三角函數(shù)式的最值的題型及解題方法

三角函數(shù)式的最值的題型及解題方法知識點:函數(shù)的值域為;函數(shù)的值域為;函數(shù)的值域為.典型例題題型一（一次型）:或或例1.已知函數(shù)的值域為，則（答案：）題型二（一次型）:或或例2.（1）函數(shù)的最大值是（C）A. B.17 C.13 D.12（2）已知函數(shù)的值域.解：因，令，則..所以，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.故所求函數(shù)的值域為.（3）已知函數(shù)的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上的取值范圍.解：（Ⅰ）==因為函數(shù)f(x)的最小正周期為π,且ω＞0，所以，解得ω=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得因為0≤x≤，所以≤≤所以≤≤1.因此0≤≤，即f(x)的取值范圍為[0，].（4）求函數(shù)的值域.解：因.令，則，.所以，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.故所求函數(shù)的值域.（5）已知函數(shù)f(t)=（Ⅰ）將函數(shù)g(x)化簡成Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函數(shù)g(x)的值域.解：（Ⅰ） ＝（Ⅱ）由得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又（當(dāng)），即故g(x)的值域為題型三(二次型):或或例3.求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）.解：（1）令，則.因，所以.因，所以在是減函數(shù)，所以.故所求函數(shù)的值域為.（2）令，則.所以，.又因為，所以，.所以時，；時，.故所求函數(shù)的值域為.題型四、(分式型)或例4.求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）.解：（1），又，.，即.故所求函數(shù)的值域為.（2）令，則，因為的幾何意義是圓上的點與原點（0,0）連線的斜率，所以，由數(shù)形結(jié)合得，.題型五、綜合應(yīng)用例5.（1）若函數(shù)的最大值為1，求的值.（2）已知向量且.（1）求的值；（2）求函數(shù)的值域。解:(1)原函數(shù)可化為:.令,則有.當(dāng),即時,時,,即,不適合題意舍去.當(dāng),即時,時,,即,適合題意.當(dāng),即時,時,,即,解得.因,所以,.綜上可得,或.（2）解：（1）（2），當(dāng)，有最大值；當(dāng)，有最小值。所以，值域為.練習(xí)：1.函數(shù)的最小值和最大值分別為（C）A.－3，1 B.－2，2 C.－3， D.－2，2.已知，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則＝__________．3.求函數(shù)的最大值與最小值．解：====由于函數(shù)中的最大值為最小值為故當(dāng)時y取得最大值10;當(dāng)時y取得最小值6.4.已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最值。解：（Ⅰ）由題意所求定義域為{}…………4分（Ⅱ）…………9分由知，所以當(dāng)時，取得最大值為；…………11分當(dāng)時，取得最小值為0?！?3分5.已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對稱軸方程（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的值域解：（1），（2）因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取最大值1又，當(dāng)時，取最小值所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為6.已知函數(shù)（Ⅰ）將函數(shù)化簡成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函數(shù)上的最大值和最小值解：(Ⅰ)f(x)=sinx+.故f(x)的周期為2kπ｛k∈Z且k≠0｝.(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因為f(x)＝在[]上是減函數(shù)，在[]上是增函數(shù).故當(dāng)x=時，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，所以當(dāng)x=π時，f(x)有最大值－2.7.已知，（1）求的值；（2）求函數(shù)的最大值．解：（1）由，得，，于是=.（2）因為，所以，，所以的最大值為.8.已知函數(shù)f(x)＝sin2x，g(x)＝cos(2x+eq\f(,6))，直線x＝t（t∈R）與函數(shù)f(x)、g(x)的圖像分別交于M、N兩點⑴當(dāng)t＝eq\f(,4)時，求|MN|的值⑵求|MN|在t∈[0,eq\f(,2)]時的最大值解：（1）…………….2分………………5分（2）