第八,九章 重積分

第八章重積分§1.二重積分的概念1.平面集合的面積2.二重積分的定義設是平面上的一個有界閉區(qū)域.是零面積集合.是定義在上的函數(shù).用兩組相互橫截的曲線將分成個小區(qū)域.并進一步假定分割的曲線都是零面積的.令.再任取,考察和

記

如果存在數(shù),對,,使得只要,不論分割曲線組及中間點如何選取，那么就稱在上可積.稱為在上的二重積分.記作或.3.可積的必要條件與充分條件定理1.1若在可求面積的有界閉區(qū)域上可積,則在上有界.定理1.2設是平面上有界閉區(qū)域,邊界是零面積集合.又設在上連續(xù),則在上可積.4.二重積分的基本性質(1)(2)(3)(區(qū)域可加性)設且,都是可求面積的,在上均可積,則在上可積,且.(4)若,,則.(5)積分中值定理設在可求面積的有界閉區(qū)域上連續(xù),則在上至少存在一點,使得,其中的面積.§2.二重積分的計算1.化二重積分為累次積分定理2.1設在有界閉區(qū)域連續(xù),,其中是上連續(xù)函數(shù),則,上式右端積分稱為累次積分.例1求.例2求.例3寫出所對應的累次積分,其中由所圍.2.利用對稱性化簡計算例4.設,求,.例5.求.3.極坐標下二重積分的計算定理2.2設為可求面積的有界閉區(qū)域,在上可積,則其中.例6.設,,求.例7.將用極坐標化成二次積分,其中為(1)(2)由所圍成(3)由所圍成例8.求,其中是在第一卦限的部分.§3.二重積分的一般變元替換法則

設在可求面積的有界閉區(qū)域中連續(xù).假定是一一對應,其中是有界閉區(qū)域.,在中有連續(xù)的一階偏導數(shù),并且,.

定理3.1在上述假定下,有下列公式推論.在上述假定下,區(qū)域的面積例1.,求.例2.,求.例3.求所圍區(qū)域的面積.§4.三重積分的概念與計算1.三重積分的概念設是中可求體積的有界閉區(qū)域.是上函數(shù).分割成個互不重疊的可求體積的小區(qū)域任取,,.

若對的任一分割法及中間點的任意選取,Riemann和的極限總存在,且為同一極限值,則稱為在的三重積分,記為或.定理4.1設是可求體積的有界閉區(qū)域,在上連續(xù),則在上可積.

2.三重積分的基本性質(1)(2)積分可加性設則(3)積分保序性若則(4)若在可積,則也在可積,且(5)積分中值定理設在連續(xù),則存在,使得其中是的體積.3.三重積分的計算定理4.2設其中為平面上的可求面積的有界閉區(qū)域.是上連續(xù)函數(shù),又是上連續(xù)函數(shù).則定理4.3設是可求體積的有界閉區(qū)域,介于平面之間.,平面與的交集為一平面閉區(qū)域,又在連續(xù),則

例1求,其中例2求,其中由所圍.例3求,其中例4求,其中4.三重積分的換元公式定理4.4設是可求體積的有界閉區(qū)域.既是單射又是滿射,其中有連續(xù)一階偏導數(shù),其雅可比式并設在連續(xù),則5.柱坐標變換例5求,6.球坐標變換例6求,7.廣義球坐標變換例7求,§5.重積分應用舉例1.曲面面積例1.求的面積.例2.求圓柱面被所截部分的面積.2.質心3.轉動慣量4.引力第九章曲線積分與曲面積分§1.第一型曲線積分的概念1.可求長曲線與弧長定理1.1(若當定理)若是的一條簡單閉曲線,則是兩個區(qū)域的并.這兩個區(qū)域中的有界區(qū)域稱為的內(nèi)部.定義設是一條曲線,參數(shù)方程為起點,終點.對的任意分割在上得到一串點,這串點連成的折線長度記作

如果對于任意分割,有上界,那么稱是可求長曲線.稱作的弧長.性質1.若可求長,則的任意一段子弧也可求長.性質2.(可加性)若則其中分別為的弧長.定理1.2設是一條空間曲線,參數(shù)方程為并假定在上有連續(xù)導數(shù),則是可求長的,且弧長公式為例1.設求弧長.2.第一型曲線積分的定義與性質定義.設是可求長曲線,起點,終點.又設定義在上.分割,上形成個弧段記為的弧長.任取

若對任意分割及任意選取的中間點,總存在,且極限值總等于,則稱為在上的第一型曲線積分,記作注.與定積分,重積分類似有線性性,有限可加性,保序性.注.與定積分,重積分類似有線性性,有限可加性,保序性.注.第一型曲線積分與曲線的走向無關.3.第一型曲線積分的計算定義.設定義在空間曲線上,如果使得只要且那么就稱在連續(xù).若在上每一點連續(xù),則稱在上連續(xù).定理1.3設是簡單光滑非閉曲線,參數(shù)方程又設在上連續(xù),則在上的第一型曲線積分存在,且例2.設又設求例3.設求§2.第二型曲線積分

給定用參數(shù)變化的過程來規(guī)定的定向.當一條曲線規(guī)定了走向之后,稱之為有定向的曲線.1.第二型曲線積分的概念定義設是上一條可求長有定向曲線.起點,終點.是上函數(shù).在上自起點開始,沿給定的定向依次取點其中.對分割成個小弧段.任取

若對任意分割及中間點的任意選取,極限都存在并總等于,稱為在上的第二型曲線積分,記作注.向量表示性質12線性性3分段可加性4沒有保序性2.第二型曲線積分的計算定理1.3設是有定向的簡單光滑非閉曲線,參數(shù)方程假定的定向從到,又設在上連續(xù),則則在上有第二型曲線積分,且例1.設圓錐螺線的定向為增加的方向,求3.平面第二型曲線積分格林公式若是簡單閉曲線,將逆時針方向定為曲線的正向,這時記作.定理2.2格林公式設是平面上一條逐段光滑簡單閉曲線.它所圍有界閉區(qū)域記作.又設在上有一階連續(xù)偏導數(shù),則推論2.1在定理2.2條件下,當時,推論2.2若