卡爾曼濾波完整PPT

卡爾曼濾波2023/9/2916.1信號(hào)模型……RudolfEmilKalman匈牙利數(shù)學(xué)家BS&MSatMITPhDatColumbia1960年發(fā)表的論文《ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblems》（線性濾波與預(yù)測(cè)問題的新方法）被引用次數(shù)：194062023/9/2926.1信號(hào)模型……維納濾波的模型：信號(hào)可以認(rèn)為是由白噪聲激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)的響應(yīng)，假設(shè)響應(yīng)和激勵(lì)的時(shí)域關(guān)系可以用下式表示：

上式也就是一階AR模型。6.1.1狀態(tài)方程和量測(cè)方程2023/9/2936.1信號(hào)模型……在卡爾曼濾波中信號(hào)被稱為是狀態(tài)變量，用矢量的形式表示為，激勵(lì)信號(hào)也用矢量表示為，激勵(lì)和響應(yīng)之間的關(guān)系用傳遞矩陣來表示，得出狀態(tài)方程：

上式表示的含義就是在k時(shí)刻的狀態(tài)可以由它的前一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)來求得，即認(rèn)為k-1時(shí)刻以前的各狀態(tài)都已記憶在狀態(tài)中了。2023/9/294在卡爾曼濾波中，用表示量測(cè)到的信號(hào)矢量序列，表示量測(cè)時(shí)引入的誤差矢量，則量測(cè)矢量與狀態(tài)矢量之間的關(guān)系可以寫成6.1信號(hào)模型……卡爾曼濾波是根據(jù)系統(tǒng)的量測(cè)數(shù)據(jù)（即觀測(cè)數(shù)據(jù)）對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行估計(jì)的，所以除了狀態(tài)方程之外，還需要量測(cè)方程。

2023/9/2956.1信號(hào)模型……上式和維納濾波的概念上是一致的，也就是說卡爾曼濾波的一維信號(hào)模型和維納濾波的信號(hào)模型是一致的。把上式推廣就得到更普遍的多維量測(cè)方程

上式中稱為量測(cè)矩陣，它的引入原因是,量測(cè)矢量維數(shù)不一定與狀態(tài)矢量的維數(shù)相同，因?yàn)槲覀儾灰欢苡^測(cè)到所有需要的狀態(tài)參數(shù)。2023/9/2966.1信號(hào)模型……6.1.2信號(hào)模型狀態(tài)方程量測(cè)方程2023/9/2976.1信號(hào)模型……【例6-1】設(shè)卡爾曼濾波中量測(cè)方程為，已知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)的z變換為：

噪聲的自相關(guān)函數(shù)為，信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。求卡爾曼濾波信號(hào)模型中的和。2023/9/2986.1信號(hào)模型解：根據(jù)等式可以求得變換到時(shí)域得：因此又因?yàn)?，所以?。2023/9/2996.2卡爾曼濾波方法……6.2.1卡爾曼濾波的一步遞推法模型把狀態(tài)方程和量測(cè)方程重新給出：

假設(shè)信號(hào)的上一個(gè)估計(jì)值已知，現(xiàn)在的問題就是如何來求當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值。2023/9/29106.2卡爾曼濾波方法……如果不考慮噪聲和狀態(tài)方程和量測(cè)方程變換如下：

必然，觀測(cè)值和估計(jì)值之間有誤差，它們之間的差稱為新息（innovation）：

顯然，新息的產(chǎn)生是由于我們前面忽略了與所引起的。2023/9/29116.2卡爾曼濾波方法……用新息乘以一個(gè)修正矩陣，用它來代替式中來對(duì)進(jìn)行估計(jì)：

通過上式可以畫出卡爾曼濾波對(duì)進(jìn)行估計(jì)的遞推模型。2023/9/29126.2卡爾曼濾波方法……輸入為觀測(cè)值，輸出為信號(hào)估計(jì)值?？柭鼮V波的一步遞推法模型2023/9/29136.2卡爾曼濾波方法……6.2.2卡爾曼濾波的遞推公式（感興趣自學(xué)）卡爾曼濾波的一步遞推公式：2023/9/29146.2卡爾曼濾波方法pp.91,【例6-2】2023/9/29156.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……【例6-3】已知條件和例6-2一樣，狀態(tài)方程和測(cè)量方程為：，其中，，信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。求卡爾曼濾波器的穩(wěn)態(tài)和。2023/9/29166.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……解：根據(jù)函數(shù)調(diào)用sys＝ss(A,B,C,D,1)，得到離散卡爾曼狀態(tài)模型，采樣周期這里設(shè)為1。A,C已知，由于函數(shù)調(diào)用中是設(shè)計(jì)了兩個(gè)觀測(cè)信號(hào)的，我們這里只有一個(gè)觀測(cè)信號(hào)，所以B取[01]，后一個(gè)1表示噪聲的系數(shù)。D取0。實(shí)際的語(yǔ)句如下：sys=ss(A,B,C,D,1)然后調(diào)用函數(shù)[S,L,,H,]＝kalman(sys,Q,R)，設(shè)計(jì)離散卡爾曼濾波器。實(shí)際語(yǔ)句和計(jì)算結(jié)果如下：[S,L,,H,]=kalman(sys,0.36,1)L=0.3000=0.6000H=0.3750=0.3750這里省略了輸出的S，它表示的信息是達(dá)到穩(wěn)態(tài)后系統(tǒng)狀態(tài)模型，H和表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的最終值。2023/9/2917[SLs1Hs]=kalman(sys,0.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……%s=eegdata(1:M)';*sin(pi*n/50);%仿真信號(hào)卡爾曼濾波的一步遞推公式：[S,L,,H,]=kalman(sys,0.dx/dt=Ax(t)+Bu(t)4、1和2白噪聲，M=10243卡爾曼濾波器的應(yīng)用……求卡爾曼濾波信號(hào)模型中的和。，其中，，信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。A,C已知，由于函數(shù)調(diào)用中是設(shè)計(jì)了兩個(gè)觀測(cè)信號(hào)的，我們這里只有一個(gè)觀測(cè)信號(hào)，所以B取[01]，后一個(gè)1表示噪聲的系數(shù)。e1=Rss(M)-h'*Rxs';2卡爾曼濾波方法……y(t)=Cx(t)+Du(t)卡爾曼濾波在誘發(fā)腦電位提取中的應(yīng)用6.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……有了修正矩陣和均方誤差，代入下式就可以根據(jù)觀測(cè)信號(hào)得到卡爾曼濾波的估計(jì)值了。從上面例題知道，只要確定了狀態(tài)模型，就可以調(diào)用函數(shù)很快設(shè)計(jì)出卡爾曼濾波器。2023/9/29186.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……實(shí)現(xiàn)代碼clearA=0.8;B=[01];C=1;D=0;sys=ss(A,B,C,D,1);[SLs1Hs]=kalman(sys,0.36,1)N=1000;%階數(shù)n=1:N;s=exp(-0.002*n).*sin(pi*n/50);%仿真信號(hào)w=0.36*randn(1,N);%白噪聲，系數(shù)代表噪聲相對(duì)強(qiáng)度x=s+w;%仿真信號(hào)fori=1:Nh(i)=0.5.^i;endss=filter(h,1,x);figure;subplot(2,2,1);plot(n,s);title('信號(hào)');subplot(2,2,2);plot(n,w);title('噪聲');subplot(2,2,3);plot(n,x);title('觀測(cè)值');subplot(2,2,4);plot(n,ss);title('信號(hào)估計(jì)');figure;plot(n,ss-s);title('估計(jì)誤差');error=mean((ss-s).^2)SYS=SS(A,B,C,D)createsaSSobjectSYSrepresentingthecontinuous-timestate-spacemodeldx/dt=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)YoucansetD=0tomeanthezeromatrixofappropriatedimensions.IfoneormoreofthematricesA,B,C,Dhaveuncertainty,SSreturnsanuncertainstate-space(USS)model(RobustControlToolboxonly).SYS=SS(A,B,C,D,Ts)createsadiscrete-timestate-spacemodelwithsampletimeTs(setTs=-1ifthesampletimeisundetermined).2023/9/29196.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……結(jié)果圖指數(shù)正弦衰減信號(hào)，N=1000，最小均方誤差error=0.2731。指數(shù)正弦衰減信號(hào)，N=2000，最小均方誤差error=0.2350。2023/9/29206.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……結(jié)果圖指數(shù)正弦衰減信號(hào)，N=3000，最小均方誤差error=0.1997。指數(shù)正弦衰減信號(hào)，N=4000，最小均方誤差error=0.2021。2023/9/29216.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……結(jié)果圖實(shí)際心電信號(hào)，N=1000，最小均方誤差error=0.2808。實(shí)際心電信號(hào)，N=2000，最小均方誤差error=0.2913。2023/9/2922M=input('信號(hào)的長(zhǎng)度M=');卡爾曼濾波在誘發(fā)腦電位提取中的應(yīng)用h=inv(R_xx)*Rxs';解：根據(jù)函數(shù)調(diào)用sys＝ss(A,B,C,D,1)，得到離散卡爾曼狀態(tài)模型，采樣周期這里設(shè)為1。假設(shè)信號(hào)的上一個(gè)估計(jì)值已知，現(xiàn)在的問題就是如何來求當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值。【例6-3】已知條件和例6-2一樣，狀態(tài)方程和測(cè)量方程為：e0=e1;把狀態(tài)方程和量測(cè)方程重新給出：N%顯示N的最終值解：根據(jù)函數(shù)調(diào)用sys＝ss(A,B,C,D,1)，得到離散卡爾曼狀態(tài)模型，采樣周期這里設(shè)為1。subplot(2,2,2);plot(n,w);title('噪聲');6.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用……結(jié)果圖實(shí)際心電信號(hào)，N=3000，最小均方誤差error=0.2946。實(shí)際心電信號(hào)，N=4000，最小均方誤差error=0.3054。2023/9/29236.3卡爾曼濾波器的應(yīng)用卡爾曼濾波在誘發(fā)腦電位提取中的應(yīng)用（1）自發(fā)電位模型(EEG)和誘發(fā)電位(EP)模型的建立（2）卡爾曼狀態(tài)方程和量測(cè)方程的建立（3）卡爾曼濾波器的數(shù)據(jù)處理結(jié)果2023/9/2924本章小結(jié)1、掌握：信號(hào)模型；2、熟悉：卡爾曼濾波原理和方法；3、了解：卡爾曼濾波的應(yīng)用。2023/9/2925本章習(xí)題pp.95,習(xí)題6-12023/9/2926下集預(yù)告第七章隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)建模法2023/9/2927實(shí)驗(yàn)4詳解……function[h,e]=WH(Rss,Rww,M)%求解維納-霍夫方程的函數(shù)，其中M為信號(hào)的長(zhǎng)度e1=10;e0=0;N=0;%給e1,e0,N賦初值whileabs(e0-e1)>1e-6%e1和e0不夠接近則循環(huán)

N=N+1;e0=e1;Rxs=Rss(M:(M+N-1));Rxx=Rww(M:(M+N-1))+Rss(M:(M+N-1));R_xx=zeros(N);forj=1:Nforn=1:NR_xx(j,n)=Rxx(abs(j-n)+1);endendh=inv(R_xx)*Rxs';e1=Rss(M)-h'*Rxs';endN%顯示N的最終值e=e1;程序如下：%主程序clear;clc;M=input('信號(hào)的長(zhǎng)度M=');n=1:M;s=exp(-0.002*n).*sin(pi*n/50);%仿真信號(hào)，可以自己生成，任意形式%loadecgdata;%實(shí)際心電信號(hào)%s=ecgdata(1:M)';%loadeegdata;%實(shí)際腦電信號(hào)%s=eegdata(1:M)';w=0.4*randn(1,M);%白噪聲，系數(shù)代表噪聲相對(duì)強(qiáng)度x=s+w;%仿真信號(hào)Rss=xcorr(s,s);%估計(jì)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)Rww=xcorr(w,w);%估計(jì)噪聲自相關(guān)函數(shù)[h,e]=WH(Rss,Rww,M);ss=filter(h,1,x);%用維納濾波器濾波figure;subplot(2,2,1);plot(n,s);title('信號(hào)');subplot(2,2,2);plot(n,w);title('噪聲');subplot(2,2,3);plot(n,x);title('觀測(cè)值');subplot(2,2,4);plot(n,ss);title('信號(hào)估計(jì)');figure;plot(n,ss-s);title('估計(jì)誤差');error=mean((ss-s).^2)2023/9/2928實(shí)驗(yàn)4詳解……1、s為指數(shù)正弦衰減信號(hào)，w為強(qiáng)度為0.4白噪聲，M=1024N=264，最小均方誤差error=0.0068。2023/9/2929實(shí)驗(yàn)4詳解……2、s為實(shí)際心電信號(hào)，w為強(qiáng)度為0.4白噪聲，M=1024N=99，最小均方誤差error=0.0236。2023/9/2930實(shí)驗(yàn)4詳解……3、s為實(shí)際腦電信號(hào)，w為強(qiáng)度為0.4白噪聲，M=1024N=59，最小均方誤差error=0.1414。2023/9/2931實(shí)驗(yàn)4詳解……4、s為指數(shù)正弦衰減信號(hào)，w為強(qiáng)度為0.4、1和2白噪聲，M=1024N=264，最小均方誤