選修21第三章32利用空間向量解決立

利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題數(shù)學(xué)專(zhuān)題二教學(xué)目標(biāo)向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用，掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用；空間向量之應(yīng)用3利用空間向量求距離BAaMNnab一、求異面直線的距離nabAB方法指導(dǎo):①作直線a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；②在直線a、b上各取一點(diǎn)A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，則異面直線a、b間的距離為zxyABCC1即取x=1,則y=-1,z=1,所以EA1B1當(dāng)E,F在公垂線同一側(cè)時(shí)取負(fù)號(hào)當(dāng)d等于0是即為“余弦定理”<>=π—θ（或θ），zxyABCC1EA1B1練習(xí)zxyABCC1即取x=1,z則y=-1,z=1,所以EA1B12點(diǎn)到平面的距離A為平面α外一點(diǎn)如圖,n為平面α的法向量,過(guò)A作平面α的斜線AB及垂線AH

==于是，點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與平面的法向量模的比值nABHαθ詳細(xì)答案DABCGFExyzDABCGFExyz1答案2答案APDCBMN2課本第116頁(yè)練習(xí)2如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長(zhǎng)BACD解：如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz

則D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),P(0,0,)DMPNAxCBzy例3、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，求直線BD到平面GEF的距離。DABCGFExyz三、求直線與平面間距離正方體AC1棱長(zhǎng)為1，求BD與平面GB1D1的距離A1B1C1D1ABCDXYZ練習(xí)3:G例4、正方體AC1棱長(zhǎng)為1，求平面AD1C與平面A1BC1的距離A1B1C1D1ABCDXYZ四、求平面與平面間距離評(píng)述：此題用找公垂線的方法比較難下手，用向量代數(shù)的方法則簡(jiǎn)捷，高效，顯示了向量代數(shù)方法在解決立體幾何問(wèn)題的優(yōu)越性平行平面間的距離可轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離或再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離例5如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：AO⊥平面BCD；（II）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；（III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。xyZ解:I略II以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則令得是平面ACD的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)E到平面ACD的距離xyZ練習(xí)、在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分別是棱A1