角動(dòng)量和力矩下的定義

角動(dòng)量和力矩下的定義

角動(dòng)量和力是力學(xué)的兩個(gè)非常重要的基本概念。目前許多高校所使用的大學(xué)物理教材中,對角動(dòng)量和力矩下定義時(shí)分了幾種情況。在理解這些定義時(shí),學(xué)生常常孤立地去記憶這幾個(gè)定義,未去思考這些定義之間的關(guān)系,而教材也未在這方面作更多的敘述。針對這種情況,本文分析了這幾個(gè)定義之間的聯(lián)系。另外,通過一道例題討論了非嚴(yán)格條件下如何使用角動(dòng)量守恒定律。1旋轉(zhuǎn)軸接觸問題的解析定義1若質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為v,質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的位置矢量為r,則質(zhì)點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量L為:定義2若剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω,則剛體相對于轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量Lz為:定義3若力F的作用點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的位置矢量為r,則該力相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的力矩M為:定義4如圖1,過力F的作用點(diǎn)作垂直于z軸的平面Σ,平面與z軸相交于O點(diǎn),O到力的作用點(diǎn)的位置矢量為r,并將力F分解為平行于z軸的分力F//和沿平面Σ且垂直于z軸的分力F⊥,則定義力F相對于參考軸z軸的力矩為:2未固結(jié)條件下,轉(zhuǎn)軸與點(diǎn)之間的角動(dòng)量定義為u.c、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸若質(zhì)點(diǎn)m在直角坐標(biāo)系中的速度為v=vxi+vyj+vzk,某時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所在處的位置矢量為r=χi+yj+kz,則根據(jù)公式(1),該質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)下相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量具體為:式中m(yvz-zvy),m(zvx-χvz),m(χvy-yvx)是角動(dòng)量L在3個(gè)坐標(biāo)軸的分量,理論力學(xué)進(jìn)一步把這三個(gè)分量定義為該質(zhì)點(diǎn)分別相對于三個(gè)坐標(biāo)軸的角動(dòng)量:若體系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)系對坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量等于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)對坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和:同樣,理論力學(xué)把上式中三個(gè)分量定義為該質(zhì)點(diǎn)系相對于x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸的角動(dòng)量:由定義(5)和(6)可見,質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系相對于三個(gè)坐標(biāo)軸的角動(dòng)量就是其對坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量的三個(gè)分量,方向分別沿三個(gè)坐標(biāo)方向。換言之,質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對某坐標(biāo)軸的角動(dòng)量也就是其對坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量在該坐標(biāo)軸上的投影。剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系,公式(2)與公式(6)都可作為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的定義,這兩個(gè)定義在形式上不同。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其內(nèi)部每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都繞著同一轉(zhuǎn)軸在各自的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)做著角速度相同的圓周運(yùn)動(dòng),彼此同步有序。體系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面可以不同,但所有轉(zhuǎn)動(dòng)平面彼此平行(或重疊)且垂直于轉(zhuǎn)軸。每個(gè)質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心是該質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)(圖2a,虛線為質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面)。為便于討論,當(dāng)圖2a中的質(zhì)點(diǎn)mi繞z軸恰好旋轉(zhuǎn)到Y(jié)OZ平面上時(shí),我們作出圖2b,圖2b中mi的速度方向垂直于紙面向內(nèi),有向線段標(biāo)出了當(dāng)前位置質(zhì)點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量Li,其大小為:根據(jù)公式(5)的定義,質(zhì)點(diǎn)mi對轉(zhuǎn)軸z的角動(dòng)量Liz就是Li沿z方向的投影,從圖2b中我們看出Liz與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量ω同向,大小為:=Σ是質(zhì)點(diǎn)系相對于轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,若繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的是質(zhì)量連續(xù)分布的剛體則:其中J=∫r2dm,由于體系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的Liz的方向與旋轉(zhuǎn)角速度ω的方向一致,不妨將上式改寫為矢量形式,于是得到公式(2)。以上分析說明,公式(2)與公式(6)雖然形式上不同,但卻是一致的。3fy-yf若已知某力為F=Fχi+Fyj+Fzk,力的作用點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置為r=χi+yj+zk,則根據(jù)公式(3),該力對坐標(biāo)原點(diǎn)的力矩具體為:式中(yFz-zFy),(zFχ-χFz),(χFy-yFχ)是力矩M在三個(gè)坐標(biāo)軸的分量,理論力學(xué)定義這三個(gè)分量叫力F分別相對于三個(gè)坐標(biāo)軸的力矩,由此可見,欲求力F對某一軸線的力矩(如z軸),可先求F對該軸線上某一點(diǎn)(如原點(diǎn))的力矩M,再將M投影至該直線上即可。公式(7)與公式(4)都用來表示力對參考軸的力矩,但在形式上又有不同。過力的作用點(diǎn)作平面Σ并使該平面垂直于參考軸z,將力沿坐標(biāo)方向分解(圖3a)。作俯視圖(圖3b),我們發(fā)現(xiàn)公式(4)中的F⊥和r分別滿足F⊥=Fxi+Fyj和r=xi+yj，則：其結(jié)果與公式(7)中的Mz完全一樣,所以用公式(7)或公式(4)來定義力對參考軸的力矩其實(shí)是一致的。4體系的角動(dòng)量守角動(dòng)量守恒是力學(xué)中三大守恒定律之一,大到天體,小到微觀粒子,角動(dòng)量守恒的例子隨處可見,質(zhì)點(diǎn)系對某參考點(diǎn)(參考軸)角動(dòng)量守恒的條件為:體系對該參考點(diǎn)(參考軸)的合外力矩為0。但該條件過于嚴(yán)格,現(xiàn)實(shí)中沒有外力矩作用的體系很難找到,在使用角動(dòng)量守恒解決實(shí)際問題時(shí),一般要把條件適當(dāng)放寬。例;一繩跨過一半徑為的定滑輪,兩端分別系有質(zhì)量為m和M的物體,且M>m(圖4a)。最初M靜止在桌上,抬高m,使繩處于松弛狀態(tài)。當(dāng)m自由下落距離h后,繩才被拉緊。求繩剛拉緊時(shí)兩物體的速率。不計(jì)輪、繩的質(zhì)量、軸承摩擦及繩的伸長。解:設(shè)m自由下落h這一過程結(jié)束的時(shí)刻為t1,m與M二者具有共同運(yùn)動(dòng)初速率v的時(shí)刻為t2,則沖擊過程持續(xù)的時(shí)間Δt=t2-t1(非常短)。許多教材在對這道題進(jìn)行解答時(shí),都選擇滑輪、m、M和與m、M相連的繩整體作為研究對象,提出整個(gè)體系在沖擊階段對O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒,滑輪半徑為r,于是有:在Δt階段,對m、M和滑輪作受力分析(圖4b)。對選定的體系而言,張力T1、T2對轉(zhuǎn)軸O的力矩為內(nèi)力矩;重力Mg、mg,支持力N對轉(zhuǎn)軸O的力矩屬于外力矩(張力T雖是體系的外力,但由于其過轉(zhuǎn)軸,對軸的力矩為0,不計(jì))。因?yàn)镸g和mg不相等,而N的大小在沖擊過程中很難確定,我們沒有理由認(rèn)為這些力對O的合外力矩為0。那么使用角動(dòng)量守恒的理由何在?為此,我們對m和M分別使用角動(dòng)量定理來研究。根據(jù)角動(dòng)量定理,質(zhì)點(diǎn)對參考點(diǎn)的合力矩的沖量等于該質(zhì)點(diǎn)對同一參考點(diǎn)的角動(dòng)量的增量。對物體m,其t1時(shí)刻相對于O的初角動(dòng)量大小為,t2時(shí)刻相對于O的末角動(dòng)量大小為rmv,選擇運(yùn)動(dòng)方向作為正方向,m所受的力對O的合力矩為mgr-T1r,運(yùn)用角動(dòng)量定理有:同理,對M有:沖擊過程中張力T1、T2為沖擊力,遠(yuǎn)大于重力和支持力,于是計(jì)算中忽略重力與支持力的力矩(mgr、Mgr、Nr),上兩式變?yōu)?由于不計(jì)輪與繩的質(zhì)量,則T1=T2,代入上兩式并整理得:等式左邊正好是整個(gè)體系在沖擊初態(tài)時(shí)刻相對O的總角動(dòng)量,等式右邊正好為整個(gè)體系在沖擊末態(tài)時(shí)刻相對O的總角動(dòng)量,于是我們得到體系在沖擊過程的初態(tài)和末態(tài)對O的角動(dòng)量相同——守恒?？紤]到我們選定滑輪、m、M和與m、M相連的繩為整體,我們在計(jì)算中忽略的力矩正好是該體系相對于轉(zhuǎn)軸O的外力矩。這道題目的計(jì)算告訴我們,在實(shí)際解題過程中,只要體系的內(nèi)力矩遠(yuǎn)大于外力矩,體系就近似滿足角動(dòng)量守恒,可按角動(dòng)量守恒來處理,