反常積分課程設(shè)計(jì)

一、引言1.1反常積分的背景在一些實(shí)際問(wèn)題中，需要考慮函數(shù)在無(wú)限區(qū)間上的積分，下面引入[1]、[3]中的兩個(gè)例子.例1．（第二宇宙速度的計(jì)算）在中學(xué)物理課中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，為了把一個(gè)自身沒有動(dòng)力的物體從地球表面“拋”向宇宙深處，使之脫離地球引力的作用，就必須使它在離開地球表面的一瞬間的初速度達(dá)到.這就是第二宇宙速度.這個(gè)數(shù)值是如何得來(lái)的呢？下面給出這個(gè)數(shù)值的推導(dǎo).設(shè)物體的質(zhì)量，則它在距地面高度處所受地球引力為，其中，為萬(wàn)有引力常數(shù)；表示地球的質(zhì)量；表示地球半徑.因此，該物體從地球表面上升到距地面高度處，克服地球引力所做的功為設(shè)物體在離開地球表面時(shí)的初速度為在距地面高度處的速度為.則根據(jù)動(dòng)能定理，有為了使物體不落回地球，就必須在每個(gè)高度處都有，所以初速度必須滿足，令，就得到.即 由于物體在地球表面所受到的地球引力就是他在地面上的重力，所以有，其中表示重力加速度.據(jù)此得到,帶入上面的不等式，就得到把和帶入計(jì)算，，這就是第二宇宙速度.在上面的推導(dǎo)中遇到了求定積分當(dāng)上限趨于無(wú)窮大時(shí)的極限的問(wèn)題.把這個(gè)極限定義為被積函數(shù)在無(wú)窮區(qū)上的積分，記作.即例2.可以得到在弧段的弧長(zhǎng)若考慮圓周的半圓周的周長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式不難認(rèn)同，當(dāng)時(shí)，應(yīng)為半圓的周長(zhǎng)，但在此時(shí)仍不能直接把半圓周長(zhǎng)用表示，因?yàn)楸环e函數(shù)在上無(wú)界.在上述例1中，必須突破定積分中“積分區(qū)間的有窮性”限制；而在例2中提出了另一種需要，即必須突破定積分中“被積函數(shù)有界性”的限制.因此，出于上述推廣定積分的需要，引入了反常積分的概念.二、預(yù)備知識(shí)2.1反常積分的定義定義設(shè)函數(shù)定義在無(wú)窮區(qū)上，且在任何有限區(qū)間上可積.如果存在極限,（1）則稱此極限為函數(shù)在上的無(wú)窮限反常積分（簡(jiǎn)稱無(wú)窮積分），記作,（1’）并稱收斂.如果極限（1）不存在，為方便起見，亦稱發(fā)散.類似地，可定義在上的無(wú)窮積分：,（2）對(duì)于在上的無(wú)窮積分，它用前面兩種無(wú)窮積分來(lái)定義：,（3）其中為任一實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)右邊兩個(gè)無(wú)窮積分都收斂時(shí)它才是收斂的.注1無(wú)窮積分（3）的收斂性與收斂時(shí)的值，都和取值的選取無(wú)關(guān).注2由于無(wú)窮積分（3）是由（1）、（2）兩類無(wú)窮積分來(lái)定義的，因此，在任何有限區(qū)間上，首先必須是可積的.注3收斂的幾何意義是：若在上為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，則圖1中介于曲線，直線以及軸之間那一塊向右無(wú)限延伸的區(qū)域有面積.圖1定義2設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，在點(diǎn)的任一右鄰域上無(wú)界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間上有界且可積.如果存在極限（4）則稱此極限為無(wú)界函數(shù)在上的反常積分，記作（4’）并稱反常積分收斂.若極限（4）不存在，則反常積分發(fā)散.在定義2中，被積函數(shù)在點(diǎn)近旁是無(wú)界的，這是點(diǎn)稱為的瑕點(diǎn)，而無(wú)界函數(shù)反常積分又稱為瑕積分.類似地，可定義瑕點(diǎn)為時(shí)的瑕積分：其中在有定義，在點(diǎn)的任一左鄰域上無(wú)界，但在任何上可積.若的瑕點(diǎn)，則定義瑕積分（5）其中在上有定義，在點(diǎn)的任一領(lǐng)域上無(wú)界，但在任何和上都可積.當(dāng)且僅當(dāng)（5）式右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí)，左邊的瑕積分才是收斂的.又若兩點(diǎn)都是的瑕點(diǎn)，而在任何上可積，這是定義瑕積分（6）其中為上任一實(shí)數(shù).同樣地，當(dāng)且僅當(dāng)（6）式右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí)，左邊的瑕積分才是收斂的.三、反常積分的性質(zhì)與收斂判別3.1無(wú)窮積分的性質(zhì)由定義知道，無(wú)窮積分收斂與否，取決與函數(shù)時(shí)是否存在極限.因此可由函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則導(dǎo)出無(wú)窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則.定理1無(wú)窮積分收斂的充要條件是：任給，存在，只要,便有此外，還可根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)與定積分的性質(zhì)，導(dǎo)出無(wú)窮積分的一些相應(yīng)性質(zhì).性質(zhì)1（線性性）若與都收斂，為任意常數(shù)，則也收斂，且性質(zhì)2（區(qū)間可加性）若在任何有限區(qū)間上可積，，則與同斂態(tài)（即同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散），且有，由定積分的區(qū)間可加性可導(dǎo)出收斂的另一充要條件：任給，存在，只要時(shí)總有性質(zhì)3若在任何有限區(qū)間上可積，且有當(dāng)收斂時(shí)，稱為絕對(duì)收斂.性質(zhì)3指出：絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分，它自身也一定收斂.但是它的逆命題一般不成立，舉例詳見下面例3.3.2非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法定理2（比較原則）設(shè)定義在上的兩個(gè)非負(fù)函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積，且滿足，則當(dāng)收斂時(shí)必收斂；發(fā)散時(shí)，必發(fā)散.推論1（比較原則的極限形式）若和都在任何有限區(qū)間上可積，當(dāng)時(shí)，，且則有：（i）當(dāng)時(shí)，與同斂態(tài)；（ii）時(shí)，由收斂可推知也收斂；（iii）當(dāng)時(shí)，由發(fā)散可推知也發(fā)散特別地，如果選用作為比較對(duì)象，則我們有如下推論.推論2（Cauchy判別法）設(shè)定義于，且在任何有限區(qū)間上可積，則有：（i）當(dāng)且時(shí)，收斂；（ii）當(dāng)且時(shí)，發(fā)散.推論3（Cauchy判別法的極限形式）設(shè)定義于上的非負(fù)函數(shù)，且在任何有限區(qū)間上可積且，則有：（i）當(dāng)收斂；（ii）當(dāng)發(fā)散.3.2一般無(wú)窮積分的收斂判別法定理3（Dirichlet判別法）若在上有界，在上當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于，則收斂定理4（Abel判別法）若收斂，在上單調(diào)有界，則收斂四、反常二重積分的簡(jiǎn)單討論很多教材在重積分的應(yīng)用中，給出了一種無(wú)界函數(shù)二重積分的計(jì)算，但卻沒有定義反常二重積分，在概率統(tǒng)計(jì)等很多領(lǐng)域都會(huì)涉及反常二重積分，因此，有必要對(duì)反常二重積分相關(guān)概念加以介紹.4.1無(wú)界區(qū)域上的反常二重積分定義設(shè)是平面上任一無(wú)界區(qū)域，函數(shù)在中任意有界的、可求面積的子區(qū)域上可積，用任意光滑曲線在中劃出有限子區(qū)域.如果不論的形狀如何，當(dāng)以任意方式擴(kuò)展到時(shí)，極限總存在，則稱其為函數(shù)在上的反常二重積分，記作這時(shí)也稱反常二重積分收斂，否則，稱其為發(fā)散.由于定義中光滑曲線的任意性，如果有兩條不同的光滑曲線和，使得則反常二重積分發(fā)散.4.2無(wú)界函數(shù)的反常二重積分定義設(shè)是平面上一有界區(qū)域，函數(shù)在中有瑕點(diǎn)或瑕線（函數(shù)在瑕點(diǎn)或瑕線附近無(wú)界）.以中的光滑曲線來(lái)隔開瑕點(diǎn)或瑕線，記在中的所圍的區(qū)域?yàn)?，且積分總存在.如果不論的形狀如何，當(dāng)以任何方式收縮到瑕點(diǎn)或瑕線時(shí)，極限總存在，則稱此極限函數(shù)在上的反常二重積分，記作這時(shí)也稱反常二重積分收斂，否則，稱其發(fā)散.4.3反常二重積分的收斂判別法定理1（無(wú)界區(qū)域上的反常二重積分收斂的Cauchy判別法）設(shè)在無(wú)界區(qū)域的任何有界子區(qū)域上二重積分存在，為內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.（1）如果，其中，而與均為正常數(shù)，則當(dāng)時(shí)反常二重積分收斂.（2）如果，其中，是含有頂點(diǎn)為原點(diǎn)的無(wú)限扇形區(qū)域，而為正常數(shù)，則當(dāng)時(shí)反常二重積分發(fā)散.定理2（瑕二重積分收斂的Cauchy判別法）設(shè)在有界區(qū)域上除外處處有定義，則下面兩個(gè)結(jié)論成立.（1）設(shè)在點(diǎn)附近有，其中為常數(shù)，，則反常積分必收斂（2）設(shè)在點(diǎn)附近有，其中為常數(shù)，且為含有為頂點(diǎn)的扇形區(qū)域，，則反常積分發(fā)散.五、反常積分的計(jì)算和收斂性判別及應(yīng)用5.1反常積分的計(jì)算例1例2由于被積函數(shù)非負(fù)，故利用極坐標(biāo)并化為累次積分得5.2反常積分收斂性判斷例3由上述性質(zhì)3可知絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分，它自身也一定收斂.但是它的逆命題一般不成立，下面給出一個(gè)反例：設(shè)221O-1-21232n2n+12n+2圖2 由圖2可知，，即收斂，但發(fā)散.我們稱這種收斂但非絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分為條件收斂.例4、說(shuō)明積分絕對(duì)收斂或條件收斂.解：（1）由于（i）任意；（ii）單調(diào)遞減；（iii）.由Dirichlet判別法知收斂.（2）由于由于發(fā)散（比較判別法）.收斂（Dirichlet判別法）.故反常積分發(fā)散.由（1），（2）知條件收斂.例5、判斷積分的斂散性解：由于而反常積分收斂必絕對(duì)收斂，所以積分與積分同斂態(tài)，注意到被積函數(shù)并利用極坐標(biāo)可得而，故積分當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.綜上所訴，積分當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.例6、設(shè)在每個(gè)有限區(qū)間上可積，且,存在.求證：任意，存在，并求其值.證明：對(duì)任意,有（*）因?yàn)?,所以有，當(dāng)時(shí)，有,故當(dāng)時(shí)，有由（*）式及廣義積分收斂定義知5.3反常積分的物理應(yīng)用圖3解：建立平面直角坐標(biāo)系，使直桿位于軸上，而質(zhì)點(diǎn)位于軸上坐標(biāo)為的點(diǎn)處.則對(duì)任意和充分小的，直桿位于兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間和上的兩個(gè)小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引圖3力的合力近似的等于因此對(duì)任意，位于區(qū)間上的直桿段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為令，就得到整條直桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力例8、圓柱形桶的內(nèi)壁高，內(nèi)半徑為,桶底有一半徑為的小孔.試問(wèn)從盛滿水開始打開小孔直至流完桶中的水，共需要多長(zhǎng)時(shí)間？解：從物理學(xué)知道，在不計(jì)摩擦力的情況下，當(dāng)桶中水位高時(shí)，水從孔中流出的流速（單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位截面積的流量）為，為重力加速度.設(shè)在很小一段時(shí)間內(nèi)，桶中液面降低的微小量為，它們之間應(yīng)滿足，由此則有所以流完一桶水需要的時(shí)間在形式上可以寫成“積分”：但在這里被積函數(shù)是上的無(wú)界函數(shù)，所以它的確切含義應(yīng)該是參考文獻(xiàn)：[1]崔尚斌.數(shù)學(xué)分析教程(中、下冊(cè)).北京:科學(xué)出版社.2013[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)