第二章第十節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用

第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第十節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來(lái)演練

考

什

么1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的變化特征．2.能利用給定的函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

怎

么

考1.現(xiàn)實(shí)生活中的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)、環(huán)境保護(hù)、工程建設(shè)等熱點(diǎn)問(wèn)

題中的增長(zhǎng)、減少問(wèn)題，一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函

數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型等問(wèn)題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，主要考查

建模能力及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；2.題型方面選擇題、填空題及解答題都有所體現(xiàn)，但以解

答題為主.1．三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性增長(zhǎng)速度相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與

平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與

平行隨n值變化而不同增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)越來(lái)越快越來(lái)越慢y軸軸2．三種增長(zhǎng)型函數(shù)之間增長(zhǎng)速度的比較1指數(shù)函數(shù)y＝aa>1與冪函數(shù)y＝nn>0在區(qū)間0，＋∞，無(wú)論n比a大多少，盡管在的一定范圍內(nèi)a會(huì)小于n，但由于a的增長(zhǎng)n的增長(zhǎng)，因而總存在一個(gè)0，當(dāng)>0時(shí)有快于a>n2對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logaa>1與冪函數(shù)y＝nn>0對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logaa>1的增長(zhǎng)速度，不論a與n值的大小如何總會(huì)y＝n的增長(zhǎng)速度，因而在定義域內(nèi)總存在一個(gè)實(shí)數(shù)0，使>0時(shí)有由12可以看出三種增長(zhǎng)型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，且不在同一個(gè)檔次上，因此在0，＋∞上，總會(huì)存在一個(gè)0，使>0時(shí)有

慢于a>n>logaloga<n1．教材習(xí)題改編f＝2，g＝2，h＝log2，當(dāng)∈4，＋∞時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是 A．f>g>h B．g>f>hC．g>h>f D．f>h>g答案：B2．一根蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒時(shí)剩下的高度hcm與燃燒時(shí)間th的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的 答案：B解析：由題意h＝20－5t,0≤t≤3．某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加25%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，按九折出售，每件還獲利A．25元 B．205元C．15元 D．125元答案：D解析：九折出售時(shí)價(jià)格為100×1＋25%×90%＝1125元，此時(shí)每件還獲利1125－100＝125元．答案：y＝a1＋r，∈N*4．教材習(xí)題改編某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是，本利和本金加利息為y元，則本利和y隨存期變化的函數(shù)關(guān)系式是________．5．有一批材料可以建成200m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形如圖所示，則圍成的矩形最大面積為______________．圍墻厚度不計(jì)答案：2500m21．解函數(shù)應(yīng)用題的步驟1審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)；2建模：由題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；3解模：用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學(xué)問(wèn)題；4還原：回到題目本身，檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義，給出結(jié)論．2．解函數(shù)應(yīng)用題常見的錯(cuò)誤1不會(huì)將實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型或轉(zhuǎn)化不全面；2在求解過(guò)程中忽視實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量參數(shù)的限制條件．——————課堂突破保分題，分分必保！1．2012·嘉興月考為了發(fā)展電信事業(yè)方便用戶，電信公司對(duì)移動(dòng)電話采用不同的收費(fèi)方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月30天的通話時(shí)間分與通話費(fèi)y元的關(guān)系如圖所示．則通話費(fèi)y1，y2與通話時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式分別為________，________2．2012·撫州質(zhì)檢一塊形狀為直角三角形的鐵皮，直角邊長(zhǎng)分別為40cm與60cm，現(xiàn)將它剪成一個(gè)矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個(gè)角．問(wèn)怎樣剪，才能使剩下的殘料最少？

1在實(shí)際問(wèn)題中，有很多問(wèn)題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升自變量的系數(shù)大于0或直線下降自變量的系數(shù)小于0，構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖象與單調(diào)性求解．2有些問(wèn)題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、產(chǎn)量問(wèn)題等．構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決．3在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一定要注意定義域．2012·日照模擬據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度vm/h與時(shí)間th的函數(shù)圖象如圖所示，過(guò)線段OC上一點(diǎn)Tt,0作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為th內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò)的路程sm．1當(dāng)t＝4時(shí)，求s的值；2將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái)；3若N城位于M地正南方向，且距M地650m，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．2011·惠州二模2011年8月世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)在深圳舉行，某特許專營(yíng)店銷售運(yùn)動(dòng)會(huì)紀(jì)念章，每枚進(jìn)價(jià)為5元，同時(shí)每銷售一枚這種紀(jì)念章還需向運(yùn)動(dòng)會(huì)管理處交特許經(jīng)營(yíng)管理費(fèi)2元，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400枚，而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為元．1寫出該特許專營(yíng)店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲得的利潤(rùn)y元與每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格的函數(shù)關(guān)系式并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域；2當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價(jià)格為多少元時(shí)，該特許專營(yíng)店一年內(nèi)利潤(rùn)y元最大，并求出這個(gè)最大值．1分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．2構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理不重不漏1求每年砍伐面積的百分比；2到今年為止，該森林已砍伐了多少年？3今后最多還能砍伐多少年？—————課堂突破保分題，分分必保！4．2012·湖州聯(lián)考某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y微克與時(shí)間t小時(shí)之間近似滿足如圖所示的曲線．1寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝ft；2據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于025微克時(shí)，治療有效．求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長(zhǎng)？1．指數(shù)函數(shù)模型，常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)表示；2．應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型將有關(guān)已知數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．3．y＝a1＋n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．答題模板函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的答題流程12分2012·天津質(zhì)檢在扶貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧無(wú)債務(wù)致富，企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以58萬(wàn)元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬(wàn)元無(wú)息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)不計(jì)息．在甲提供的資料中有：①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元；②該店月銷量Q百件與銷售價(jià)格P元的關(guān)系如圖所示；③每月需各種開支2000元．1當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額；2企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？2設(shè)可在n年內(nèi)脫貧，依題意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20即最早可望在20年后脫貧．12分解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序是：