解三角形中相關(guān)的取值范圍問題

>>解決與三角形相關(guān)的取值范圍問題例1:在銳角aABC中，A=2B，則C的取值范圍是b例2:假設(shè)△ABC的三邊a,b,c成等比數(shù)列，a,b,c所對的角依次為A,B,C，則sinB+cosB的取值范圍是例3：在MBC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且acosC,bcosB,ccosA成等差數(shù)列?！?〕求b的大小。(2〕假設(shè)b=5，求MBC周長的取值范圍。例4：在加中，〃+b2=c2+1ab，假設(shè)皿的外接圓半徑為呼,則△ABC的面積的最大值為例5：〔2008,滿足AB=2,AC=J2bC的MBC的面積的最大值是例6:角A,B,C是aABC三個內(nèi)角，a,b,c是各角的對邊，向量m=(1一cos(A+B),cosn=(5,cos△一B)m=(1一cos(A+B),cos828(】〕求tanA-tanB的值。(2〕求asinC的最大值。a2+b2-c2通過以上例題，我們發(fā)現(xiàn)與三角形相關(guān)的取值范圍問題常常結(jié)合正弦定理、余弦定理、面積公式、數(shù)列、三角函數(shù)、根本不等式、二次函數(shù)、向量等知識綜合考察。這一類問題有利于考察學(xué)生對知識的綜合運(yùn)用能力，是高考命題的熱點(diǎn)。理順這些根本知識以及技巧和方法可以提高我們解題的能力。希望本文能對同學(xué)們復(fù)習(xí)備考有所幫助。穩(wěn)固練習(xí)1?在^ABC中，a=2,c=1，則ZC的取值范圍為

2．假設(shè)鈍角三角形的三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的取值范圍是3在Rt^ABC中，C，且A,B,C所對的邊a,b,c滿足a+b=xc，則實(shí)2數(shù)X的取值范圍為4?在銳角厶ABC中，A=2B，AC=1，則BC的取值范圍是5?在銳角^ABC中，三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，記M二cosAcosC，則M的取值范圍是6?銳角三角形的邊長分別為1,3,a，則a的取值范圍是7?aABC外接圓的半徑為6，假設(shè)面積S=a2-(b-c)2且ABCsinB+sinC=4，則sinA=，S的最大值為aabc?在aABC中，m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA)，且m-n=sinB+sinC〔1〕求證：aABC為直角三角形〔2〕假設(shè)aABC外接圓的半徑為1，求aABC的周長的取值范圍?在aABC中A,B,C所對的邊分別為a,b,c，41sinA=J3cosA⑴假設(shè)a2-c2=b2-mbc，求實(shí)數(shù)m的值〔2〕假設(shè)a=、豆，求MBC面積的最大值。解決與三角形相關(guān)的取值范圍問題例X在銳角皿中,A=2B，則c的取值范圍是解析：由0<A=2B<￡且0<C刃-A-B<彳兀仆兀

侍一<B<—兀仆兀

侍一<B<—，64c_sinC

bsinB==4cos2B—1，又cosBe又cosBe(殳込所以￡22b=4cos2B-1e(1,2)點(diǎn)評：①此題易錯在求B的范圍上，容易無ABC是銳角三角形〃這個條件。②此題涉及三角形邊角之間的關(guān)系，考察邊角互化，化多元為一元，表達(dá)了解題的通性通法。例2:假設(shè)aABC的三邊a,b,c成等比數(shù)列，a,b,c所對的角依次為A,B,C，則sinB+cosB的取值范圍是解析：由題設(shè)知b2=ac，又余弦定理知廠a2+c2-b2a2+c2-ac2ac-ac1TOC\o"1-5"\h\zcosB==>=—2ac2ac2ac2所以0<B<，又sinB+cosB=j2sin(B+-)且<B+叟<7所以344412v2sin(B+—)e(1,\：'2］即sinB+cosB的取值范圍是(1,J2］。4點(diǎn)評:此題將數(shù)列、根本不等式、三角函數(shù)、解三角形等知識結(jié)合起來，有利于提高學(xué)生解題的綜合能力。例3：在厶ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且acosC,bcosB,ccosA成等差數(shù)列?！?〕求B的大小。〔2〕假設(shè)b=5，求aABC周長的取值范圍。解析：〔】〕由題意知acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB所以sin(A+C)=2sinBcosB，于是cosB=2,B=才⑵由正弦定理丄=丄=二=巴，所以sinAsinBsinC羽又由0<A<殳得<A+上<—，所以2663兀a+b+c=5+10sin(A+—)e(10,15］。6點(diǎn)評：對三角函數(shù)式的處理常常借助于同角三角函數(shù)間關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及恒等變換式等實(shí)施變形，到達(dá)化簡、求值域的目的。

例4在“ABC中，“+b2=c2+3ab'假設(shè)“ABC的外接圓半徑為罟,則△ABC的面積的最大值為解析：又.解析：又.2+b2=c2+3ab及余弦定理得a2+b2-c2cosC=—2ab3，所以sinC=又由于c=2RsinC=4，所以c2=a2+b2-2abcosC即16+-ab=a2+b2>2ab3所以ab<12，又由于S=-absinC=^ab<4邁，故當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2、運(yùn)23時，△ABC的面積取最大值4J2點(diǎn)評：先利用余弦定理求cosA的大小，再利用面積公式結(jié)合根本不等式，求面積的最大值，要注意正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用。例5：〔2008,〕滿足AB=2,AC=4-BC的aabc的面積的最大值是解析：設(shè)BC=x，則AC=42x，根據(jù)面積公式得S=-AB-BCsinB=X\；'l-COS2B①ABC2由余弦定理得cosB=AB2+BC2—AC2=4+x2-(払)2=m2AB-BC4x4x代入①式得S=X：1-(1^)2=、J28-(X2-12)2%cY'4xY16由三角形三邊關(guān)系有+x>2且x+2>p2x，所以2邁-2<x<2邁+2，故當(dāng)x=2脣3時，S取得最大值2、迂。ABC點(diǎn)評：此題結(jié)合函數(shù)的知識，以學(xué)生熟悉的三角形為載體，考察了面積公式、余弦定理等知識，是一道考察解三角形的好題。例6:角A,B,C是aabc三個內(nèi)角，a,b,c是各角的對邊，向量一/人A_B、_z5A—B日__9m=(1—cos(A+B),cos)，n=(-,cos)，日m-n=-2828〔1〕求tanA-tanB的值?！?〕求asinC的最大值。a2+b2—c2解析：由m=(1—cos(A+B),cos)，n=(5,cos)，且m-n=2825[1—cos(A+B)]+cos2=9，所以4cos(A一B)=5cos(A+B)，828即cosAcosB=9sinAsinB，所以tanA-tanB=-9〔2〕由余弦定理得旦虬=absinC=JanC，而a2+b2—c22abcosC2即tan(A+B)有最小值3，又tanC=—tan(A+B)，4所以tanC有最大值—3〔當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB=-時取等號〕3所以absinC的最大值為—3a2+b2—c28通過以上例題，我們發(fā)現(xiàn)與三角形相關(guān)的取值范圍問題常常結(jié)合正弦定理、余弦定理、面積公式、數(shù)列、三角函數(shù)、根本不等式、次函數(shù)、向量等知識綜合考察。這一類問題有利于考察學(xué)生對知識的綜合運(yùn)用能力，是高考命題的熱點(diǎn)。理順這些根本知識以及技巧和方法可以提高我們解題的能力。希望本文能對同學(xué)們復(fù)習(xí)備考有所幫助。穩(wěn)固練習(xí)1?在AABC中，a=2,c=1，則ZC的取值范圍為2?假設(shè)鈍角三角形的三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的取值范圍是3?在R^ABC中，C=-，且A,B,C所對的邊a,b,c滿足a+b=xc，則實(shí)2數(shù)x的取值范圍為

4?在銳角aabc中，A二2B，AC=1，則BC的取值范圍是5?在銳角mbc中，三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，記M二cosAcosC，則M的取值范圍是6?銳角三角形的邊長分別為1,3,a，則a的取值范圍是7?7?MBC外接圓的半徑為6，假設(shè)面積S=a2-(b-c)2aabcsinB+sinC=4，則sinA=，S的最大值為3aabc8?在△ABC中，m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA)，且m-n=sinB+sinC〔1〕求證:aABC為直角三角形⑵假設(shè)MBC外接圓的半徑為1，求MBC的周長的取值范圍9?在aABC中A,B,C所對的邊分別為a,b,c，邁sinA=J3cosA〔1〕假設(shè)a2-c2=b2-mbc，求實(shí)數(shù)m的值〔2〕假設(shè)a=朽，求MBC面積的最大值。參考答案?sinC=-sinA<—,Cg(0,仝］226?(2,)TOC\o"1-5"\h\z(1八②?同例1知1<b<-，由正弦定理64BC=AC血A=沁=2cosBg(邁用sinBsinB5?易知B=—,A+C=蘭，則M=cosAcosC=cosAcos(王—A)333由于0<a<蘭,所以-殳<2A--<匹，故3666兀1111M=三sin(2A―：)—g(—,?。?4241,3,a所對的角分別為A,B,C，由三角形三邊關(guān)系有

1+3>a,1+a>3且3+a>1，故2<a<4，易知B>A，要保證MBC為銳角

三角形，只需cosB>0,cosC>0，即等存>0且號存>0，解得7?由S=a2-(b-c)2，得a2=b2+c2+be(-2)aabc2由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，故有2-也=2cosA，易得A為2銳角，且4-2sinA+呼=4cos2A，即17sin2A-8sinA=0，故有sinA=17則b+c=2R(sinB+sinC)=12-4=16〔當(dāng)且僅當(dāng)b=c=8時取等且〔當(dāng)且僅當(dāng)b=c=8時取等且m-n=sinB+sinCS=一bcsinA<()2=-64=aabc2221717號〕即S的最大值為256△ABC178?〔1〕由m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA)，得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，由正弦定理得acosB+acosC=b+c，由余弦定理得a?a2+c2一b2+a?a2+b2一c22ac2ab整理得(b+c)(a2-b2-c2)=0又由于b+c>0，故a2=b2+c2，即MBC是直角三角形〔或者：由sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC得，化間得cosA(sinB+sinC)=0，由于sinB+sinC>0，故cosA=0‘即△ABC是直角三角形)〔2〕設(shè)mbc內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c

由于厶ABC外接圓的半徑為1，A=-，所以a二2RsinA二2，2所以b+c=2R(sinB+cosB)=2(sinB+cosB)=2\：2sin(B+上)4又0<B<-，故-<B+-<竺，因而2j2sin(B+-)e(2,2「2]

24444故4<a+b+c