輪胎非穩(wěn)態(tài)側(cè)偏特性模型的簡化形式

輪胎非穩(wěn)態(tài)側(cè)偏特性模型的簡化形式

1階e函數(shù)e為了簡化表達非靜態(tài)車輪側(cè)梯度動力學(xué)模型的輸出（側(cè)梯度和回正矩陣）和輸出（旋轉(zhuǎn)角和側(cè)位移）之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，引入了零電子函數(shù)e0（s）和一階電子函數(shù)a1（s）。{E0(s)=12a∫2a0(1-e-sx)dx?E1(s)=12a2∫2a0x(1-e-sx)dx?(1)式中:a為輪胎印跡半長度,x為印跡縱向長度坐標。顯然E0(s)與E1(s)是一個積分關(guān)系式。令∶{E2(s)=E1(s)-E0(s)?E3(s)=3E2(s).(2)將函數(shù)E0(s)～E3(s)統(tǒng)稱為E函數(shù)。它們是輪胎非穩(wěn)態(tài)側(cè)偏特性理論模型中的重要特征函數(shù)。2e函數(shù)s輪胎非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)偏理論模型在零頻率(即取s=0)時即為輪胎穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)偏理論模型。但直接根據(jù)非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)偏傳遞函數(shù)式取s=0進行推導(dǎo)比較困難,其計算復(fù)雜性主要表現(xiàn)為E函數(shù)。如果將E函數(shù)展開為Taylor級數(shù)形式,則可使計算大大簡化。對式(1)和式(2),令x=au,可得到量綱1形式,積分后得到E0(s)=12∫20(1-e-aus)du=1+12as(e-2as-1)?E1(s)=12∫20u(1-e-aus)du=1+12a2s2[(1+2as)e-2as-1]?E3(s)=3[E1(s)-E0(s)]=12a2s2[(1+as)e-2as+as-1].(3)將E函數(shù)展開為Taylor級數(shù)形式,得到:{E0(s)=as-23a2s2+?+(-1)n+12(as)n(n+1)!+??E3(s)=as-a2s2+?+(-1)n+1(3n)(2as)n(n+2)!+?.(4)對于式(3),當(dāng)s→0,其極限值為lims→0E0(s)=lims→0E1(s)=lims→0E3(s)=0.(5)依式(3)求E0(s),E1(s)對s的一階導(dǎo)數(shù){E′0(s)=dE0(s)ds=12∫20aue-ausdu=1-(1+2as)e-2as2as2?E′1(s)=dE1(s)ds=12∫20au2e-ausdu=1-(1+2as+2a2s2)e-2asa2s3?E′3(s)=dE3(s)ds=d[3(E1(s)-E0(s))]ds=6-3as-3(2+3as+2a2s2)e-2as2a2s3.(6)由式(4)易求得在s→0時lims→0E′0(s)=a?lims→0E′3(s)=a.(7)同樣,根據(jù)式(4)可求得E0(s)和E3(s)關(guān)于s的高階導(dǎo)數(shù)在s→0時的極限。3s,1-f,2s-sin的極限值設(shè)ωs為路徑頻率,當(dāng)s=jωs時,即可得到E函數(shù)的頻率特性。令量綱1路徑頻率ˉωs=ωsa,由式(3)有{E0(jωs)=R0(ωs)+jΙ0(ωs)?E3(jωs)=R3(ωs)+jΙ3(ωs).(8)式中:R0(ωs)=1-sin(2ˉωs)/(2ωs)?Ι0(ωs)=1-cos(2ˉωs)/(2ˉωs)?R3(ωs)=3[1-cos(2ˉωs)2ˉω2s-sin(2ˉωs)2ˉωs]?Ι3(ωs)=3[sin(2ˉωs)2ˉω2s-1+cos(2ˉωs)2ˉωs].當(dāng)ωs→+∞時,由式(8)可求得1-E0(jωs)和1-E3(jωs)的實部與虛部的極限值分別為{limωs→+∞[1-R0(ωs)]=0?limωs→+∞Ι0(ωs)=0?limωs→+∞[1-R3(ωs)]=1?limωs→+∞Ι3(ωs)=0.(9)上述結(jié)果也可直接由式(3)求s→+∞時的極限得到。圖1即為1-E0(jωs)和1-E3(jωs)的頻率特性圖。由圖1可知,粗略地講,1-E0(jωs)與1-E3(jωs)分別對應(yīng)于轉(zhuǎn)動角輸入時側(cè)向力與回正力矩的頻率特性。4階簡化形式將量綱1路徑頻率轉(zhuǎn)化為時間頻率f/Hz,考慮車速的變化,可得到時間頻率特性圖。圖2為考慮車速變化(分別為30,80,120km/h)時1-E0(jω)和1-E3(jω)的頻率特性圖(ω為時間圓頻率)。從圖2可以看出,增大車速能使幅值與相位曲線平緩些。在分析輪胎非穩(wěn)態(tài)側(cè)偏特性時,考慮將E函數(shù)簡化為其一階形式,即E0(s)=as?E3(s)=as.(10)圖3為一階簡化形式的E函數(shù)頻率特性圖。從圖中可以看出,隨著頻率增大,相位圖中兩種曲線開始出現(xiàn)偏離,而幅值圖中的簡化E函數(shù)頻率特性曲線則失真,即簡化E函數(shù)頻率特性幅值曲線的變化趨勢與原E函數(shù)頻率特性幅值曲線相反。繼續(xù)取E函數(shù)更高階的簡化形式,分析考慮速度變化的1-E0(s)和1-E3(s)的頻率特性。可以發(fā)現(xiàn),E函數(shù)取二階簡化形式時,幅值圖中簡化E函數(shù)頻率特性曲線失真情況得到改善,只在低速(30km/h)時失真,中高速(80,120km/h)時不僅不失真,而且偏差很小。當(dāng)E函數(shù)取四階簡化形式時,頻率特性如圖4所示。簡化后的E函數(shù)頻率特性曲線與原E函數(shù)頻率特性曲線吻合情況非常好,特別是中高速時,只有低速且頻率接近20Hz時,曲線才開始出現(xiàn)偏差,而且當(dāng)頻率低于2Hz時,簡化后的E函數(shù)頻率特性曲線與原E函數(shù)頻率特性曲線基本吻合且幅值為1,也就是說,在2Hz以下,可將E函數(shù)非穩(wěn)態(tài)特性近似為穩(wěn)態(tài)特性。這樣,既可以達到較精確近似的要求,同時也大大減小了計算量。如果應(yīng)用于仿真過程,就可以提高系統(tǒng)的實時性。5.2.2非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)偏模型1)E函數(shù)是輪胎非穩(wěn)態(tài)側(cè)偏特性理論模型中的重要特征函數(shù),在建模與分析中都要應(yīng)用E函數(shù)的數(shù)學(xué)特性及頻率特性。2)1-E0(jωs)與1-E3(jωs)分別和轉(zhuǎn)動角輸入時側(cè)向力與回正力矩的頻率響應(yīng)有關(guān)。3)雖然非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)偏模型極其復(fù)雜,但根據(jù)該模型特點,將E函數(shù)展開為T