第五節(jié)一元二次不等式及其解法

第五節(jié)一元二次不等式及其解法學(xué)習(xí)要求:1會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型2通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的

聯(lián)系3會解一元二次不等式1“三個二次”的關(guān)系必備知識

·

整合

判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個相異實根x1,x2(x1

<x2)有兩個相等實根x1=x2=-

沒有實數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集①{x|x<x1或x>x2}

②{x|x≠x1}

③

R

ax2+bx+c<0(a>0)的解集④{x|x1<x<x2}

⑤

?

⑥

?

2-a-b>0和-a-b<0型不等式的解集不等式解集a<ba=ba>b(x-a)(x-b)>0{x|x<a或x>b}⑦{x|x≠a}

⑧{x|x<b或x>a}

(x-a)(x-b)<0⑨{x|a<x<b}

⑩

?

{x|b<x<a}知識拓展1一元二次不等式的恒成立的問題1一元二次不等式a2bc>0對任意實數(shù)恒成立??2一元二次不等式a2bc<0對任意實數(shù)恒成立??2分式不等式的轉(zhuǎn)化1?>0<0?f·g>0<02?≥0≤0?f·g≥0≤0且g≠0以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式1判斷正誤正確的打“√”,錯誤的打“?”1若不等式a2bc<0a≠0的解集為1,2,則必有a>02若不等式a2bc>0的解集是-∞,1∪2,∞,則方程a2bc=0的兩個

根是1和2?3若方程a2bc=0a≠0沒有實數(shù)根,則不等式a2bc>0的解集為R?4不等式a2bc≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ=b2-4ac≤0?5若二次函數(shù)y=a2bc的圖象開口向下,則不等式a2bc<0的解集一定

不是空集?√√√??={|-4<<1},B={|2--6<0},則A∪B等于A-3,1

B-2,1C-4,2

D-4,3D解析

因為A={|-4<<1}=-4,1,B={|2--6<0}=-2,3,所以A∪B=-4,3

故選D3||·1-2>0的解集為?A-∞,0∪?

B?C?

D?A解析

原不等式等價于?解不等式組可得實數(shù)的取值范圍是-∞,0∪?2b1>0的解集為?,則ab的值為

6解析由不等式a2b1>0的解集為?,知a<0且a2b1=0的兩根為1=-1,2=?,由根與系數(shù)的關(guān)系知?所以a=-3,b=-2,即ab=62a4<0的解集不是空集,則實數(shù)a的取值范圍是

-∞,-4∪4,∞解析因為不等式2a4<0的解集不是空集,所以Δ=a2-4×4>0,即a2>16,所以a>4或a<-4

角度一解不含參數(shù)的一元二次不等式典例11解不等式:-2-23≥0;2已知函數(shù)f=?解不等式f>3考點一一元二次不等式的解法關(guān)鍵能力

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突破

解析1不等式兩邊同乘-1,則原不等式可化為22-3≤0方程22-3=0的解為1=-3,2=1而y=22-3的圖象開口向上,所以原不等式-2-23≥0的解集是{|-3≤≤

1}2由題意得?或?解得>1,故原不等式的解集為{|>1}角度二解含參數(shù)的一元二次不等式典例2解關(guān)于的不等式:122-a>a2a∈R解析因為122-a>a2,所以122-a-a2>0,即4a3-a>0令4a3-a=0,解得1=-?,2=?①當(dāng)a>0時,-?<?,不等式的解集為?;②當(dāng)a=0時,2>0,不等式的解集為{|∈R,且≠0};③當(dāng)a<0時,-?>?,不等式的解集為?綜上所述,當(dāng)a>0時,不等式的解集為?;當(dāng)a=0時,不等式的解集為{|∈R,且≠0};當(dāng)a<0時,不等式的解集為?名師點評1解一元二次不等式的方法和步驟:

2解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟:①二次項系數(shù)若含有參數(shù),應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式;②判斷對應(yīng)方程的根的個數(shù),討論判別式Δ與0的關(guān)系;③確定無根時可直接寫出解集,確定方程有兩個根時,要討論兩根的大小關(guān)

系,從而確定解集形式={|3-2>0},N={|2-43>0},則M∩N=?A0,1

B1,3C0,3

D3,∞A解析

將M中不等式變形,得-3<0,解得0<<3,即M=0,3將N中不等式

變形,得-1-3>0,解得<1或>3,即N=-∞,1∪3,∞,則M∩N=0,1故選

A2-a11<0a>0解析因為a>0,所以原不等式等價于?-1<0①當(dāng)a=1時,?=1,?-1<0無解;②當(dāng)a>1時,?<1,解?-1<0,得?<<1;③當(dāng)0<a<1時,?>1,解?-1<0,得1<<?綜上所述,當(dāng)0<a<1時,不等式的解集為?;當(dāng)a=1時,不等式的解集為?;當(dāng)a>1時,不等式的解集為?

角度一形如f≥0f≤0∈R確定參數(shù)的范圍典例3若不等式a-222a-2-4<0對一切∈R恒成立,則實數(shù)a的取值范圍

是

考點二一元二次不等式恒成立問題-2,2]解析當(dāng)a-2=0,即a=2時,不等式為-4<0,對一切∈R恒成立當(dāng)a≠2時,則?即?解得-2<a<的取值范圍是-2,2]角度二形如f≥0f≤0∈確定參數(shù)的范圍典例4

2019江蘇海安高級中學(xué)調(diào)研已知對于任意的∈-∞,1∪5,∞,都

有2-2a-2a>0,則實數(shù)a的取值范圍是

1,5]解析設(shè)f=2-2a-2a因為對于任意的∈-∞,1∪5,∞,都有f=2-2a-2a>0,所以Δ<0或?解得1<a<4或4≤a≤5,即1<a≤5角度三形如f≥0f≤0參數(shù)m∈確定的范圍典例5求使不等式2a-69-3a>0,|a|≤1恒成立的的取值范圍解析將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式-3a2-69>0令fa=-3a2-69,-1≤a≤a>0在|a|≤1時恒成立,所以①若=3,則fa=0,不符合題意,舍去②若≠3,則由一次函數(shù)的單調(diào)性,可得?即?解得<2或>4故實數(shù)的取值范圍為-∞,2∪4,∞名師點評形如f≥0f≤0恒成立問題的求解思路1∈R的不等式確定參數(shù)的范圍時,結(jié)合二次函數(shù)的圖象,利用判別式來求解2∈的不等式確定參數(shù)的范圍時,①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求其最值,讓最

值大于等于或小于等于0,從而求出參數(shù)的范圍;②數(shù)形結(jié)合,利用二次函數(shù)在

端點a,b處的取值特點確定不等式,求參數(shù)的取值范圍3已知參數(shù)m∈的不等式確定的范圍,要注意變換主元,一般地,知道誰

的范圍,就選誰當(dāng)主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù)?提醒

解決恒成立問題一定要搞清楚誰是主元,誰是參數(shù)=?的定義域為R,則m的取值范圍是

解析

y=?的定義域為R,即m2-1-mm≥0對任意∈R恒成立,則?解得m≥?=∈,f<-m5恒成立,求m的取值范圍解析要使f<-m5在∈上恒成立令g=m??m-6,∈上是增函數(shù),所以gma=g3?7m-6<0,所以m<?,所以0<m<?;當(dāng)m=0時,-6<0恒成立;當(dāng)m<0時,g在上是減函數(shù),所以gma=g1?m-6<0,所以m<6,所以m<0綜上所述,m的取值范圍是?

典例61不等式?≥1的解集為?A-∞,-1]∪∪?C-∞,-1]∪?

考點三其他不等式的解法D?∪[2,∞2解關(guān)于的不等式:|-1|<|5-2|3解關(guān)于的不等式:3<|2-3|<5D解析1由題意得?-1≥0,所以?≥0,所以?≥0,所以?解得-1≤<?或≥2,所以不等式的解集為∪[2,∞2由原不等式得-12<5-22,∴-12-5-22<0,∴-2-4>0,∴<2或>4,∴原不等式的解集是{|<2或>4}3原不等式的解集是{|-1<<0或3<<4}名師點評1去絕對值的方法1分類討論通過絕對值的定義;2數(shù)形結(jié)合通過絕對值的幾何意義;3平方去絕對值2分式不等式的解法解分式不等式的基本思想是等價轉(zhuǎn)化,即采用正確的方法將分式不等式轉(zhuǎn)化

為整式不等式或不等式組來解決3高次不等式的解法高次不等式通常是化為不等式組或用列表法或用數(shù)軸標(biāo)根法求解1不等式?<1的解集是?A-3,-2∪0,∞

B-∞,-3∪-2,0C-3,0

D-∞,-3∪0,∞A解析

不等式?<1等價于?>0,等價于32>0,如圖,把32=0的各個根排列在數(shù)軸上,

用穿根法求得不等式的解集為-3,-2∪0,∞的不等式:|-2||3|>7解析當(dāng)<-3時,原不等式變成--2-3>7,解得<-4當(dāng)-3≤<2時,原不等式變成--23>7,解集為?當(dāng)≥2時,原不等式變成-23>7,解得>3綜上,原不等式的解集是-∞,-4∪3,∞微專題——轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用

典例

2020福清?？家阎辉尾坏仁絘2bc>0的解集為{|2<<5},

則不等式c2ba>0的解集為A?

B?C?D?

學(xué)科素養(yǎng)

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提升

B解析一元二次不等式a2bc>0的解集為{|2<<5},所以a<0,且2,5是一元二次方程a2bc=0的兩個實數(shù)根,所以-?=25=7,?=2×5=10,所以b=-7a,c=10a,且a<0,所以不等式c2ba>0化為10a2-7aa>0,即102-71<0,解得?<<?因此不等式的解集為?故選B

本例利用了轉(zhuǎn)化思想,其思路為1一元二次