雙曲線及其標準方程導學案 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

高二數(shù)學導學案本學案共6頁，第頁高二年級數(shù)學學科導學案命題班級學號姓名得分課題：雙曲線及其標準方程【學習目標】1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.3.會利用雙曲線解決一些簡單的實際問題．【重點難點】掌握雙曲線的定義及其標準方程.【學習流程】◎基礎感知溫故知新1、橢圓的定義平面內(nèi)到兩個定點的距離的和是一個常數(shù)，且該常數(shù)大于這兩個定點之間的距離2、橢圓的標準方程eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)◎探究未知問題1：把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎么樣？提示準備實驗，適當選取兩定點F1，F(xiàn)2，將拉鎖拉開一段，其中一邊的端點固定在F1處，在另一邊上截取一段(小于|F1F2|的長度)，作為動點P到兩定點F1和F2距離之差，而后把它固定在F2處，這時將鉛筆(粉筆)置于P處，于是隨著拉鏈逐漸打開，鉛筆就畫出一條曲線，同理可畫出另一支．(如圖)顯然所畫的曲線不是橢圓，而是兩條相同的曲線，只是位置不同，其原因都是應用了“到兩定點的距離之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一個常數(shù)”這個條件．雙曲線的定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合(或軌跡)叫作雙曲線．這兩個定點F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點，兩個焦點記憶點：(1)常數(shù)要小于兩個定點的距離．(2)如果沒有絕對值，點的軌跡表示雙曲線的一支．(3)當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點)．(4)當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在．(5)當2a＝0時，動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．例1已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，當a＝3或5時，P點的軌跡為()A．雙曲線或一條直線B．雙曲線或兩條直線C．雙曲線一支或一條直線D．雙曲線一支或一條射線跟蹤訓練1在平面直角坐標系中，F(xiàn)1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若點P的軌跡為雙曲線，則a的取值范圍是()A．(0,4) B．(0,4]C．(4，＋∞) D．(0,4)∪(4，＋∞)二、雙曲線的標準方程問題2：類比求橢圓標準方程的過程．如何建立適當?shù)淖鴺讼?，求出雙曲線的標準方程？以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy，此時雙曲線的焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，焦距為2c，c>0.焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關系b2＝c2－a2記憶點：(1)若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上．(2)a與b沒有大小關系．(3)a，b，c的關系滿足c2＝a2＋b2.例2．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”).(1)在雙曲線標準方程中，a，b，c之間的關系與橢圓中a，b，c之間的關系相同．()(2)點A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，則點C的軌跡是雙曲線．()(3)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦點在x軸上，且a>b.()例3求過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦點在坐標軸上的雙曲線的標準方程．跟蹤訓練2焦點在x軸上，經(jīng)過點P(4，－2)和點Q(2eq\r(6)，2eq\r(2))的雙曲線的標準方程為________．三、雙曲線在生活中的應用例4如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點D到A的距離比到B的距離遠2km，則曲線PQ的軌跡方程是________；現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉(zhuǎn)運貨物，那么這兩條公路MB，MC的路程之和最短是________km.四、（拓展）與雙曲線有關的軌跡問題例5如圖所示，在△ABC中，已知|AB|＝4eq\r(2)，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sinA＋sinC＝2sinB，建立適當?shù)淖鴺讼?，求頂點C的軌跡方程．◎達標檢測1．(教材例題改編)設動點M到點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－5))的距離與它到點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，5))的距離的差等于6，則M點的軌跡方程是()A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1C．eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y>0)) D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>0))2.雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1上的點P到一個焦點的距離為11，則它到另一個焦點的距離為()A．1或21 B．14或36C．2 D．213．方程eq\f(x2,2＋m)－eq\f(y2,2－m)＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是()A．－2＜m＜2 B．m＞0C．m≥0 D．|m|≥24．雙曲線C的兩焦點分別為(－6,0)，(6,0)，且經(jīng)過點(－5，2)，則雙曲線的標準方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(y2,20)－eq\f(x2,16)＝1 D.eq\f(y2,20)－eq\f(x2,4)＝15.若雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，0)) D．(eq\r(3)，0)6．(多選)雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1上的點到一個焦點的距離為12，則到另一個焦點的距離為()A．17B．7C．22D．27.已知圓C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則所得雙曲線的標準方程為________.8．以橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1的焦點為焦點，且過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3\r(5),2)))的雙曲線的方程為________________．9．求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：(1)c＝5，b＝3，焦點在x軸上；(2)a＝2eq\r(5)，經(jīng)過點A(2，－5)，焦點在y軸上．【總結反思】1、求雙曲線的標準方程方法(1)用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，若焦點位置不