矩陣論3-3.方陣的若當標準型

矩陣論電子教程哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系

矩陣的對角化,若當標準型第三章定義1:設(shè)為數(shù)域上的多項式，令§3.3方陣的若當標準型

方陣化為對角形是有條件的，如果一個方陣不能被化為對角形，能否降低要求，化為一個分塊對角形？在實數(shù)域內(nèi)，此問題的答案是肯定的，分塊對角形就是所謂的Jordan標準形。一，λ-矩陣與Smith標準形1,λ-矩陣

中次數(shù)最高的多項式稱為的次數(shù)數(shù)字矩陣與特征矩陣都是矩陣則為多項式矩陣或矩陣。零矩陣的秩為0定義2如果矩陣中有一個階子式不為零，而所有階子式(如果有的話)全為零，則稱的秩為，記為:這里是階單位矩陣。稱為矩陣的逆矩陣，記為定義3

一個階矩陣稱為可逆的，如果有一個階矩陣滿足:對單位矩陣施行上述三種類型的初等變換便得相應(yīng)得三種矩陣得初等矩陣下列各種類型的變換，叫做矩陣的初等變換：(1)矩陣的任二行(列)互換位置；(2)非零常數(shù)乘矩陣的某一行(列)；(3)矩陣的某一行(列)的倍加到另一行(列)上去，其中是的一個多項式。定理1:對一個的矩陣的行作初等行變換，相當于用相應(yīng)的階初等矩陣左乘。對的列作初等列變換，相當于用相應(yīng)的階初等矩陣右乘定義4如果經(jīng)過有限次的初等變換之后變成，則稱與等價，記之為定理2:與等價的充要條件是存在兩個可逆矩陣與，使得行列式因子的定義：設(shè)為一個階矩陣,對于任意的正整數(shù)必有非零的階子式，的全部階子式的首一最大公因子稱為的階行列式因子。記為:顯然，如果，則行列式因子一共有個例1求的各階行列式因子。規(guī)定:由于，所以。顯然而且其余的7個2階子式也都包含作為公因子，所以另外定理2：等價矩陣有相同的各階行列式因子從而有相同的秩。注意：觀察三者之間的關(guān)系定理3:設(shè)為階矩陣,是的階行列式因子,則:定義5:設(shè)為階矩陣,是的階行列式因子,則稱為的不變因子定理4任意一個非零的階矩陣都等價于一個對角矩陣，即:2,-矩陣Smith標準形的存在性為的Smith標準形。且是首項系數(shù)為1的多項式且是的不變因子證明:由定理2知,與有相同的行列式因子,而的行列式因子為所以,為的不變因子

階矩陣的不變因子是唯一的例2將其化成Smith標準形解：為不變因子解：將其化成Smith標準形。練習(xí)1例3將其化為Smith標準形。解：推論1矩陣可逆的充要條件為與單位矩陣等價。推論2

矩陣可逆的充要條件為可以表示成一系列初等矩陣的乘積。與一般的數(shù)字矩陣一樣，我們有下面的推論：3,初等因子設(shè)矩陣的不變因子為在復(fù)數(shù)域內(nèi)將它們分解成一次因式的冪的乘積：其中是互異的復(fù)數(shù)，是非負整數(shù)。因為,所以滿足如下關(guān)系:于是,我們有定義:

初等因子的定義

在上式中，所有指數(shù)大于零的因子稱為矩陣的初等因子例4如果矩陣的不變因子為則的初等因子為定理5

階矩陣與等價的充要條件是它們有相同的秩且有相同的初等因子。定理6

設(shè)矩陣為準對角形矩陣，則與的初等因子的全體是的全部初等因子。此定理也可推廣成如下形式：推論3

若矩陣則各個初等因子的全體就是的全部初等因子。例5求矩陣的初等因子，不變因子與標準形。解：記那么對于，其初等因子為由上面的定理可知的初等因子為的不變因子為因此的Smith標準形為二,矩陣的Jordan標準形為階方陣A的Jordan標準型。定義：稱為A的特征值的若當塊,為的代數(shù)重復(fù)度其中而:為A的特征值的若當子塊,于是可以得到下面的定理定理7：設(shè),全部初等因子為：則存在可逆矩陣T，使得：其中，每個初等因子對應(yīng)J的若當子塊解：先求出的初等因子。對運用初等變換可以得到例6：求矩陣的Jordan標準形。所以的初等因子為故的標準形為或例7：求矩陣的Jordan標準形。解：先求出的初等因子。對