn)P的軌跡方程為，求出，，求出最小值即得解；（2）設(shè)，兩圓方程相減可得MN的方程為，即得解.（1）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)題設(shè)條件有，所以有，化簡(jiǎn)得.所以，由題知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，|QM|最小，即四邊形面積取得最小值4.（2）解；設(shè)，由幾何性質(zhì)，可知M，N兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，此圓的方程為，而直線MN是此圓與圓的相交弦所在直線，相減可得MN的方程為，所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn).【真題感知】1．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則