安徽省2023屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題1解三角形解答題30題專項(xiàng)提分計(jì)劃含解析

Page322023屆安徽省高考復(fù)習(xí)專題1解三角形解答題30題專項(xiàng)提分計(jì)劃1．（2022秋·安徽合肥·高三?？计谥校┲?，角對(duì)應(yīng)的邊分別是，已知．(1)求角的大?。?2)若的面積，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，求得的值，可得的值．(2)利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得的值．【詳解】（1）由，得：，即，即，解得或（舍去）因?yàn)?，所以．?）由，得，又，解得，由余弦定理：，故，又由正弦定理：，所以，，所以.2．（2022秋·安徽合肥·高三合肥市第十中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，其內(nèi)角分別為，且滿足.(1)求角的大?。?2)已知外接圓的半徑為為邊上的一點(diǎn)，，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知條件轉(zhuǎn)換角，利用正弦的兩角和與差的公式展開，根據(jù)條件即可求出的大?。?）由（1）外接圓的半徑求出，利用正弦定理、余弦定理求出，最后就可以得到【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以；?）設(shè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，由（1）和題設(shè)知，，外接圓的半徑為，由正弦定理得，由余弦定理得：得，，即

①，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所?/p>

②.

聯(lián)立①②消去，得，解得，所以的周長(zhǎng)為.3．（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求角；(2)若，邊上的中線，求邊的長(zhǎng).【答案】(1)(2)，或，.【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故，結(jié)合，從而求出；（2）根據(jù)及余弦定理得到，再由得到，結(jié)合余弦定理得到，，求出的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ碇?，∵，∴，即，∵，∴，故，解得：，或?4．（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且的面積為．(1)求的值；(2)若為邊的中點(diǎn)且，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）余弦定理得，面積公式得結(jié)合即可解決；（2）根據(jù)得，由，，得，解得，然后余弦定理解決即可.【詳解】（1）由余弦定理可得，又，整理得．因?yàn)椋此裕?）由（1）的過程可知，所以，解得．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，即，解得．故，所以，即．所以的周長(zhǎng)為．5．（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求證：(2)若的面積，求的最大值，并證明：當(dāng)取最大值時(shí)，為直角三角形.【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析【分析】(1)利用正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理即可求解；(2)利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）證明：由，得，代入，得，所以，由余弦定理，得，所以，所以.（2）由(1)知，所以的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.下面證明當(dāng)，即時(shí)，為直角三角形.把代入，得，兩邊平方，得，所以，因?yàn)?，所以，即，所以為直角三角?6．（2022秋·安徽合肥·高三校聯(lián)考期末）在中,角的對(duì)邊分別為,,,已知.(1)求;(2)若,點(diǎn)在邊上且,,求.【答案】(1)(2)5【分析】(1)在中,將正弦定理代入中,移項(xiàng)化簡(jiǎn)可得解出即可;(2)先用余弦定理得三角形邊之間關(guān)系,再根據(jù)等面積法,可得之間關(guān)系,兩式聯(lián)立即可得出邊長(zhǎng).【詳解】（1）解:由題知,,在中,由正弦定理得:,因?yàn)?所以,故,即,因?yàn)?所以;（2）在中,由余弦定理得:,因?yàn)?所以,將,,帶入可得:,所以,解得:(舍)或.7．（2023秋·安徽合肥·高三?？计谀┰谥校茿，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若的面積是，，求b．【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）根據(jù)余弦定理、正弦定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）由，得，得，得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以．?）若的面積是，則，解得，所以．由余弦定理，可得，所以．8．（2022秋·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，．(1)若，求周長(zhǎng)的最大值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，即得出周長(zhǎng)的最大值；（2）利用正弦定理可得出、，兩式相除可得出關(guān)于的等式，即可求得的值.【詳解】（1）解：在中，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故周長(zhǎng)的最大值是．（2）解：設(shè)，則，．在中，，在中，．兩式相除得，，，因?yàn)椋?，，故?．（2022·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，在平面四邊形中，，．(1)若平分，證明：；(2)記與的面積分別為和，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用可構(gòu)造方程求得，利用余弦定理可求得，由此可得結(jié)論；（2）在中，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，利用三角形面積公式化簡(jiǎn)為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得最大值.【詳解】（1）平分，，則，由余弦定理得：，即，解得：；，，，又，，（2），，整理可得：；，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.10．（2022秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）銳角的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)原式得，由正弦定理得，從而得，即可求解出；（2）由正弦定理將轉(zhuǎn)化為計(jì)算，由題意得的范圍，從而得的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解值域.（1）由題意，，，，由正弦定理得，，即，因?yàn)?，，得，?（2）由，得，為銳角三角形，，得，，得，，所以的取值范圍是.11．（2022秋·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）已知銳角內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若.(1)求角的大??；(2)若，求邊上高的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)條件，運(yùn)用誘導(dǎo)公式以及倍角公式即可求出角C；(2)運(yùn)用等面積法將AB邊上的高h(yuǎn)轉(zhuǎn)化為ab的乘積，在根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出h的范圍.【詳解】（1）由條件可知：，，∵，∴，，又，∴，∴，∴；（2）設(shè)邊上的高為，則且，∴，∴由正弦定理得，∴，，又∴，∵為銳角三角形，∴，解得：，∴，∴，∴邊上高的取值范圍是；綜上，，邊上高的取值范圍是.12．（2022秋·安徽六安·高三六安一中校考階段練習(xí)）設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求角的大?。?2)若，且___________，求的周長(zhǎng).請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中，選擇其中的一個(gè)條件補(bǔ)充到上面的橫線中，并完成作答.①；②；③的面積為.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合正弦定理、三角恒等變換等知識(shí)求得.（2）選①則根據(jù)正弦定理求得，選②則根據(jù)向量運(yùn)算求得，選③則根據(jù)三角形的面積公式求得；結(jié)合余弦定理求得，進(jìn)而求得三角形的周長(zhǎng).【詳解】（1），，，∵，∴,又，∴.（2）若選①且，，∴.若選②，，則.若選③，則.由余弦定理得，，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為.13．（2022秋·安徽滁州·高三?？计谥校┯涗J角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求證：；(2)若，求的最大值．【答案】(1)見解析；(2).【分析】（1）運(yùn)用兩角和與差正弦進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論運(yùn)用正弦定理得，然后等量代換出，再運(yùn)用降次公式化簡(jiǎn)，結(jié)合內(nèi)角取值范圍即可求解.【詳解】（1）證明：由題知，所以，所以,所以因?yàn)闉殇J角，即，所以，所以，所以.（2）由（1）知：，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫海?所以，因?yàn)椋?，所以因?yàn)槭卿J角三角形，且，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值為，所以最大值為：.14．（2022秋·安徽·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且向量與向量共線．(1)求角；(2)請(qǐng)從條件①、條件②條件③這三個(gè)條件選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，并求AC邊上中線的長(zhǎng)．條件①：，；條件②：，；條件③，．【答案】(1)(2)選③；【分析】（1）利用向量共線的性質(zhì)，得到，再利用邊化角即可求出的值.（2）利用正弦定理，面積公式和余弦定理，列方程，計(jì)算可得答案.【詳解】（1）由向量與向量共線得：∴又因?yàn)?，∴，∴，又，∴；?）由①可知：所以，或，不唯一確定（舍去）由②可知：又，所以，即或，不唯一確定（舍去）由③可知：，，，∴15．（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足.(1)求角；(2)若，，的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、正弦和角公式，以及，即可求出角；（2）利用三角形面積公式可得，再利用正弦定理可得，即可求出的值.【詳解】（1）解：利用正弦定理得：，即，化簡(jiǎn)得，由為的內(nèi)角，得，可得，又為的內(nèi)角，所以.（2）解：已知，則，，即①，由，可得，，利用正弦定理可得，，即②聯(lián)立①②可得.16．（2022秋·安徽合肥·高三?？茧A段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為，，，，，向量，的夾角為．(1)求角；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示列式求解作答.（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合正弦定理邊化角，利用三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）因，，則，而，且向量，的夾角為，則，因此，在銳角中，，則，解得，所以.（2）由（1）知，又，由正弦定理得：，則，，而，由銳角得，，即有，顯然有，于是得，有，，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.17．（2022秋·安徽·高三石室中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，.(1)求的面積；(2)若，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理及已知可得，進(jìn)而求得，最后應(yīng)用三角形面積公式計(jì)算即可.（2）先求出,再由正弦定理結(jié)合合比定理，計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，所以，；（2）因?yàn)?，所以，，由正弦定理得，，所以，所?8．（2022秋·安徽蕪湖·高三統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知(1)求角的大小；(2)若是邊上的中點(diǎn)，且，求面積的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理以及三角恒等變換得出角的大小；（2）由結(jié)合基本不等式得出，再由面積公式求解.【詳解】（1）由題可知，且，∴又中，，∴，又，解得（2）由題可知，∴即，又∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴∴19．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┮阎膬?nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，外接圓的直徑為1，且滿足____________________.在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并解答問題.①；②（為的面積）；③.(1)求A;(2)求周長(zhǎng)的最大值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】(1)；(2).【分析】（1）選①根據(jù)正弦定理把化成邊，代入，再根據(jù)余弦定理求解即可；選②根據(jù)面積和余弦定理代入化簡(jiǎn)整理即可；對(duì)于③由正弦定理把邊全部轉(zhuǎn)化為角，化簡(jiǎn)求解即可.（2）根據(jù)正弦定理把邊求出來，然后根據(jù)余弦定理和基本不等式求解.【詳解】（1）選①:由正弦定理可得，，所以，即，由余弦定理，可得，因?yàn)?，所以，選②:因?yàn)?，，所以，即，，因?yàn)椋?，選③:由正弦定理可得，，，∵∴，因?yàn)?，所以?）由正弦定理可知，，由余弦定理可得，，即，因?yàn)椋?，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故△ABC周長(zhǎng)的最大值為20．（2022秋·安徽六安·高三校聯(lián)考期末）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足______．(1)求角的大小：(2)若的面積為，點(diǎn)在邊上，且，求的最小值．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分．）【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可化簡(jiǎn)得到，由此可得；若選②，利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，從而得到；（2）利用三角形面積公式可構(gòu)造方程求得；利用向量線性運(yùn)算可用表示出，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可表示出，利用基本不等式可求得的最小值，進(jìn)而得到的最小值.【詳解】（1）若選條件①，由正弦定理得：，，，，，即，又，；若選條件②，由正弦定理得：，，即，，又，.（2），，；，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，即的最小值為.21．（2023秋·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學(xué)校考期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，.(1)若，求∠BAD；(2)若，且，求四邊形ABCD的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；（2）由余弦定理，三角形面積公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式求解即可【詳解】（1）∵，∴，由正弦定理，可得，不妨設(shè)，，，則由余弦定理得，∵，∴.（2）在中，由余弦定理，可得，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，記四邊形的面積為，的面積為，的面積為，∴，∴.22．（2023春·安徽阜陽·高三阜陽市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，，，的對(duì)邊，，成等比數(shù)列，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使.求：(1)的大小；(2)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和，，化簡(jiǎn)得，又，則，利用兩角和公式即可得解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，，故為等邊三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為，，結(jié)合的范圍即可得解.【詳解】（1）.①又，則②故或（舍去）.又，從而，.（2）由（1）結(jié)論，①+②得則，故為等邊三角形.設(shè)的邊長(zhǎng)為.則.故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.故的取值范圍是.23．（2023春·安徽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在①，②，③，．這三個(gè)條件中任進(jìn)一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且________．(1)求的值;(2)若，求的周長(zhǎng)與面積．【答案】(1)(2)周長(zhǎng)為11，面積為【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角及誘導(dǎo)公式求出，再求出，由正切的二倍角公式即可求出的值；若選②，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)的平方和，可求出，，再由正切的二倍角公式可求出的值；若選③，由余弦的二倍角公式代入化簡(jiǎn)求出，再求出，由正切的二倍角公式可求出的值；（2）由，求出，由正弦定理求出，最后根據(jù)三角形的面積公式和周長(zhǎng)即可得出答案.【詳解】（1）若選①:由正弦定理得，故，而在中，，故，又，所以，則，則，故．若選②:由，化簡(jiǎn)得，代入中，整理得，即，因?yàn)椋?，所以，則，故．若選③:因?yàn)?，所以，即，則．因?yàn)?，所以，則，故．（2）因?yàn)?，且，所以．由?）得，則，由正弦定理得，則．故的周長(zhǎng)為，的面積為．24．（2023秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┰谥?，點(diǎn)D在BC上，滿足AD＝BC，．(1)求證：AB，AD，AC成等比數(shù)列；(2)若，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，再由，得到，即得證；（2）記A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，由（1）得，設(shè)，在△ABD與△ACD中，分別使用余弦定理，解方程組可求出或，依題意排除，利用余弦定理即可求出.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：①，由已知得：②，由①②聯(lián)立得：，因?yàn)?，所以．故AB，AD，AC成等比數(shù)列；（2）在△ABC中，記A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，故，由（1）知：③，在△ABD中，設(shè)，由已知得，由余弦定理得：，即④，在△ACD中，設(shè)，由已知得，由余弦定理得：，⑤，由⑤＋④×2整理得：⑥，由③⑥聯(lián)立整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，由可求得，所以故舍去，當(dāng)時(shí)，由可求得，滿足，在△ABC中，由余弦定理得綜上：25．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.26．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）中，已知.邊上的中線為.(1)求；(2)從以下三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，使存在且唯一確定，并求和的長(zhǎng)度.條件①：；條件②；條件③.【答案】(1)(2)選擇條件②和條件③；.【分析】（1）利用三角恒等變換對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用余弦定理可判斷條件①錯(cuò)誤；根據(jù)條件②和條件③，利用三角形面積公式可得，利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，進(jìn)而得到，在中利用余弦定理可得.【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，，又，解得：，故.（2）解：由（1）得，又余弦定理得：，所以，而條件①中，所以，顯然不符合題意，即條件①錯(cuò)誤，由條件②，條件③，解得，由余弦定理可得，所以.在中，由正弦定理可得，解得，又，所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，在中，由余弦定理可得，解得.故.27．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿足．(1)求；(2)若，是邊上的高，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）將兩邊同乘，再由正弦定理將邊化角，最后由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出面積的最大值，再根據(jù)求出的最大值.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，所以，所以，則.（2）解：因?yàn)?，，由余弦定理，即，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又，所以，故的最大值為.28．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，面積為，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件（若兩個(gè)都選，以第一個(gè)評(píng)分），求：(1)求角的大??；(2)求邊中線長(zhǎng)的最小值.條件①：;條件②：.【答案】(1)(2)【