第三節(jié) 二叉樹模型

第五講期權(quán)的價值決定第一節(jié)：期權(quán)與期權(quán)產(chǎn)品簡介第二節(jié)：期權(quán)的定價原則第三節(jié)：二叉樹模型第四節(jié)：Black-Scholes定價公式主要內(nèi)容第三節(jié)：二叉樹模型3.1二叉樹模型簡介

單期二叉樹模型兩期二叉樹模型多期二叉樹模型

3.2.更符合實際的二叉樹模型

3.3二叉樹的其他應(yīng)用1979年，J.C.Cox,S.A.Ross&M.Rubin–stein將二叉樹模型用于期權(quán)定價中，迄今為止，這種模型已經(jīng)成為金融界最基本的期權(quán)定價方法之一。AB1E0E1E3E2B0C2C1C0D0D1D2D3E4二叉樹模型的基本假設(shè)資本市場完全競爭的市場無摩檫的（無交易費用和稅收)市場交易可以連續(xù)進行不存在無風險套利機會股票和期權(quán)是無限可分下一期的股票價格只取兩種可能的值。

例：假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為20元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是22元，要么是18元。假設(shè)現(xiàn)在的無風險年利率等于10%（連續(xù)復(fù)利），現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為21元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。一、單期二叉樹無套利定價思想1.（復(fù)制待定價的產(chǎn)品）我們構(gòu)造這樣一個投資組合，以便使它與看漲期權(quán)的價值特征完全相同：以無風險利率r借入一部分資金B(yǎng)（相當于做空無風險債券），同時在股票市場上購入N股標的股票。該組合的成本是20N-B，到了期末，該組合的價值V是NS1-B。對應(yīng)于S1的兩種可能，V有兩個取值：如果S1=22,則V=1=22N-B，如果S1=18,則V=0=18N-B。

一、單期二叉樹利用兩式聯(lián)立的方程組，可解得N和B，即：一、單期二叉樹無套利定價思想2.－（復(fù)制無風險組合）建立一個包含衍生品頭寸和基礎(chǔ)資產(chǎn)頭寸的無風險的資產(chǎn)組合。若數(shù)量適當，基礎(chǔ)資產(chǎn)多頭的贏利就會與衍生品的空頭虧損相抵，瞬間無風險。無風險組合的收益率必須等于無風險利率。為了找出該期權(quán)的價值，

可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單位的標的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時無風險，Δ必須滿足下式：

22Δ

－1=18Δ

Δ=0.25

分析一、單期二叉樹22D–118D該無風險組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為20元，因此：

分析一、單期二叉樹2.風險中性定價思想一、單期二叉樹在風險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P，則得：P=0.6266這樣，根據(jù)風險中性定價原理，我們就可以給出該期權(quán)的價值：一般的例子假設(shè)一個無紅利支付的股票，當前時刻t股票價格為S，基于該股票的某個期權(quán)的價值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個有效期內(nèi)，股票價格或者上升到Su，或者下降到Sd（d<exp(rT)<u）。當股票價格上升到Su時，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價格下降到Sd時，期權(quán)的收益為fd。一、單期二叉樹首先，構(gòu)造一個由Δ股股票多頭和一個期權(quán)空頭組成的證券組合，使得該組合為無風險組合，即：由此計算出該組合為無風險時的Δ值。Su

D–?uSdD–?d一、單期二叉樹無套利定價法的思路一、單期二叉樹如果無風險利率用r表示，則該無風險組合的現(xiàn)值一定是（SuΔ-fu）e-rT,而構(gòu)造該組合的成本是SΔ-f，在沒有套利機會的條件下，兩者必須相等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT

，所以其中：風險中性定價的思路假定風險中性世界中股票的上升概率為P，由于股票未來期望值按無風險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價格，因此該概率可通過下式求得：所以一、單期二叉樹fufdf小結(jié)在二叉樹模型計算歐式看漲期權(quán)價值中，不難發(fā)現(xiàn)：（1）風險中性概率只依賴股票價格S變動范圍（即u,d的值），u，d衡量的是股票價格的波動率，以后會在BS模型中看到波動率的重要性（2）計算公式中沒有出現(xiàn)股票實際上漲或下跌的概率，也沒有描述投資者對于風險偏好程度的變量。進一步解讀所以對于所有投資者來說，無論他對未來股票價格漲跌的概率有什么預(yù)期，或他對風險厭惡程度如何，都能對看漲期權(quán)的“公平”或“正確”價格達成一致。（3）p稱為股票價格上漲的風險中性概率

risknerutralprobability

不要與股票價格上漲的實際概率相混肴，實際概率并不影響期權(quán)價格，P也稱為等價鞅測度概率資產(chǎn)定價的基本定理：無套利假設(shè)等價于存在對未來不確定狀態(tài)的某一等價概率測度，使得每一種金融資產(chǎn)對該等價概率測度的期望收益都等于無風險證券的收益率表明了無套利定價與風險中性定價的關(guān)系（4）無風險對沖組合與套期保值比率：無風險對沖組合復(fù)制為無風險債券，所以其收益率等于無風險利率，無風險套利策略：在本節(jié)例題中如果期權(quán)報價$1，套利策略是什么？如果期權(quán)報價$0.5，套利策略是什么？啟示：組合保險策略引入無風險債券，與股票適當搭配頭寸形成資產(chǎn)組合，能否復(fù)制出與衍生產(chǎn)品相同的現(xiàn)金流？組合保險策略如果可以，那么表現(xiàn)出衍生產(chǎn)品的冗余性質(zhì)。為什么還需要衍生產(chǎn)品？注意：對于單步二叉樹，美式期權(quán)和歐式期權(quán)的價格是相同的，因為只有一個執(zhí)行機會。練習：求看跌期權(quán)的價值，X=21T=3個月，r=0.1$18$22$20一、單期二叉樹其實u,d就反映了股票的波動率總結(jié)：期權(quán)的單期定價：股價的變化如圖： 每個步長為3個月，u=1.1，d=0.9，r=12%20221824.219.816.2二、兩期二叉樹模型與delta動態(tài)保值歐式看漲期權(quán)定價X=21

B結(jié)點處的價值

=e–0.12*0.25(0.6523*3.2+0.3477*0)=2.0257A結(jié)點處的價值

=e–0.12*0.25(0.6523*2.0257+0.3477*0) =1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF二、兩期二叉樹模型與delta動態(tài)保值歐式看跌期權(quán)的定價X=21 201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEF二、兩期二叉樹模型與delta動態(tài)保值美式看跌期權(quán)的定價：X=21 201.2686221824.2019.81.216.24.80.40493ABCDEF>1.0591=p練習：試計算美式看漲期權(quán)的價格，并比較美式看漲期權(quán)與歐式看漲期權(quán)間的關(guān)系。二、兩期二叉樹模型與delta動態(tài)保值Delta(D)

由單步二叉樹的套利定價法知：Delta(D)為期權(quán)價值變化與股票價值變化的比值，對于單步二叉樹：思考：當二叉樹步數(shù)增加時，delta是否會變化？表示了看漲期權(quán)獲得完全保值時，所需要的股票的數(shù)量。二、兩期二叉樹模型與delta動態(tài)保值201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFB點處的delta值：考慮兩期二叉樹A點處的delta值：結(jié)論：不同時期不同股價獲得完全保值需要的股票數(shù)量是不同的，因此，現(xiàn)實的套期保值策略是一個動態(tài)調(diào)整的過程。二、兩期二叉樹模型與delta動態(tài)保值總結(jié)：歐式期權(quán)的二期定價：二、兩期二叉樹模型與delta動態(tài)保值總結(jié)：美式期權(quán)的二期定價SSuSdSu2Sd2SudSu3Su4Su2dSud2Sd3Sd4Sud3Su3dSu2d2股票價格的多期二叉樹模型類似地可以通過倒推方式計算期權(quán)的價值例3：假設(shè)標的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當前市場價為100元,無風險連續(xù)復(fù)利為5%，u=1.1,d=0.9,二叉樹步長為1年，試計算該股票3年期的，協(xié)議價格為105元的歐式看漲期權(quán)的價值。三步二叉樹模型下期權(quán)的定價34110901219981100133.1108.989.172.9Pu=0.76,Pd=0.243515.852.0221.122.81011.8728.13.900歐式看漲期權(quán)價值為11.87總結(jié)：歐式期權(quán)的多期定價：美式期權(quán)的多期定價：主要內(nèi)容第二節(jié)：二叉樹模型

5.2.1.二叉樹模型簡介

5.2.2.更符合實際的二叉樹模型

5.2.3.奇異期權(quán)的二叉樹定價SuSdSP1-P5.更實際的二叉樹若到期時只有兩種狀態(tài)，可用單步二叉樹模擬：若到期時只有三種狀態(tài)，可用兩步二叉樹模擬：SSuSdSu2SudSd2ABCDEFGirsanov’sTheoremVolatilityisthesameintherealworldandtherisk-neutralworldWecanthereforemeasurevolatilityintherealworldanduseittobuildatreefortheanassetintherisk-neutralworldOptions,Futures,andOtherDerivatives,8thEdition,Copyright?JohnC.Hull201240若到期時有n+1種狀態(tài)，可用n步二叉樹模擬：SSuSdSd2SudSun-1SunSdn-1SdnSudn-1Sun-1dSu2AssetsOtherthanNon-DividendPayingStocksForoptionsonstockindices,currenciesandfuturesthebasicprocedureforconstructingthetreeisthesameexceptforthecalculationofpOptions,Futures,andOtherDerivatives,8thEdition,Copyright?JohnC.Hull201242TheProbabilityofanUpMoveOptions,Futures,andOtherDerivatives,8thEdition,Copyright?JohnC.Hull201243附：二叉樹的應(yīng)用二叉樹可以用于：1)期權(quán)定價：歐式、美式期權(quán)、路徑依賴期權(quán);2)含權(quán)債券定價：可轉(zhuǎn)債；3)信用風險度量：如公司債定價，CDS定價等；主要內(nèi)容第三節(jié)：二叉樹模型

5.2.1.二叉樹模型簡介

5.2.2.更符合實際的二叉樹模型

5.2.3.奇異期權(quán)的二叉樹定價一、障礙期權(quán)的二叉樹模型障礙期權(quán)是路徑依賴期權(quán)，它們的回報，以及它們的價值要受到資產(chǎn)到期前遵循的路徑的影響。但是障礙期權(quán)的路徑依賴的性質(zhì)是較弱的，因為我們只需要知道這個障礙是否被觸發(fā)，而并不需要關(guān)于路徑的其他任何信息

1.障礙期權(quán)的性質(zhì)敲出障礙當標的資產(chǎn)價格達到敲出障礙水平時，期權(quán)合約作廢，因此邊界條件為

當時如果合約中有部分折扣規(guī)定的話，邊界條件可以修改為：敲入障礙敲入期權(quán)在沒有到達障礙水平時，有對于敲入期權(quán)來說，其價值在于到達障礙的可能性。如果是一個向上敲入期