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文檔簡介

第3章

矩

陣主要內(nèi)容矩陣的概念矩陣的運(yùn)算逆矩陣分塊矩陣矩陣的初等變換與初等矩陣矩陣的秩線性方程組的解§3.6矩陣的秩本節(jié)主要內(nèi)容矩陣秩的概念初等變換法求矩陣的秩矩矩陣秩的性質(zhì)3矩陣的秩的性質(zhì)若為矩陣，則

若，則

若可逆，則

特別地，當(dāng)b為列向量時，有即分塊矩陣的秩不小于每一個子塊的秩，不超過所有子塊的秩之和.4矩陣的秩的性質(zhì)

若則

（證明見下章）5例1設(shè)為階矩陣，證明證因?yàn)橛尚再|(zhì)有而所以矩陣的秩的性質(zhì)6例2設(shè)為矩陣，為矩陣，證明證根據(jù)性質(zhì)有而為階矩陣，所以7證先證明：若經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?，則設(shè)，且的某個階子式下面分3種情況證明，在中總能找到與相對應(yīng)的階子式，且由于因此從而

若，則89（2）當(dāng)時，在中總能找到與相對應(yīng)的階子式，且由于因此從而（3）當(dāng)時，由于對于變換時結(jié)論成立，因此只需考慮這一特殊情形.1)

的階非零子式不包含的第1行，這時也是的階非零子式，故2)

的階非零子式包含的第1行，這時把中與對應(yīng)的階子式記作10若，則；若，則也是

的階子式，由，知與不同時為0，總之，中存在階非零子式或，故以上證明了若經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)椋瑒t11由于亦可經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?，故也有因?/p>

經(jīng)過一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變.對于初等列變換的情形，

設(shè)經(jīng)初等列變換變?yōu)?，則經(jīng)初等行變換變?yōu)?，由以上證明知又因此總之，若經(jīng)有限次初等變換變?yōu)?，則Back12證因?yàn)榈淖罡唠A非零子式總是的非零子式，所以同理有兩式和起來即為下證另一個不等號，設(shè)則和的列階梯形中分別含有個和個非零列，設(shè)為用初等列變換分別把和化為列階梯形和，13從而由于

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