第三節(jié) 二叉樹(shù)模型

第五講期權(quán)的價(jià)值決定第一節(jié)：期權(quán)與期權(quán)產(chǎn)品簡(jiǎn)介第二節(jié)：期權(quán)的定價(jià)原則第三節(jié)：二叉樹(shù)模型第四節(jié)：Black-Scholes定價(jià)公式主要內(nèi)容第三節(jié)：二叉樹(shù)模型3.1二叉樹(shù)模型簡(jiǎn)介

單期二叉樹(shù)模型兩期二叉樹(shù)模型多期二叉樹(shù)模型

3.2.更符合實(shí)際的二叉樹(shù)模型

3.3二叉樹(shù)的其他應(yīng)用1979年，J.C.Cox,S.A.Ross&M.Rubin–stein將二叉樹(shù)模型用于期權(quán)定價(jià)中，迄今為止，這種模型已經(jīng)成為金融界最基本的期權(quán)定價(jià)方法之一。AB1E0E1E3E2B0C2C1C0D0D1D2D3E4二叉樹(shù)模型的基本假設(shè)資本市場(chǎng)完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)無(wú)摩檫的（無(wú)交易費(fèi)用和稅收)市場(chǎng)交易可以連續(xù)進(jìn)行不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)股票和期權(quán)是無(wú)限可分下一期的股票價(jià)格只取兩種可能的值。

例：假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為20元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是22元，要么是18元。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%（連續(xù)復(fù)利），現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為21元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。一、單期二叉樹(shù)無(wú)套利定價(jià)思想1.（復(fù)制待定價(jià)的產(chǎn)品）我們構(gòu)造這樣一個(gè)投資組合，以便使它與看漲期權(quán)的價(jià)值特征完全相同：以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r借入一部分資金B(yǎng)（相當(dāng)于做空無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券），同時(shí)在股票市場(chǎng)上購(gòu)入N股標(biāo)的股票。該組合的成本是20N-B，到了期末，該組合的價(jià)值V是NS1-B。對(duì)應(yīng)于S1的兩種可能，V有兩個(gè)取值：如果S1=22,則V=1=22N-B，如果S1=18,則V=0=18N-B。

一、單期二叉樹(shù)利用兩式聯(lián)立的方程組，可解得N和B，即：一、單期二叉樹(shù)無(wú)套利定價(jià)思想2.－（復(fù)制無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合）建立一個(gè)包含衍生品頭寸和基礎(chǔ)資產(chǎn)頭寸的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合。若數(shù)量適當(dāng)，基礎(chǔ)資產(chǎn)多頭的贏利就會(huì)與衍生品的空頭虧損相抵，瞬間無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的收益率必須等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。為了找出該期權(quán)的價(jià)值，

可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，Δ必須滿足下式：

22Δ

－1=18Δ

Δ=0.25

分析一、單期二叉樹(shù)22D–118D該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為20元，因此：

分析一、單期二叉樹(shù)2.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)思想一、單期二叉樹(shù)在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P，則得：P=0.6266這樣，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們就可以給出該期權(quán)的價(jià)值：一般的例子假設(shè)一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t股票價(jià)格為S，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個(gè)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者上升到Su，或者下降到Sd（d<exp(rT)<u）。當(dāng)股票價(jià)格上升到Su時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價(jià)格下降到Sd時(shí)，期權(quán)的收益為fd。一、單期二叉樹(shù)首先，構(gòu)造一個(gè)由Δ股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，使得該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，即：由此計(jì)算出該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的Δ值。Su

D–?uSdD–?d一、單期二叉樹(shù)無(wú)套利定價(jià)法的思路一、單期二叉樹(shù)如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率用r表示，則該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值一定是（SuΔ-fu）e-rT,而構(gòu)造該組合的成本是SΔ-f，在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)的條件下，兩者必須相等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT

，所以其中：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為P，由于股票未來(lái)期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價(jià)格，因此該概率可通過(guò)下式求得：所以一、單期二叉樹(shù)fufdf小結(jié)在二叉樹(shù)模型計(jì)算歐式看漲期權(quán)價(jià)值中，不難發(fā)現(xiàn)：（1）風(fēng)險(xiǎn)中性概率只依賴股票價(jià)格S變動(dòng)范圍（即u,d的值），u，d衡量的是股票價(jià)格的波動(dòng)率，以后會(huì)在BS模型中看到波動(dòng)率的重要性（2）計(jì)算公式中沒(méi)有出現(xiàn)股票實(shí)際上漲或下跌的概率，也沒(méi)有描述投資者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好程度的變量。進(jìn)一步解讀所以對(duì)于所有投資者來(lái)說(shuō)，無(wú)論他對(duì)未來(lái)股票價(jià)格漲跌的概率有什么預(yù)期，或他對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度如何，都能對(duì)看漲期權(quán)的“公平”或“正確”價(jià)格達(dá)成一致。（3）p稱為股票價(jià)格上漲的風(fēng)險(xiǎn)中性概率

risknerutralprobability

不要與股票價(jià)格上漲的實(shí)際概率相混肴，實(shí)際概率并不影響期權(quán)價(jià)格，P也稱為等價(jià)鞅測(cè)度概率資產(chǎn)定價(jià)的基本定理：無(wú)套利假設(shè)等價(jià)于存在對(duì)未來(lái)不確定狀態(tài)的某一等價(jià)概率測(cè)度，使得每一種金融資產(chǎn)對(duì)該等價(jià)概率測(cè)度的期望收益都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率表明了無(wú)套利定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的關(guān)系（4）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖組合與套期保值比率：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖組合復(fù)制為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券，所以其收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利策略：在本節(jié)例題中如果期權(quán)報(bào)價(jià)$1，套利策略是什么？如果期權(quán)報(bào)價(jià)$0.5，套利策略是什么？啟示：組合保險(xiǎn)策略引入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券，與股票適當(dāng)搭配頭寸形成資產(chǎn)組合，能否復(fù)制出與衍生產(chǎn)品相同的現(xiàn)金流？組合保險(xiǎn)策略如果可以，那么表現(xiàn)出衍生產(chǎn)品的冗余性質(zhì)。為什么還需要衍生產(chǎn)品？注意：對(duì)于單步二叉樹(shù)，美式期權(quán)和歐式期權(quán)的價(jià)格是相同的，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)執(zhí)行機(jī)會(huì)。練習(xí)：求看跌期權(quán)的價(jià)值，X=21T=3個(gè)月，r=0.1$18$22$20一、單期二叉樹(shù)其實(shí)u,d就反映了股票的波動(dòng)率總結(jié)：期權(quán)的單期定價(jià)：股價(jià)的變化如圖： 每個(gè)步長(zhǎng)為3個(gè)月，u=1.1，d=0.9，r=12%20221824.219.816.2二、兩期二叉樹(shù)模型與delta動(dòng)態(tài)保值歐式看漲期權(quán)定價(jià)X=21

B結(jié)點(diǎn)處的價(jià)值

=e–0.12*0.25(0.6523*3.2+0.3477*0)=2.0257A結(jié)點(diǎn)處的價(jià)值

=e–0.12*0.25(0.6523*2.0257+0.3477*0) =1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF二、兩期二叉樹(shù)模型與delta動(dòng)態(tài)保值歐式看跌期權(quán)的定價(jià)X=21 201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEF二、兩期二叉樹(shù)模型與delta動(dòng)態(tài)保值美式看跌期權(quán)的定價(jià)：X=21 201.2686221824.2019.81.216.24.80.40493ABCDEF>1.0591=p練習(xí)：試計(jì)算美式看漲期權(quán)的價(jià)格，并比較美式看漲期權(quán)與歐式看漲期權(quán)間的關(guān)系。二、兩期二叉樹(shù)模型與delta動(dòng)態(tài)保值Delta(D)

由單步二叉樹(shù)的套利定價(jià)法知：Delta(D)為期權(quán)價(jià)值變化與股票價(jià)值變化的比值，對(duì)于單步二叉樹(shù)：思考：當(dāng)二叉樹(shù)步數(shù)增加時(shí)，delta是否會(huì)變化？表示了看漲期權(quán)獲得完全保值時(shí)，所需要的股票的數(shù)量。二、兩期二叉樹(shù)模型與delta動(dòng)態(tài)保值201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFB點(diǎn)處的delta值：考慮兩期二叉樹(shù)A點(diǎn)處的delta值：結(jié)論：不同時(shí)期不同股價(jià)獲得完全保值需要的股票數(shù)量是不同的，因此，現(xiàn)實(shí)的套期保值策略是一個(gè)動(dòng)態(tài)調(diào)整的過(guò)程。二、兩期二叉樹(shù)模型與delta動(dòng)態(tài)保值總結(jié)：歐式期權(quán)的二期定價(jià)：二、兩期二叉樹(shù)模型與delta動(dòng)態(tài)保值總結(jié)：美式期權(quán)的二期定價(jià)SSuSdSu2Sd2SudSu3Su4Su2dSud2Sd3Sd4Sud3Su3dSu2d2股票價(jià)格的多期二叉樹(shù)模型類似地可以通過(guò)倒推方式計(jì)算期權(quán)的價(jià)值例3：假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)為100元,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利為5%，u=1.1,d=0.9,二叉樹(shù)步長(zhǎng)為1年，試計(jì)算該股票3年期的，協(xié)議價(jià)格為105元的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。三步二叉樹(shù)模型下期權(quán)的定價(jià)34110901219981100133.1108.989.172.9Pu=0.76,Pd=0.243515.852.0221.122.81011.8728.13.900歐式看漲期權(quán)價(jià)值為11.87總結(jié)：歐式期權(quán)的多期定價(jià)：美式期權(quán)的多期定價(jià)：主要內(nèi)容第二節(jié)：二叉樹(shù)模型

5.2.1.二叉樹(shù)模型簡(jiǎn)介

5.2.2.更符合實(shí)際的二叉樹(shù)模型

5.2.3.奇異期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)SuSdSP1-P5.更實(shí)際的二叉樹(shù)若到期時(shí)只有兩種狀態(tài)，可用單步二叉樹(shù)模擬：若到期時(shí)只有三種狀態(tài)，可用兩步二叉樹(shù)模擬：SSuSdSu2SudSd2ABCDEFGirsanov’sTheoremVolatilityisthesameintherealworldandtherisk-neutralworldWecanthereforemeasurevolatilityintherealworldanduseittobuildatreefortheanassetintherisk-neutralworldOptions,Futures,andOtherDerivatives,8thEdition,Copyright?JohnC.Hull201240若到期時(shí)有n+1種狀態(tài)，可用n步二叉樹(shù)模擬：SSuSdSd2SudSun-1SunSdn-1SdnSudn-1Sun-1dSu2AssetsOtherthanNon-DividendPayingStocksForoptionsonstockindices,currenciesandfuturesthebasicprocedureforconstructingthetreeisthesameexceptforthecalculationofpOptions,Futures,andOtherDerivatives,8thEdition,Copyright?JohnC.Hull201242TheProbabilityofanUpMoveOptions,Futures,andOtherDerivatives,8thEdition,Copyright?JohnC.Hull201243附：二叉樹(shù)的應(yīng)用二叉樹(shù)可以用于：1)期權(quán)定價(jià)：歐式、美式期權(quán)、路徑依賴期權(quán);2)含權(quán)債券定價(jià)：可轉(zhuǎn)債；3)信用風(fēng)險(xiǎn)度量：如公司債定價(jià)，CDS定價(jià)等；主要內(nèi)容第三節(jié)：二叉樹(shù)模型

5.2.1.二叉樹(shù)模型簡(jiǎn)介

5.2.2.更符合實(shí)際的二叉樹(shù)模型

5.2.3.奇異期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)一、障礙期權(quán)的二叉樹(shù)模型障礙期權(quán)是路徑依賴期權(quán)，它們的回報(bào)，以及它們的價(jià)值要受到資產(chǎn)到期前遵循的路徑的影響。但是障礙期權(quán)的路徑依賴的性質(zhì)是較弱的，因?yàn)槲覀冎恍枰肋@個(gè)障礙是否被觸發(fā)，而并不需要關(guān)于路徑的其他任何信息

1.障礙期權(quán)的性質(zhì)敲出障礙當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到敲出障礙水平時(shí)，期權(quán)合約作廢，因此邊界條件為

當(dāng)時(shí)如果合約中有部分折扣規(guī)定的話，邊界條件可以修改為：敲入障礙敲入期權(quán)在沒(méi)有到達(dá)障礙水平時(shí)，有對(duì)于敲入期權(quán)來(lái)說(shuō)，其價(jià)值在于到達(dá)障礙的可能性。如果是一個(gè)向上敲入期