第二講轉(zhuǎn)化思想在平面向量中的應(yīng)用

第2講轉(zhuǎn)化思想在平面向量中的應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想是高中生必備的靈活性思維方式，也是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑之一，其要點(diǎn)在于將陌生的問題情形轉(zhuǎn)化為熟悉的情形，將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題簡單化、直觀化，或從不同角度切入以分析問題，逐步探索出解決問題的有效方法。平面向量作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，平面向量做為載體內(nèi)容與三角函數(shù)、解三角形、平面解析幾何等都有重要聯(lián)系，而平面向量中也常常遇到轉(zhuǎn)化思想的相關(guān)應(yīng)用，例如用基底表示平面向量、等和線轉(zhuǎn)化解決系數(shù)和問題、極化恒等式轉(zhuǎn)化求解數(shù)量積問題等在平面向量中都有廣泛的重要應(yīng)用，而本文會重點(diǎn)就轉(zhuǎn)化思想在平面向量中的幾類應(yīng)用展開詳細(xì)講解?！緫?yīng)用一】轉(zhuǎn)化思想在用基底表示平面向量中的應(yīng)用我們在學(xué)習(xí)平面向量基本定理時，會學(xué)習(xí)到基底的概念，我們不妨先來復(fù)習(xí)一下平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．（1）基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，零向量不能作為基底．（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一．我們在高考復(fù)習(xí)及高考題中也常常遇見給定基底來表示某一向量的題型，解題的關(guān)鍵在于把待表示的向量轉(zhuǎn)化到某個三角形或平行四邊形中用向量的加法或減法先表示出來，再用轉(zhuǎn)化思想與平行關(guān)系用基底來表示即可。例如下面這道例題：【例】（2018·全國·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．本題沒有圖象，我們不妨先作圖在研究，如圖所示：要表示,則需在在三角形中找到一組基礎(chǔ)關(guān)系，由于為的中點(diǎn)，所以，再結(jié)合的關(guān)系可得到，即，從而達(dá)到用基底來表示【答案】A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于已知基底來表示向量的問題，我們通常先找到一組基礎(chǔ)的關(guān)系，再通過轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為用基底來表示，通過學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究較復(fù)雜的基底問題【變式1.1】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．【變式1.2】（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】連結(jié)，則為的中位線，，故選：A【變式1.3】（2020·海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則算出即可.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.【應(yīng)用二】轉(zhuǎn)化思想在等和線解決平面向量系數(shù)和中的應(yīng)用我們在學(xué)習(xí)平面向量時，經(jīng)常會遇到形如“，則的取值范圍是？，，則的取值范圍是？”等題型，這里都在求系數(shù)和的值或范圍，有時還會遇到“”等復(fù)雜類型。我們也不妨先學(xué)習(xí)下平面向量的等和線。如圖，為所在平面上一點(diǎn)，過作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點(diǎn)的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時，則射線與無交點(diǎn)，由知，存在實(shí)數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時，（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時，過作，交射線于兩點(diǎn)，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點(diǎn)共線可知：存在使得：所以（ii）當(dāng)在左側(cè)時，射線的反向延長線與有交點(diǎn)，如圖1作關(guān)于的對稱點(diǎn)，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們在解此類題型時，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為上述講解的幾何問題求解，利用幾何關(guān)系得到系數(shù)和的相關(guān)范圍，例如下面這道例題：【例2】（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2本題我們可以先結(jié)合題意作圖，如圖所示：由幾何關(guān)系可知+的范圍為圓上與BD平行的切線處取得，即圖中過F點(diǎn)與圓相切時取得最大值，最大值為【答案】A【法一：系數(shù)和】分析：如圖，由平面向量基底等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€與圓相切時，最大，此時故選.【法二：坐標(biāo)法】【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于求系數(shù)和問題，我們常?？梢岳闷矫嫦蛄肯禂?shù)和的幾何關(guān)系來快速求解，通過學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究系數(shù)和中較復(fù)雜的其他形式的最值問題【變式2.1】已知是內(nèi)一點(diǎn),且,點(diǎn)在內(nèi)(不含邊界),若,則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)槭莾?nèi)一點(diǎn),且，所以為的重心在內(nèi)(不含邊界),且當(dāng)與重合時,最小,此時所以,即當(dāng)與重合時,最大,此時所以,即因?yàn)樵趦?nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間,即.【變式2.2】如圖,已知為銳角三角形的外心,,且,求的取值范圍？解:作圓的直徑,則點(diǎn)在劣弧.其中.考慮到問題涉及的代數(shù)式為,為了利用向量分解的系數(shù)和的幾何意義,將條件轉(zhuǎn)化為.此時可知連接向量的終點(diǎn)與向量的終點(diǎn)的直線即等系數(shù)和線,于是.依次作出其余等系數(shù)和線,可得的取值范圍是.【變式2.3】（2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐標(biāo)系，將由點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化后數(shù)形結(jié)合求解【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤,y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，解得，故，即，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)時，取最小值2，當(dāng)直線與圓相切時，，取得最大值.故選：B【應(yīng)用三】轉(zhuǎn)化思想在極化恒等式解決平面向量中的應(yīng)用我們在學(xué)習(xí)平面向量時，經(jīng)常會遇到向量的數(shù)量積求值或求范圍問題，有時我們也可以建立平面直角坐標(biāo)系來求解，但有時建系計(jì)算繁瑣，有沒有簡潔快速的其他解題思路呢？這就是我們即將要學(xué)習(xí)的極化恒等式，它可以把向量的數(shù)量積運(yùn)算幾何化，從而用幾何關(guān)系來求解。我們不妨先學(xué)習(xí)極化恒等式。，恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對角線交于點(diǎn),則對于三角形來說:我們具體來用極化恒等式解題，例如下面這兩道例題：【例3】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．5本題我們可以先結(jié)合題干作圖，如圖所示：設(shè)CD中點(diǎn)為O點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極化恒等式求解可得：【答案】B【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.方法四：極化恒等式設(shè)CD中點(diǎn)為O點(diǎn)，由極化恒等式可得：故選：B.【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于數(shù)量積的相關(guān)運(yùn)算時，我們可以用極化恒等式轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的幾何關(guān)系求解，通過學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究較復(fù)雜的其他數(shù)量積的轉(zhuǎn)化問題【變式3.1】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D方法一【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；方法二：極化恒等式記AB的中點(diǎn)為M，連接CM，則由極化恒等式可得：即故選：D【變式3.2】（全國·高考真題）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B方法一【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時，取得最小值，方法二：極化恒等式解：取的中點(diǎn),連接,取的中點(diǎn),連接,由是邊長為2的等邊三角形,為中線的中點(diǎn),則：所以.故選：．【變式3.3】已知的斜邊,設(shè)是以為圓心,1為半徑的圓上任意一點(diǎn),則的取值范圍是（）A.B.C.D.解：如圖所示,在Rt上,不妨取的中點(diǎn),則.設(shè)圓的半徑為,而,則,,則,因此的取值范圍是.故選：C鞏固練習(xí)1．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？既＃┰谄叫兴倪呅沃?，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量對應(yīng)線段的數(shù)量及位置關(guān)系，用表示出，求出參數(shù)，進(jìn)而得結(jié)果.【詳解】，所以，則.故選：D2．（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為.如圖，在矩形中，與相交于點(diǎn)，，且點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意得，結(jié)合矩形的特征可用表示出，再利用向量加減法法則及數(shù)乘向量運(yùn)算法則即可作答.【詳解】由題意得，顯然，，同理有，，所以，故，因?yàn)椋?故選：D3．（2022秋·湖北武漢·高三階段練習(xí)）如圖所示，在正六邊形中，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一個動點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以直線FB為x軸，線段FB的中垂線為y建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合已知求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由點(diǎn)P所在區(qū)域求解作答.【詳解】在正六邊形中，以直線FB為x軸，線段FB中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令，則點(diǎn)，因此，因，則，于是得點(diǎn)，又點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一個動點(diǎn)，顯然點(diǎn)P在直線及上方，點(diǎn)P縱坐標(biāo)最大不超過3，即有，解得，所以的取值范圍是.故選：B4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點(diǎn)D在的延長線上，且，點(diǎn)P是(含邊界)的動點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)平面向量基本定理及向量共線定理即可求解.【詳解】當(dāng)點(diǎn)P位于B點(diǎn)時，過點(diǎn)B作，交的延長線于G，H，則，且，，，所以.故答案為：.5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖,在扇形OAB中,,C為弧AB，則的取值范圍是．【答案】【分析】由，兩邊同時平方可得到關(guān)于x,y的關(guān)系式，求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，將x+3y表示為x的函數(shù)，進(jìn)而考察函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)x的范圍求得結(jié)論.【詳解】如圖，過C分別作OB,OA的平行線，交OA,OB與M,N，不妨設(shè)圓半徑為1.則，∵，，由圖可知.將兩邊平方得1所以,顯然得:,（負(fù)值舍去),故.不妨令顯然在上單調(diào)遞減,,得.故答案為：[1,3].【點(diǎn)睛】x,y的關(guān)系式后，將所求式子表示為x的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，動點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由直角梯形可知依直角建立坐標(biāo)系，則，直線，圓的半徑設(shè)，由可得：在圓內(nèi)

設(shè)，則，其中由可知，且所以.7．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）在中，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先用，兩個向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算即可得到.【詳解】

，，因，所以，又，所以，故選：B8．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在邊長為2的菱形中，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以為基底，求，利用函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】邊長為2的菱形中，，如圖所示，則，，，，，由于，所以當(dāng)時，有最小值.故選：B9．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮赃呴L為2的等邊三角形ABC每個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，以B為坐標(biāo)原